إعادة أخذ العينات بتقنية جاكنايف

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 39 صور
الموسوعة الحرة
رسم تخطيطي لإعادة أخذ العينات باستخدام طريقة جاكنايف

في الإحصاء ، تُعدّ طريقة جاكنايف (التحقق المتقاطع باستخدام جاكنايف) تقنية للتحقق المتقاطع ، وبالتالي فهي شكل من أشكال إعادة التوزيع . وهي مفيدة بشكل خاص لتقدير الانحياز والتباين . وتسبق طريقة جاكنايف طرق إعادة التوزيع الشائعة الأخرى مثل طريقة بوتستراب . بافتراض حجم عينة معينن{\displaystyle n}يمكن بناء مُقدِّر جاكنايف عن طريق تجميع تقديرات المعلمات من كل عينة فرعية بحجم(ن-1){\displaystyle (n-1)}تم الحصول عليها عن طريق حذف إحدى الملاحظات. [ 1 ] طريقة جاكنايف هي تقريب خطي لطريقة بوتستراب . [ 2 ]

طُوِّرت تقنية "جاكنايف" على يد موريس كينويل (1924-1973) منذ عام 1949، ثم جرى تحسينها في عام 1956. وفي عام 1958، وسّع جون توكي نطاق هذه التقنية، واقترح تسميتها "جاكنايف" لأنها، مثل سكين الجيب الحقيقية (سكين قابلة للطي صغيرة الحجم)، أداة عملية وسريعة الاستجابة ، قادرة على إيجاد حلول ارتجالية لمجموعة متنوعة من المشاكل، حتى وإن كان من الممكن حل مشاكل محددة بكفاءة أكبر باستخدام أداة مصممة خصيصًا لهذا الغرض. [ 3 ]

مثال بسيط: تقدير المتوسط

يتم إيجاد تقدير جاكنايف للمعلمة عن طريق حذف كل ملاحظة من مجموعة البيانات بشكل منهجي وحساب تقدير المعلمة على الملاحظات المتبقية ثم تجميع هذه الحسابات.

على سبيل المثال، إذا كانت المعلمة المراد تقديرها هي متوسط ​​المجتمع لمتغير عشوائيx{\displaystyle x}ثم بالنسبة لمجموعة معينة من المشاهدات المستقلة والمتطابقة التوزيعx1،...،xن{\displaystyle x_{1},...,x_{n}}المقدر الطبيعي هو متوسط ​​العينة: x¯=1ن∑أنا=1نxأنا=1ن∑أنا∈[ن]xأنا،{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i\in [n]}x_{i},} حيث استخدم المجموع الأخير طريقة أخرى للإشارة إلى أن المؤشرأنا{\displaystyle i}يركض فوق المجموعة[ن]={1،...،ن}{\displaystyle [n]=\{1,\ldots ,n\}}.

ثم نتابع على النحو التالي: لكلأنا∈[ن]{\displaystyle i\in [n]}نحسب المتوسطx¯(أنا){\displaystyle {\bar {x}}_{(i)}}من العينة الفرعية لتقنية جاكنايف التي تتكون من جميع العناصر باستثناءأنا{\displaystyle i}النقطة رقم -th، وهذا ما يسمى بـأنا{\displaystyle i}-th jackknife replicate: x¯(أنا)=1ن-1∑ج∈[ن]،ج≠أناxج،أنا=1،...،ن.{\displaystyle {\bar {x}}_{(i)}={\frac {1}{n-1}}\sum _{j\in [n],j\neq i}x_{j},\qquad i=1,\dots ,n.}

قد يكون من المفيد التفكير في أن هذهن{\displaystyle n}نسخ السكين القابلة للطيx¯(1)،...،x¯(ن){\displaystyle {\bar {x}}_{(1)},\ldots ,{\bar {x}}_{(n)}}تقريب توزيع متوسط ​​العينةx¯{\displaystyle {\bar {x}}}. أكبرن{\displaystyle n}يُحسّن التقريب. ثم أخيرًا، للحصول على مُقدِّر جاكنايف،ن{\displaystyle n}يتم حساب متوسط ​​التكرارات باستخدام طريقة جاكنايف: x¯جاك=1ن∑أنا=1نx¯(أنا).{\displaystyle {\bar {x}}_{\text{jack}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{(i)}.}

قد يتساءل المرء عن التحيز والتباين فيx¯جاك{\displaystyle {\bar {x}}_{\text{jack}}}من تعريفx¯جاك{\displaystyle {\bar {x}}_{\text{jack}}}بما أن متوسط ​​تكرارات طريقة جاكنايف يُحسب بشكل صريح، يمكن محاولة حساب الانحياز بشكل مباشر. يُعد حساب الانحياز بسيطًا، لكن تباينx¯جاك{\displaystyle {\bar {x}}_{\text{jack}}}الأمر أكثر تعقيداً، لأن النسخ المتكررة من نوع جاكنايف ليست مستقلة.

في الحالة الخاصة للمتوسط، يمكن للمرء أن يثبت صراحة أن تقدير جاكنايف يساوي التقدير المعتاد: 1ن∑أنا=1نx¯(أنا)=x¯.{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{(i)}={\bar {x}}.} وهذا يحدد الهويةx¯جاك=x¯{\displaystyle {\bar {x}}_{\text{jack}}={\bar {x}}}ثم بأخذ التوقعات في الاعتبار، نحصل علىهـ[x¯جاك]=هـ[x¯]=هـ[x]{\displaystyle E[{\bar {x}}_{\text{jack}}]=E[{\bar {x}}]=E[x]}، لذاx¯جاك{\displaystyle {\bar {x}}_{\text{jack}}}غير متحيز، ومع أخذ التباين في الاعتبار، نحصل علىV[x¯جاك]=V[x¯]=V[x]/ن{\displaystyle V[{\bar {x}}_{\text{jack}}]=V[{\bar {x}}]=V[x]/n}ومع ذلك، فإن هذه الخصائص لا تنطبق عمومًا على المعلمات الأخرى غير المتوسط.

هذا المثال البسيط لحالة تقدير المتوسط ​​هو فقط لتوضيح بناء مقدر جاكنايف، بينما تظهر التفاصيل الدقيقة الحقيقية (والفائدة) في حالة تقدير معلمات أخرى، مثل اللحظات الأعلى من المتوسط ​​أو الدوال الأخرى للتوزيع.

x¯جاك{\displaystyle {\bar {x}}_{\text{jack}}}يمكن استخدامها لإنشاء تقدير تجريبي لانحيازx¯{\displaystyle {\bar {x}}}، أيتحيز^(x¯)جاك=ج(x¯جاك-x¯){\displaystyle {\widehat {\operatorname {bias} }}({\bar {x}})_{\text{jack}}=c({\bar {x}}_{\text{jack}}-{\bar {x}})}مع بعض العوامل المناسبةج>0{\displaystyle c>0}على الرغم من أننا نعلم في هذه الحالة أنx¯جاك=x¯{\displaystyle {\bar {x}}_{\text{jack}}={\bar {x}}}لذا فإن هذا البناء لا يضيف أي معرفة ذات مغزى، ولكنه يعطي التقدير الصحيح للتحيز (وهو صفر).

تقدير جاكنايف لتباينx¯{\displaystyle {\bar {x}}}يمكن حسابها من تباين تكرارات جاكنايفx¯(أنا){\displaystyle {\bar {x}}_{(i)}}: [ 4 ] [ 5 ]متغير^(x¯)جاك=ن-1ن∑أنا=1ن(x¯(أنا)-x¯جاك)2=1ن(ن-1)∑أنا=1ن(xأنا-x¯)2.{\displaystyle {\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\text{jack}}={\frac {n-1}{n}}\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}_{(i)}-{\bar {x}}_{\text{jack}})^{2}={\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}.} تحدد المساواة اليسرى المُقدِّرمتغير^(x¯)جاك{\displaystyle {\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\text{jack}}}والمساواة الصحيحة هي هوية يمكن التحقق منها مباشرة. ثم بأخذ التوقعات، نحصل علىهـ[متغير^(x¯)جاك]=V[x]/ن=V[x¯]{\displaystyle E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\text{jack}}]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]}إذن، هذا مُقدِّر غير متحيز لتباينx¯{\displaystyle {\bar {x}}}.

تقدير انحياز المُقدِّر

يمكن استخدام تقنية جاكنايف لتقدير (وتصحيح) انحياز المقدر المحسوب على كامل العينة.

يفترضθ{\displaystyle \theta }المعلمة المستهدفة محل الاهتمام، والتي يُفترض أنها دالة ما لتوزيعx{\displaystyle x}استنادًا إلى مجموعة محدودة من الملاحظاتx1،...،xن{\displaystyle x_{1},...,x_{n}}، والتي يُفترض أنها تتكون من نسخ مستقلة ومتطابقة التوزيع منx{\displaystyle x}، المُقدِّرθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}تم بناؤه:

θ^=ون(x1،...،xن).{\displaystyle {\hat {\theta }}=f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}

قيمةθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}يعتمد هذا على العينة، لذا ستتغير هذه القيمة من عينة عشوائية إلى أخرى.

بحكم التعريف، فإن تحيزθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}وهو كالتالي:

تحيز(θ^)=هـ[θ^]-θ.{\displaystyle {\text{bias}}({\hat {\theta }})=E[{\hat {\theta }}]-\theta .}

قد يرغب المرء في حساب عدة قيم لـθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}من عدة عينات، ثم حساب متوسطها، لحساب تقريب تجريبي لـهـ[θ^]{\displaystyle E[{\hat {\theta }}]}لكن هذا مستحيل عندما لا توجد "عينات أخرى" عندما تكون المجموعة الكاملة من الملاحظات المتاحةx1،...،xن{\displaystyle x_{1},...,x_{n}}تم استخدامه في الحسابθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}في مثل هذه الحالة، قد تكون تقنية إعادة أخذ العينات باستخدام جاكنايف مفيدة.

نقوم بإنشاء نسخ جاكنايف:

θ^(1)=ون-1(x2،x3...،xن){\displaystyle {\hat {\theta }}_{(1)}=f_{n-1}(x_{2},x_{3}\ldots ,x_{n})}
θ^(2)=ون-1(x1،x3،...،xن){\displaystyle {\hat {\theta }}_{(2)}=f_{n-1}(x_{1},x_{3},\ldots ,x_{n})}
⋮{\displaystyle \vdots }
θ^(ن)=ون-1(x1،x2،...،xن-1){\displaystyle {\hat {\theta }}_{(n)}=f_{n-1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1})}

حيث تمثل كل نسخة مكررة تقديرًا "بحذف عنصر واحد" بناءً على عينة فرعية من طريقة جاكنايف تتكون من جميع نقاط البيانات باستثناء نقطة واحدة:

θ^(أنا)=ون-1(x1،...،xأنا-1،xأنا+1،...،xن)أنا=1،...،ن.{\displaystyle {\hat {\theta }}_{(i)}=f_{n-1}(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{n})\quad \quad i=1,\dots ,n.}

ثم نحدد متوسطهم:

θ^جأجك=1ن∑أنا=1نθ^(أنا){\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {jack} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\hat {\theta }}_{(i)}}

تقدير جاكنايف لانحيازθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}يُعطى بواسطة:

تحيز^(θ^)جأجك=(ن-1)(θ^جأجك-θ^){\displaystyle {\widehat {\text{bias}}}({\hat {\theta }})_{\mathrm {jack} }=(n-1)({\hat {\theta }}_{\mathrm {jack} }-{\hat {\theta }})}

وتقدير جاكنايف المصحح للتحيز الناتج عنθ{\displaystyle \theta }يُعطى بواسطة:

θ^جاك*=θ^-تحيز^(θ^)جأجك=نθ^-(ن-1)θ^جأجك.{\displaystyle {\hat {\theta }}_{\text{jack}}^{*}={\hat {\theta }}-{\widehat {\text{bias}}}({\hat {\theta }})_{\mathrm {jack} }=n{\hat {\theta }}-(n-1){\hat {\theta }}_{\mathrm {jack} }.}

هذا يزيل التحيز في الحالة الخاصة التي يكون فيها التحيزيا(ن-1){\displaystyle O(n^{-1})}ويختزلها إلىيا(ن-2){\displaystyle O(n^{-2})}في حالات أخرى. [ 3 ]

تقدير تباين المُقدِّر

يمكن أيضًا استخدام تقنية جاكنايف لتقدير تباين المقدر المحسوب على كامل العينة.

الأدب

ملحوظات

  1. ↑ إيفرون 1982 ، ص 2.
  2. ^ إيفرون وتيبشيراني 1994 ، ص. 145.
  3. 1 2 كاميرون وتريفيدي 2005 ، ص. 375.
  4. ↑ إيفرون 1982 ، ص 14.
  5. ↑ ماكنتوش، أفيري آي. "طريقة تقدير جاكنايف" (ملف PDF) . جامعة بوسطن . أفيري آي. ماكنتوش. ص 3. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 14 مايو 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 أبريل 2016 . 

مراجع