تكامل جاكسون

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية التناظر q ، فإن التكامل جاكسون أو التكامل q هو سلسلة في نظرية الدوال الخاصة التي تعبر عن العملية العكسية للتفاضل q .

تم تقديم تكامل جاكسون بواسطة فرانك هيلتون جاكسون . للاطلاع على طرق التقييم العددي، انظر [ 1 ] وإكستون (1983) .

تعريف

لتكن f ( x ) دالة لمتغير حقيقي x . بالنسبة لمتغير حقيقي، يُعرَّف تكامل جاكسون للدالة f بواسطة متسلسلة تايلور التالية:

∫0أو(x)دqx=(1-q)أ∑ك=0∞qكو(qكأ).{\displaystyle \int _{0}^{a}f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,a\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}a).}

ويتوافق مع هذا تعريف لـأ→∞{\displaystyle a\to \infty }

∫0∞و(x)دqx=(1-q)∑ك=-∞∞qكو(qك).{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{k}f(q^{k}).}

وبشكل أعم، إذا كانت g ( x ) دالة أخرى و Dqg ترمز إلى مشتقتها من الرتبة q ، فيمكننا كتابة ذلك رسميًا

∫و(x)دqزدqx=(1-q)x∑ك=0∞qكو(qكx)دqز(qكx)=(1-q)x∑ك=0∞qكو(qكx)ز(qكx)-ز(qك+1x)(1-q)qكx،{\displaystyle \int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},}أو
∫و(x)دqز(x)=∑ك=0∞و(qكx)⋅(ز(qكx)-ز(qك+1x))،{\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),}

إعطاء نظير q لتكامل ريمان-ستيلتيس .

تكامل جاكسون كدالة مضادة من النوع q

وكما يمكن تمثيل الدالة الأصلية العادية لدالة متصلة بواسطة تكامل ريمان الخاص بها ، فمن الممكن إظهار أن تكامل جاكسون يعطي دالة أصلية فريدة من نوعها من النوع q ضمن فئة معينة من الدوال (انظر [ 2 ] ).

نظرية

لنفترض أن0<q<1.{\displaystyle 0<q<1.} لو|و(x)xα|{\displaystyle |f(x)x^{\alpha }|}محدودة على الفترة[0،أ){\displaystyle [0,A)}بالنسبة للبعض0≤α<1،{\displaystyle 0\leq \alpha <1,}ثم يتقارب تكامل جاكسون إلى دالةF(x){\displaystyle F(x)}على[0،أ){\displaystyle [0,A)}وهو مشتق عكسي من النوع q لـو(x).{\displaystyle f(x).}علاوة على ذلك،F(x){\displaystyle F(x)}متصل عندx=0{\displaystyle x=0}معF(0)=0{\displaystyle F(0)=0}وهو مضاد مشتق فريد من نوعه لـو(x){\displaystyle f(x)}في هذه الفئة من الدوال. [ 3 ]

ملحوظات

  1. ↑ إكستون، هـ (1979). "متسلسلات فورييه الأساسية". وقائع الجمعية الملكية أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 369 (1736): 115-136 . رمز Bibcode : 1979RSPSA.369..115E . doi : 10.1098/rspa.1979.0155 . S2CID 120587254 . 
  2. ↑ كيمبف، أ؛ ماجد، شاهن (1994). "التكامل الجبري q ونظرية فورييه على الفضاءات الكمومية والمتشابكة". مجلة الفيزياء الرياضية . 35 (12): 6802-6837 . arXiv : hep-th/9402037 . Bibcode : 1994JMP....35.6802K . doi : 10.1063/1.530644 . S2CID 16930694 . 
  3. ↑ كاك تشيونغ، النظرية 19.1.

مراجع

  • فيكتور كاك، بوكمان تشيونغ، حساب التفاضل والتكامل الكمي ، سلسلة يونيفرسيتكست، سبرينغر-فيرلاغ، 2002. ISBN 0-387-95341-8
  • جاكسون إف إتش (1904)، "تعميم للدوال Γ(n) و x n "، وقائع الجمعية الملكية 74 64-72.
  • جاكسون إف إتش (1910)، "حول التكاملات المحددة q"، مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية الفصلية 41 193-203.
  • إكستون، هارولد (1983). الدوال الهندسية الفائقة Q وتطبيقاتها . تشيتشستر [غرب ساسكس]: إي. هوروود. ISBN 978-0470274538.