الإغلاق التكاملي لمثالي

في الجبر ، الإغلاق التكاملي للمثالي${\displaystyle I}$حلقة تبديلية${\displaystyle R}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle {\overline {I}}}$، هي مجموعة جميع العناصر r في${\displaystyle R}$التي تُعدّ جزءًا لا يتجزأ من${\displaystyle I}$أي لكل${\displaystyle i}$يوجد${\displaystyle a_{i}\in I^{i}}$بحيث

${\displaystyle r^{n}+a_{1}r^{n-1}+\cdots +a_{n-1}r+a_{n}=0.}$

بعبارة أخرى،${\displaystyle r}$هو جذر لنوع معين من كثيرات الحدود الأحادية. هذا الإغلاق التكاملي مشابه للإغلاق التكاملي لحلقة جزئية. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle R}$هو مجال، عنصر r في${\displaystyle R}$ينتمي إلى${\displaystyle {\overline {I}}}$إذا وفقط إذا كان هناك مولد نهائي${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle M}$، لا يُفنى إلا بالصفر، بحيث${\displaystyle rM\subseteq IM}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle {\overline {I}}}$هو مثال لـ${\displaystyle R}$(في الواقع، الإغلاق التكاملي للمثالي هو دائمًا مثالي؛ انظر أدناه).${\displaystyle I}$يُقال إنها مغلقة بشكل متكامل إذا${\displaystyle I={\overline {I}}}$.

يظهر الإغلاق التكاملي للمثالي في نظرية ريس التي تميز الحلقة غير المتفرعة تحليليًا .

• في${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$،${\displaystyle x^{i}y^{di}}$يُعد جزءًا لا يتجزأ من${\displaystyle (x^{d},y^{d})}$. إنها تحقق المعادلة${\displaystyle r^{d}+(-x^{di}y^{d(di)})=0}$، أين${\displaystyle a_{d}=-x^{di}y^{d(di)}}$موجود في${\displaystyle d}$قوة المثال.
• المُثُل الجذرية (مثل المُثُل الأولية) مُغلقة تكاملياً. تقاطع المُثُل المُغلقة تكاملياً يكون مُغلقاً تكاملياً.
• في حلقة عادية ، لأي قاسم غير صفري x وأي مثالي${\displaystyle I}$،${\displaystyle {\overline {xI}}=x{\overline {I}}}$. على وجه الخصوص، في حلقة عادية، يكون المثالي الرئيسي الناتج عن قاسم غير صفري مغلقًا بشكل متكامل.
• يترك${\displaystyle R=k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ليكن حلقة متعددة الحدود على حقل k . مثالي${\displaystyle I}$في${\displaystyle R}$يُطلق عليه اسم أحادي الحد إذا تم توليده بواسطة أحاديات الحد؛ أي${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}}$. الإغلاق التكاملي لمثال أحادي الحد هو أحادي الحد.

يترك${\displaystyle R}$أن تكون حلقة. جبر ريس${\displaystyle R[It]=\oplus _{n\geq 0}I^{n}t^{n}}$يمكن استخدام هذه الطريقة لحساب الإغلاق التكاملي لمثالي. وتكون نتيجة البنية كما يلي: الإغلاق التكاملي لـ${\displaystyle R[It]}$في${\displaystyle R[t]}$، والتي يتم تقييمها، هي${\displaystyle \oplus _{n\geq 0}{\overline {I^{n}}}t^{n}}$. بخاصة،${\displaystyle {\overline {I}}}$هو مثال و${\displaystyle {\overline {I}}={\overline {\overline {I}}}}$أي أن الإغلاق التكاملي للمثالي مغلق تكاملياً. ويترتب على ذلك أيضاً أن الإغلاق التكاملي للمثالي المتجانس متجانس.

يُطلق على هذا النوع من النتائج اسم نظرية بريانكون-سكودا : ليكن${\displaystyle R}$ليكن I حلقة منتظمة و I مثاليًا مولدًا بواسطة l عنصرًا. إذن${\displaystyle {\overline {I^{n+l}}}\subset I^{n+1}}$لأي${\displaystyle n\geq 0}$.

تنص نظرية ريس على ما يلي: ليكن${\displaystyle (R,m)}$ليكن حلقة محلية نوثرية. افترض أنها متساوية الأبعاد رسميًا (أي أن الإكمال متساوي الأبعاد). عندئذٍ يوجد مثاليان m- أوليان${\displaystyle I\subset J}$يكون لهما نفس الإغلاق التكاملي إذا وفقط إذا كان لهما نفس التعددية . ^{[ 1 ]}

• نظرية ديديكيند-كومر

• أيزنبد، ديفيد ، الجبر التبادلي مع نظرة نحو الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، 150، سبرينغر-فيرلاغ، 1995، ISBN 0-387-94268-8.
• سوانسون، إيرينا ؛ هونيك، كريج (2006)، الإغلاق التكاملي للمثاليّات والحلقات والوحدات ، سلسلة محاضرات جمعية لندن الرياضية، المجلد  336، كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-68860-4، MR 2266432 ، رقم المرجع HS2006، مؤرشف من الأصل بتاريخ 15-11-2019 ، تم استرجاعه بتاريخ 12-07-2013 

• إيرينا سوانسون ، تقييمات ريس، مؤرشفة بتاريخ 18-04-2013 في Wayback Machine .