Commutative ring

A ring is a set${\displaystyle R}$ equipped with two binary operations, i.e. operations combining any two elements of the ring to a third. They are called addition and multiplication and commonly denoted by "${\displaystyle +}$" and "${\displaystyle \cdot }$"; e.g. ${\displaystyle a+b}$ and ${\displaystyle a\cdot b}$. To form a ring these two operations have to satisfy a number of properties: the ring has to be an abelian group under addition as well as a monoid under multiplication, where multiplication distributes over addition; i.e., ${\displaystyle a\cdot \left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)}$. The identity elements for addition and multiplication are denoted ${\displaystyle 0}$ and ${\displaystyle 1}$, respectively.

If the multiplication is commutative, i.e. $${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a,}$$ then the ring ${\displaystyle R}$ is called commutative. In the remainder of this article, all rings will be commutative, unless explicitly stated otherwise.

An important example, and in some sense crucial, is the ring of integers${\displaystyle \mathbb {Z} }$ with the two operations of addition and multiplication. As the multiplication of integers is a commutative operation, this is a commutative ring. It is usually denoted ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ as an abbreviation of the German word Zahlen (numbers).

A field is a commutative ring where ${\displaystyle 0\neq 1}$ (0=1 only in the trivial ring) and every non-zero element ${\displaystyle a}$ is invertible; i.e., has a multiplicative inverse ${\displaystyle b}$ such that ${\displaystyle a\cdot b=1}$. Therefore, by definition, any field is a commutative ring. The rational, real and complex numbers form fields.

If ${\displaystyle R}$إذا كانت حلقة تبديلية معطاة، فإن مجموعة جميع كثيرات الحدود في المتغير${\displaystyle X}$معاملاتها في${\displaystyle R}$يشكل حلقة كثيرات الحدود ، ويرمز لها بـ${\displaystyle R\left[X\right]}$وينطبق الأمر نفسه على العديد من المتغيرات.

لو${\displaystyle V}$هي فضاء طوبولوجي ما ، على سبيل المثال مجموعة جزئية من فضاء ما${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$الدوال المتصلة ذات القيم الحقيقية أو المركبة على${\displaystyle V}$تشكل حلقة تبديلية. وينطبق الأمر نفسه على الدوال القابلة للتفاضل أو الدوال التحليلية ، عندما يتم تعريف المفهومين، كما هو الحال بالنسبة لـ${\displaystyle V}$متعدد الشعب المعقد .

تحديد موضع الحلقة هو عملية يتم فيها جعل بعض العناصر قابلة للعكس، أي يتم إضافة المعكوسات الضربية إلى الحلقة. على وجه التحديد، إذا${\displaystyle S}$هي مجموعة فرعية مغلقة ضربيًا من${\displaystyle R}$(أي كلما)${\displaystyle s,t\in S}$إذن كذلك${\displaystyle st}$ثم تحديد موقع${\displaystyle R}$في${\displaystyle S}$أو حلقة من الكسور ذات المقامات في${\displaystyle S}$، ويشار إليه عادة بـ${\displaystyle S^{-1}R}$يتكون من رموز

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$مع${\displaystyle r\in R,s\in S}$

تخضع هذه اللغة لقواعد معينة تحاكي عملية الاختزال المألوفة في الأعداد النسبية. في الواقع، في هذه اللغة${\displaystyle \mathbb {Q} }$هو توطين${\displaystyle \mathbb {Z} }$عند جميع الأعداد الصحيحة غير الصفرية. هذا البناء صالح لأي مجال تكاملي${\displaystyle R}$بدلاً من${\displaystyle \mathbb {Z} }$التوطين${\displaystyle \left(R\setminus \left\{0\right\}\right)^{-1}R}$هو حقل، يُسمى حقل القسمة لـ${\displaystyle R}$.

لخاتم${\displaystyle R}$، أن${\displaystyle R}$- وحدة${\displaystyle M}$يشبه الأمر ما يمثله الفضاء المتجهي بالنسبة للحقل. أي أنه يمكن جمع العناصر في وحدة نمطية؛ ويمكن ضربها بعناصر من${\displaystyle R}$تخضع لنفس البديهيات كما هو الحال بالنسبة للفضاء المتجهي.

إن دراسة الوحدات أكثر تعقيدًا بكثير من دراسة الفضاءات المتجهة ، إذ توجد وحدات لا تمتلك أي أساس ، أي لا تحتوي على مجموعة مولدة عناصرها مستقلة خطيًا . تُسمى الوحدة التي تمتلك أساسًا بالوحدة الحرة ، ولا يشترط أن تكون الوحدة الفرعية من الوحدة الحرة حرة.

الوحدة النمطية ذات النوع المحدود هي وحدة نمطية لها مجموعة توليد محدودة. تلعب الوحدات النمطية ذات النوع المحدود دورًا أساسيًا في نظرية الحلقات التبديلية، على غرار دور الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة في الجبر الخطي . على وجه الخصوص، يمكن تعريف الحلقات النويثرية (انظر أيضًا قسم  الحلقات النويثرية أدناه) بأنها الحلقات التي تكون فيها كل وحدة نمطية فرعية من وحدة نمطية ذات نوع محدود من النوع المحدود أيضًا.

مُثُل الخاتم${\displaystyle R}$هي الوحدات الفرعية لـ${\displaystyle R}$أي، الوحدات النمطية الموجودة في${\displaystyle R}$بتفصيل أكثر، مثالي${\displaystyle I}$هي مجموعة جزئية غير فارغة من${\displaystyle R}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle r}$في${\displaystyle R}$،${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$في${\displaystyle I}$، كلاهما${\displaystyle ri}$و${\displaystyle i+j}$في${\displaystyle I}$. بالنسبة للتطبيقات المختلفة، فإن فهم مُثُل الحلقة له أهمية خاصة، ولكن غالبًا ما يبدأ المرء بدراسة الوحدات بشكل عام.

أي حلقة لها مثاليان، وهما المثالي الصفري${\displaystyle \left\{0\right\}}$و${\displaystyle R}$، الحلقة بأكملها. هذان المثالان هما الوحيدان اللذان ينطبقان تحديدًا إذا${\displaystyle R}$هو حقل. بالنظر إلى أي مجموعة جزئية${\displaystyle F=\left\{f_{j}\right\}_{j\in J}}$ل${\displaystyle R}$(أين${\displaystyle J}$(مجموعة مؤشرات معينة)، المثالي الناتج عن${\displaystyle F}$هو أصغر مثال يحتوي على${\displaystyle F}$أو بصورة مكافئة، يتم التعبير عنها بواسطة تركيبات خطية منتهية$${\displaystyle r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\dots +r_{n}f_{n}.}$$

يُطلق على الحلقة اسم الحلقة النوثرية (تكريمًا لإيمي نوثر ، التي طورت هذا المفهوم) إذا كانت كل سلسلة تصاعدية من المُثُل$${\displaystyle 0\subseteq I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \dots \subseteq I_{n}\subseteq I_{n+1}\dots }$$ يصبح ثابتًا، أي يصبح ثابتًا بعد مؤشر معين.${\displaystyle n}$. وبالمثل، يتم توليد أي مثالي بواسطة عدد محدود من العناصر، أو، على نحو مكافئ، يتم توليد الوحدات الفرعية للوحدات المولدة بشكل محدود بشكل محدود.

يُعدّ كون العدد نوثريًا شرطًا بالغ الأهمية للنهائية، ويُحفظ هذا الشرط في ظل العديد من العمليات التي تحدث بشكل متكرر في الهندسة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle R}$إذا كانت حلقة كثيرات الحدود نوثرية، فهي كذلك${\displaystyle R\left[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right]}$(بحسب نظرية أساس هيلبرت )، أي توطين${\displaystyle S^{-1}R}$وأيضًا أي حلقة عامل${\displaystyle R/I}$.

أي حلقة غير نوثيرية${\displaystyle R}$هي اتحاد حلقاتها الفرعية النويثرية. هذه الحقيقة، المعروفة باسم التقريب النويثري ، تسمح بتعميم بعض النظريات على الحلقات غير النويثرية.

يُطلق على الحلقة اسم أرتينية (نسبةً إلى إميل أرتين )، إذا كانت كل سلسلة تنازلية من المُثُل $${\displaystyle R\supseteq I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq \dots \supseteq I_{n}\supseteq I_{n+1}\dots }$$ تصبح ثابتة في النهاية. على الرغم من أن الشرطين يبدوان متناظرين، إلا أن الحلقات النويثرية أكثر عمومية من الحلقات الأرتينية. على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {Z} }$هو نوثري، لأن كل مثال يمكن توليده بواسطة عنصر واحد، ولكنه ليس أرتينيًا، لأن السلسلة $${\displaystyle \mathbb {Z} \supsetneq 2\mathbb {Z} \supsetneq 4\mathbb {Z} \supsetneq 8\mathbb {Z} \dots }$$ تُظهر هذه النتائج. في الواقع، وفقًا لنظرية هوبكنز-ليفيتزكي ، فإن كل حلقة أرتينية هي حلقة نوثرية. وبشكل أدق، يمكن وصف الحلقات الأرتينية بأنها حلقات نوثرية يكون بُعد كرول الخاص بها صفرًا.

كما ذُكر أعلاه،${\displaystyle \mathbb {Z} }$هي مجال تحليل فريد . هذا لا ينطبق على الحلقات الأكثر عمومية، كما أدرك علماء الجبر في القرن التاسع عشر. على سبيل المثال، في $${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$$ هناك طريقتان مختلفتان تمامًا لكتابة الرقم 6 كناتج ضرب: $${\displaystyle 6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right).}$$ تُتيح المُثُل الأولية، على عكس العناصر الأولية، طريقةً لتجاوز هذه المشكلة. المُثُل الأولية هي مُثُل حقيقية (أي مُحتواة تمامًا في${\displaystyle R}$) مثالي${\displaystyle p}$بحيث يكون المنتج${\displaystyle ab}$من أي عنصرين حلقيين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هو في${\displaystyle p,}$يوجد أحد العنصرين على الأقل بالفعل في${\displaystyle p.}$(ينطبق الاستنتاج المعاكس على أي مثالي، بحسب التعريف). وبالتالي، إذا كان المثالي الأولي رئيسيًا، فإنه يُولَّد بشكل مكافئ بواسطة عنصر أولي. ومع ذلك، في حلقات مثل${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right],}$لا يشترط أن تكون المُثُل الأولية مُثُلاً رئيسية. هذا يُحد من استخدام العناصر الأولية في نظرية الحلقات. مع ذلك، فإن أحد أركان نظرية الأعداد الجبرية هو حقيقة أنه في أي حلقة ديديكيند (والتي تشمل${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$وبشكل أكثر عمومية، فإن حلقة الأعداد الصحيحة في حقل عددي ) أي مثالي (مثل المثالي الناتج عن 6) يتحلل بشكل فريد كحاصل ضرب مثاليات أولية.

أي مثالي أقصى هو مثالي أولي، أو باختصار، هو مثالي أولي. علاوة على ذلك، المثالي${\displaystyle I}$يكون أوليًا إذا وفقط إذا كانت حلقة العوامل${\displaystyle R/I}$هي مجال تكاملي. إثبات أن مثاليًا ما أولي، أو بصورة مكافئة، أن حلقة ما لا تحتوي على قواسم صفرية، قد يكون صعبًا للغاية. وهناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي القول بأن المتمم${\displaystyle R\setminus p}$مغلق ضربيًا. التوطين${\displaystyle \left(R\setminus p\right)^{-1}R}$يُعدّ هذا الأمر بالغ الأهمية لدرجة أن له رمزاً خاصاً به:${\displaystyle R_{p}}$لا تحتوي هذه الحلقة إلا على مثال أعلى واحد، وهو${\displaystyle pR_{p}}$تُسمى هذه الحلقات بالحلقات المحلية .

طيف الحلقة${\displaystyle R}$، ^{[ أ ]} يرمز إليه بـ${\displaystyle {\text{Spec}}\ R}$، هي مجموعة جميع المُثُل الأولية لـ${\displaystyle R}$وهي مزودة بطوبولوجيا، وهي طوبولوجيا زاريسكي ، التي تعكس الخصائص الجبرية لـ${\displaystyle R}$: يتم إعطاء أساس المجموعات الجزئية المفتوحة بواسطة $${\displaystyle D\left(f\right)=\left\{p\in {\text{Spec}}\ R,f\not \in p\right\},}$$أين${\displaystyle f}$أي عنصر من عناصر الحلقة. تفسير${\displaystyle f}$باعتبارها دالة تأخذ القيمة f mod p (أي صورة f في حقل البواقي R / p )، فإن هذه المجموعة الجزئية هي الموضع الذي تكون فيه f غير صفرية. كما يوضح الطيف بدقة الحدس القائل بأن حلقات التموضع وحلقات العوامل متكاملة: فالخرائط الطبيعية R → R _f و R → R / fR ، بعد تزويد أطياف الحلقات المعنية بطوبولوجيا زاريسكي الخاصة بها، تتوافق مع غمر مفتوح ومغلق متكاملين على التوالي. حتى بالنسبة للحلقات الأساسية، كما هو موضح لـ R = Z على اليمين، فإن طوبولوجيا زاريسكي تختلف تمامًا عن تلك الموجودة على مجموعة الأعداد الحقيقية.

يحتوي الطيف على مجموعة المُثُل القصوى، والتي يُرمز لها أحيانًا بـ mSpec( R ). بالنسبة لحقل مغلق جبريًا k _، فإن mSpec(k[ T1 _, ..., Tn ] / ( f1 _, ..., fm ₎ ) يكون في تقابل مع المجموعة

وبالتالي، تعكس المُثُل القصوى الخصائص الهندسية لمجموعات حلول كثيرات الحدود، وهو ما يُعد دافعًا أوليًا لدراسة الحلقات التبديلية. مع ذلك، فإن اعتبار المُثُل غير القصوى جزءًا من الخصائص الهندسية للحلقة مفيد لعدة أسباب. على سبيل المثال، تُقابل المُثُل الأولية الدنيا (أي تلك التي لا تحتوي بالضرورة على مُثُل أصغر منها) المكونات غير القابلة للاختزال في Spec R. بالنسبة لحلقة نوثرية R ، فإن Spec R لا تحتوي إلا على عدد محدود من المكونات غير القابلة للاختزال. هذه إعادة صياغة هندسية للتحليل الأولي ، والذي بموجبه يُمكن تحليل أي مُثُل إلى حاصل ضرب عدد محدود من المُثُل الأولية . هذه الحقيقة هي التعميم النهائي للتحليل إلى مُثُل أولية في حلقات ديديكيند.

يُعد مفهوم الطيف أساسًا مشتركًا للجبر التبادلي والهندسة الجبرية . وتعتمد الهندسة الجبرية على تزويد الطيف R بحزمة .${\displaystyle {\mathcal {O}}}$(كيان يجمع الدوال المعرفة محليًا، أي على مجموعات فرعية مفتوحة متغيرة). يُطلق على معطى الفضاء والحزمة اسم المخطط الأفيني . وبالنظر إلى مخطط أفيني، يمكن استعادة الحلقة الأساسية R كمقاطع عالمية لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$علاوة على ذلك، فإن هذا التناظر الأحادي بين الحلقات والمخططات الأفينية يتوافق أيضًا مع تشاكلات الحلقات: أي دالة f : R → S تُنتج تطبيقًا متصلًا في الاتجاه المعاكس.

إن التكافؤ الناتج بين الفئتين المذكورتين يعكس بشكل مناسب الخصائص الجبرية للحلقات بطريقة هندسية.

على غرار حقيقة أن المتشعبات تُعطى محليًا بواسطة مجموعات جزئية مفتوحة من R ⁿ ، فإن المخططات الأفينية هي نماذج محلية للمخططات ، التي هي موضوع الدراسة في الهندسة الجبرية. لذلك، فإن العديد من المفاهيم المتعلقة بالحلقات التبادلية تنبع من الحدس الهندسي.

يقيس بُعد كرول ( أو البُعد) dim R للحلقة R "حجم" الحلقة، وذلك، بشكل تقريبي، عن طريق عدّ العناصر المستقلة في R. ويمكن وضع بديهيات بُعد الجبر على حقل k من خلال أربع خصائص:

• البعد هو خاصية محلية: dim R = sup _{p ∊ Spec R} dim R _p .
• البعد مستقل عن العناصر العديمة القوة: إذا كان I ⊆ R عديمي القوة فإن dim R = dim R / I.
• يظل البعد ثابتًا في ظل امتداد محدود: إذا كانت S عبارة عن جبر R يتم توليده بشكل محدود كوحدة نمطية R ، فإن dim S = dim R.
• يتم معايرة البعد بواسطة dim k [ X ₁ , ..., X _n ] = n . هذه البديهية مدفوعة باعتبار حلقة كثيرات الحدود في n متغيرات بمثابة نظير جبري للفضاء ذي n بُعد .

يُعرَّف البُعد، لأي حلقة R ، بأنه القيمة العليا لأطوال n لسلاسل المُثُل الأولية.

على سبيل المثال، الحقل ذو بُعد صفري، لأن المثالي الأولي الوحيد فيه هو المثالي الصفري. أما الأعداد الصحيحة فهي ذات بُعد واحد، لأن السلاسل تأخذ الشكل (0) ⊊ ( p )، حيث p عدد أولي . بالنسبة للحلقات غير النويثرية، وكذلك الحلقات غير المحلية، قد يكون البُعد لانهائيًا، لكن الحلقات النويثرية المحلية لها بُعد محدود. من بين البديهيات الأربع المذكورة أعلاه، تُعدّ البديهيتان الأوليان نتيجتين أساسيتين للتعريف، بينما تعتمد البديهيتان المتبقيتان على حقائق مهمة في الجبر التبادلي ، وهما نظرية الصعود ونظرية كرول للمثالي الرئيسي .

An R-algebra S is called finitely generated (as an algebra) if there are finitely many elements s₁, ..., s_n such that any element of s is expressible as a polynomial in the s_i. Equivalently, S is isomorphic to

A much stronger condition is that S is finitely generated as an R-module, which means that any s can be expressed as a R-linear combination of some finite set s₁, ..., s_n.

The k-vector space m/m² is an algebraic incarnation of the cotangent space. Informally, the elements of m can be thought of as functions which vanish at the point p, whereas m² contains the ones which vanish with order at least 2. For any Noetherian local ring R, the inequality

holds true, reflecting the idea that the cotangent (or equivalently the tangent) space has at least the dimension of the space Spec R. If equality holds true in this estimate, R is called a regular local ring. A Noetherian local ring is regular if and only if the ring (which is the ring of functions on the tangent cone) $${\displaystyle \bigoplus _{n}m^{n}/m^{n+1}}$$ متماثلة مع حلقة متعددة الحدود على k . وبشكل عام، فإن الحلقات المحلية المنتظمة تشبه إلى حد ما حلقات متعددة الحدود. ^{[ 1 ]} الحلقات المحلية المنتظمة هي حلقات متعددة الحدود غير محددة. ^{[ 2 ]}

تُزوَّد حلقات التقييم المنفصلة بدالة تُسند عددًا صحيحًا لأي عنصر r . يُسمى هذا العدد تقييم r ، ويمكن اعتباره بشكل غير رسمي بمثابة رتبة الصفر أو القطب لـ r . حلقات التقييم المنفصلة هي تحديدًا الحلقات المحلية المنتظمة أحادية البعد. على سبيل المثال، حلقة جراثيم الدوال التحليلية على سطح ريمان هي حلقة تقييم منفصلة.

بحسب نظرية كرول للمثالي الرئيسي ، وهي نتيجة أساسية في نظرية أبعاد الحلقات ، فإن بُعد

يكون على الأقل r − n . تُسمى الحلقة R حلقة تقاطع كاملة إذا أمكن تمثيلها بطريقة تحقق هذا الحد الأدنى. يُدرس هذا المفهوم أيضًا في الغالب للحلقات المحلية. أي حلقة محلية منتظمة هي حلقة تقاطع كاملة، ولكن ليس العكس.

تُعتبر الحلقة R تقاطعًا كاملًا من منظور نظرية المجموعات إذا كانت الحلقة المختزلة المرتبطة بها ، أي تلك الناتجة عن قسمة جميع العناصر العديمة القوة، تقاطعًا كاملًا. وحتى عام 2017، لم يكن معروفًا بشكل عام ما إذا كانت المنحنيات في الفضاء ثلاثي الأبعاد تمثل تقاطعات كاملة من منظور نظرية المجموعات. ^{[ 3 ]}

عمق الحلقة المحلية R هو عدد العناصر في متتالية منتظمة قصوى (أو، كما يمكن إثباته، أي متتالية a ₁ ، ...، _a n _∈ m بحيث تكون جميع a i قواسم غير صفرية في

بالنسبة لأي حلقة نوثرية محلية، فإن عدم المساواة

تُسمى الحلقة المحلية التي تتحقق فيها المساواة حلقة كوهين-ماكولي . حلقات التقاطع الكاملة المحلية، ومن باب أولى، الحلقات المحلية المنتظمة هي حلقات كوهين-ماكولي، ولكن ليس العكس. تجمع حلقات كوهين-ماكولي بين الخصائص المرغوبة للحلقات المنتظمة (مثل خاصية كونها حلقات سلسلة شاملة ، مما يعني أن بُعد (البعد المشترك) للأعداد الأولية منتظم)، ولكنها أيضًا أكثر متانة عند إجراء القسمة من الحلقات المحلية المنتظمة. ^{[ 4 ]}

إذا كان I مثاليًا في حلقة تبديلية R ، فإن قوى I تُشكّل جوارات طوبولوجية للصفر ، مما يسمح برؤية R كحلقة طوبولوجية . تُسمى هذه الطوبولوجيا بالطوبولوجيا I -adic . ويمكن إكمال R بالنسبة لهذه الطوبولوجيا. رسميًا، الإكمال I -adic هو النهاية العكسية للحلقات R / I n . على سبيل المثال، إذا كان k حقلًا، فإن k [[ X ]] ، وهي حلقة متسلسلة القوى الرسمية في متغير واحد على k ، هي الإكمال I -adic لـ k [ X ]، حيث I هو المثالي الرئيسي المُوَلَّد بواسطة X. تُعتبر هذه الحلقة نظيرًا جبريًا للقرص. وبالمثل، فإن حلقة الأعداد الصحيحة p -adic هي إكمال Z بالنسبة للمثالي الرئيسي ( p ). تُسمى أي حلقة متماثلة مع إكمالها حلقة كاملة .

تحقق الحلقات المحلية الكاملة مبرهنة هينسل ، والتي تسمح بشكل عام بتمديد الحلول ( للمسائل المختلفة) على حقل البقايا k إلى R.

يمكن تعريف الوحدات الإسقاطية بأنها مجموع الوحدات الحرة. إذا كانت R محلية، فإن أي وحدة إسقاطية مولدة نهائيًا تكون حرة، مما يُضفي معنىً على التناظر بين الوحدات الإسقاطية وحزم المتجهات . ^{[ 5 ]} تنص نظرية كويلين-سوسلين على أن أي وحدة إسقاطية مولدة نهائيًا على k [ T1 , ..., Tn ] ( _حيث k حقل) تكون حرة، ولكن بشكل عام _، يختلف هذان المفهومان. تكون الحلقة النويثرية المحلية منتظمة إذا وفقط إذا كان بُعدها الكلي محدودًا، ولنقل n ، مما يعني أن أي وحدة R مولدة نهائيًا لها تحليل بواسطة وحدات إسقاطية طولها على الأكثر n .

يعتمد إثبات هذه العبارة وغيرها من العبارات ذات الصلة على استخدام الأساليب التماثلية، مثل دالة Ext . هذه الدالة هي دالة مشتقة من الدالة

يكون المؤثر الأخير دقيقًا إذا كانت M إسقاطية، وإلا فلا: بالنسبة لتطبيق شامل E → F على وحدات R ، لا يلزم أن يمتد تطبيق M → F إلى تطبيق M → E. تقيس المؤثرات Ext العليا عدم دقة مؤثر Hom. تتجلى أهمية هذا البناء القياسي في الجبر الهومولوجي من حقيقة أن الحلقة النويثرية المحلية R ذات حقل البقايا k تكون منتظمة إذا وفقط إذا

يتلاشى هذا الشرط لجميع قيم n الكبيرة بما يكفي . علاوة على ذلك، تنمو أبعاد هذه المجموعات الخارجية، المعروفة بأعداد بيتي ، نموًا متعدد الحدود في n إذا وفقط إذا كانت R حلقة تقاطع كاملة محلية . ^{[ 6 ]} ومن الحجج الرئيسية في هذه الاعتبارات مُركَّب كوزول ، الذي يُقدِّم حلاً حرًا صريحًا لحقل البقايا k لحلقة محلية R بدلالة متتالية منتظمة.

The tensor product is another non-exact functor relevant in the context of commutative rings: for a general R-module M, the functor

is only right exact. If it is exact, M is called flat. If R is local, any finitely presented flat module is free of finite rank, thus projective. Despite being defined in terms of homological algebra, flatness has profound geometric implications. For example, if an R-algebra S is flat, the dimensions of the fibers

(for prime ideals p in R) have the "expected" dimension, namely dim S− dim R + dim(R / p).

A graded ringR = ⨁_i∊ZR_i is called graded-commutative if, for all homogeneous elements a and b,

If the R_i are connected by differentials ∂ such that an abstract form of the product rule holds, i.e.,

يُطلق على R اسم الجبر التفاضلي المتدرج التبادلي (cdga). ومن الأمثلة عليه مُركب الأشكال التفاضلية على مشعب ، حيث يُعطى الضرب بالجداء الخارجي ، وهو جبر تفاضلي متدرج تبادلي. وتُعرف تماثلية الجبر التفاضلي المتدرج التبادلي بحلقة التبادل المتدرج، ويُشار إليها أحيانًا بحلقة التماثلية . وتنشأ أمثلة عديدة للحلقات المتدرجة بهذه الطريقة. فعلى سبيل المثال، حلقة لازارد هي حلقة فئات التماثل للمشعبات المركبة.

الحلقة المتدرجة التبادلية بالنسبة للتدرج بواسطة Z /2 (على عكس Z ) تسمى الجبر الفائق .

المفهوم ذو الصلة هو الحلقة شبه التبادلية ، مما يعني أن R يتم ترشيحها بطريقة تجعل الحلقة المتدرجة المرتبطة بها

هي تبادلية. ومن الأمثلة على ذلك جبر ويل وحلقات أكثر عمومية من المؤثرات التفاضلية .

الحلقة التبديلية التبسيطية هي كائن تبسيطي في فئة الحلقات التبديلية. وهي لبنات أساسية للهندسة الجبرية المشتقة (الوصلية). _وهناك مفهوم وثيق الصلة ولكنه أكثر عمومية وهو الحلقة E∞ .