وظائف خاصة

الدوال ذات الرموز الدولية المتعارف عليها هي دالة الجيب (${\displaystyle \sin }$), جيب التمام (${\displaystyle \cos }$), الدالة الأسية (${\displaystyle \exp }$ودالة الخطأ (${\displaystyle \operatorname {erf} }$أو${\displaystyle \operatorname {erfc} }$).

بعض الدوال الخاصة لها عدة رموز:

• يمكن كتابة اللوغاريتم الطبيعي بالرمز التالي:${\displaystyle \ln }$،${\displaystyle \log }$،${\displaystyle \log _{e}}$، أو${\displaystyle \operatorname {Log} }$حسب السياق.
• يمكن الإشارة إلى دالة الظل بـ${\displaystyle \tan }$،${\displaystyle \operatorname {Tan} }$، أو${\displaystyle \operatorname {tg} }$(مستخدمة في العديد من اللغات الأوروبية).
• يمكن كتابة دالة الظل العكسي بالرمز التالي:${\displaystyle \arctan }$،${\displaystyle \operatorname {atan} }$،${\displaystyle \operatorname {arctg} }$، أو${\displaystyle \tan ^{-1}}$.
• يمكن الإشارة إلى دوال بيسل بـ
  • ${\displaystyle J_{n}(x),}$
  • ${\displaystyle \operatorname {besselj} (n,x),}$
  • ${\displaystyle {\rm {BesselJ}}[n,x].}$

تُستخدم الرموز السفلية غالبًا للإشارة إلى الوسائط، وعادةً ما تكون أعدادًا صحيحة. في بعض الحالات، تُستخدم الفاصلة المنقوطة (؛) أو حتى الشرطة المائلة العكسية (\) كفاصل للوسائط. قد يُؤدي هذا إلى إرباك عملية الترجمة إلى لغات البرمجة الخوارزمية.

قد تشير الأرقام المرتفعة ليس فقط إلى القوة (الأس)، بل إلى تعديل آخر للدالة. ومن الأمثلة على ذلك (خاصةً مع الدوال المثلثية والزائدية ):

• ${\displaystyle \cos ^{3}(x)}$عادة تعني${\displaystyle (\cos(x))^{3}}$
• ${\displaystyle \cos ^{2}(x)}$عادة${\displaystyle (\cos(x))^{2}}$لكن أبداً${\displaystyle \cos(\cos(x))}$
• ${\displaystyle \cos ^{-1}(x)}$عادة تعني${\displaystyle \arccos(x)}$، لا${\displaystyle (\cos(x))^{-1}}$قد يسبب هذا ارتباكًا، لأن معنى هذا الرقم العلوي غير متسق مع الأرقام الأخرى.

تُعتبر معظم الدوال الخاصة دوالًا لمتغير مُركب . وهي دوال تحليلية ؛ إذ تُوصف نقاطها الشاذة ومقاطعها؛ وتُعرف تمثيلاتها التفاضلية والتكاملية، كما يُمكن توسيعها إلى متسلسلة تايلور أو المتسلسلات التقاربية . إضافةً إلى ذلك، قد توجد أحيانًا علاقات مع دوال خاصة أخرى؛ إذ يُمكن التعبير عن دالة خاصة مُعقدة بدلالة دوال أبسط. يُمكن استخدام تمثيلات مُختلفة للتقييم؛ وأبسط طريقة لتقييم دالة هي توسيعها إلى متسلسلة تايلور. مع ذلك، قد يتقارب هذا التمثيل ببطء أو لا يتقارب على الإطلاق. في لغات البرمجة الخوارزمية، تُستخدم عادةً التقريبات الكسرية ، على الرغم من أنها قد لا تُؤدي أداءً جيدًا في حالة المُتغيرات المركبة.

بينما تمّ تنظيم وتوحيد حساب المثلثات والدوال الأسية بحلول القرن الثامن عشر، استمرّ البحث عن نظرية شاملة وموحدة للدوال الخاصة منذ القرن التاسع عشر. وبلغت نظرية الدوال الخاصة ذروتها في الفترة ما بين عامي 1800 و1900 مع ظهور نظرية الدوال الإهليلجية ؛ حيث شرحت مؤلفاتٌ شبه كاملة، مثل مؤلفات تانيري ومولك ^{[ 3 ]} ، جميع المتطابقات الأساسية للنظرية باستخدام تقنيات من نظرية الدوال التحليلية (المبنية على التحليل المركب ). وشهدت نهاية القرن أيضًا نقاشًا مفصلاً للغاية حول التوافقيات الكروية .

بينما سعى علماء الرياضيات البحتة إلى وضع نظرية شاملة تستمد أكبر عدد ممكن من الدوال الخاصة المعروفة من مبدأ واحد، ظلت الدوال الخاصة لفترة طويلة حكرًا على الرياضيات التطبيقية . وقد حددت تطبيقاتها في العلوم الفيزيائية والهندسة الأهمية النسبية لهذه الدوال. قبل الحوسبة الإلكترونية ، كانت أهمية الدالة الخاصة تتجلى في الحساب المضني لجداول القيم الموسعة لتسهيل الرجوع إليها ، كما هو الحال في جداول اللوغاريتمات المألوفة . (كانت آلة الفروق لباباج محاولة لحساب هذه الجداول). ولتحقيق هذا الغرض، تتمثل التقنيات الرئيسية فيما يلي:

• التحليل العددي ، واكتشاف المتسلسلات اللانهائية أو غيرها من التعبيرات التحليلية التي تسمح بالحساب السريع؛ و
• اختزال أكبر عدد ممكن من الدوال إلى الدالة المعطاة.

وتشمل الأسئلة النظرية الأخرى: التحليل التقاربي ؛ والاستمرار التحليلي والتحول الأحادي في المستوى المركب ؛ ومبادئ التناظر والمعادلات الهيكلية الأخرى.

شهد القرن العشرون عدة موجات من الاهتمام بنظرية الدوال الخاصة. سعى كتاب ويتاكر وواتسون الكلاسيكي (1902) ^{[ 4 ]} إلى توحيد النظرية باستخدام التحليل المركب؛ أما كتاب جي إن واتسون " رسالة في نظرية دوال بيسل" فقد دفع بالتقنيات إلى أقصى حد ممكن لنوع مهم واحد، بما في ذلك النتائج التقاربية.

حاول مشروع مخطوطة باتمان اللاحق ، تحت إشراف آرثر إرديلي ، أن يكون موسوعيًا، وقد جاء في نفس الوقت الذي بدأت فيه الحوسبة الإلكترونية تبرز ولم تعد الجداول هي القضية الرئيسية.

تتميز النظرية الحديثة لكثيرات الحدود المتعامدة بنطاق محدد ولكنه محدود. وقد أصبحت المتسلسلات فوق الهندسية ، التي لاحظ فيليكس كلاين أهميتها في علم الفلك والفيزياء الرياضية ، ^{[ 5 ]} نظرية معقدة، مما استدعى إعادة صياغة مفاهيمية لاحقة. تُقدم تمثيلات زمر لي تعميمًا مباشرًا للدوال الكروية ؛ ومنذ عام 1950 فصاعدًا، أُعيدت صياغة أجزاء كبيرة من النظرية الكلاسيكية بدلالة زمر لي. علاوة على ذلك، أعاد العمل في التوافقية الجبرية إحياء الاهتمام بأجزاء أقدم من النظرية. وساهمت تخمينات إيان جي. ماكدونالد في فتح آفاق جديدة واسعة ونشطة ذات طابع دوال خاصة. وبدأت المعادلات التفاضلية في احتلال مكانتها إلى جانب المعادلات التفاضلية كمصدر للدوال الخاصة.

• أندروز، جورج إي .؛ أسكي، ريتشارد ؛ روي، رانجان (1999). الدوال الخاصة . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  71. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-62321-6. MR 1688958 . 
• تيراس، أودري (2016). التحليل التوافقي على الفضاءات المتناظرة - فضاءات الرتب العليا، فضاء المصفوفات الموجبة المحددة والتعميمات  (  الطبعة الثانية). سبرينغر نيتشر . ISBN 978-1-4939-3406-5MR 3496932 .​ 
• ويتاكر، إي تي؛ واتسون، جي إن (13 سبتمبر 1996). دورة في التحليل الحديث . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-58807-2.
• ن. ن. ليفيديف (ترجمة وتحرير ريتشارد أ. سليفرمان): الدوال الخاصة وتطبيقاتها ، دوفر، رقم ISBN 978-0-486-60624-8 (1972). # نُشر أصلاً من برنتيس هول (1965).
• نيكو م. تيمي: الدوال الخاصة: مقدمة للدوال الكلاسيكية للفيزياء الرياضية ، وايلي-إنترساينس، ISBN 978-0-471-11313-1 (1996).
• يوري أ. بريتشكوف: دليل الدوال الخاصة: المشتقات والتكاملات والمتسلسلات والصيغ الأخرى ، مطبعة CRC، ISBN 978-1-58488-956-4 (2008).
• دبليو دبليو بيل: وظائف خاصة  : للعلماء والمهندسين ، دوفر، ISBN 978-0-486-43521-3 (2004).
• كلود بريزينسكي وميشيلا ريديفو-زاجليا: ولادة وتطورات مبكرة لكثيرات الحدود المتعامدة: تاريخ زمني ، SIAM، ISBN 978-1-61197-850-6 (2025).

• شانجي تشانغ وجيان مينغ جين: حساب الدوال الخاصة ، وايلي-إنترساينس، ISBN 978-0-471-11963-0 (1996).
• ويليام ج. طومسون: أطلس لحساب الدوال الرياضية: دليل مصور للممارسين؛ مع برامج بلغة C و Mathematica ، وايلي-إنترساينس، ISBN 978-0-471-00260-4 (مارس 1997).
• ويليام ج. طومسون: أطلس لحساب الدوال الرياضية: دليل مصور للممارسين؛ مع برامج بلغة فورتران 90 وماثيماتيكا ، وايلي-إنترساينس، ISBN 978-0-471-18171-2 (يونيو 1997).
• أمبارو جيل، خافيير سيجورا ونيكو إم. تيمي: الطرق العددية للوظائف الخاصة ، SIAM، ISBN 978-0-898716-34-4 (2007).
• نيكو م. تيمي: "الجوانب العددية للدوال الخاصة" . أكتا نوميريكا (2008)، ص 1-101