مونت كارلو الحركية

طريقة مونت كارلو الحركية (KMC) هي محاكاة حاسوبية تعتمد على طريقة مونت كارلو، وتهدف إلى محاكاة التطور الزمني لبعض العمليات التي تحدث في الطبيعة. عادةً ما تكون هذه العمليات ذات معدلات انتقال معروفة بين الحالات. تُستخدم هذه المعدلات كمدخلات لخوارزمية KMC، ولا تستطيع الطريقة نفسها التنبؤ بها.

تُعد طريقة KMC في الأساس هي نفسها طريقة مونت كارلو الديناميكية وخوارزمية جيليسبي .

أحد التصنيفات الممكنة لخوارزميات KMC هو خوارزمية KMC للرفض (rKMC) وخوارزمية KMC الخالية من الرفض (rfKMC).

عملية كي إم سي خالية من الرفض

يمكن كتابة خوارزمية rfKMC، والتي تُعرف غالبًا باسم KMC فقط، لمحاكاة التطور الزمني لنظام ما، حيث يمكن أن تحدث بعض العمليات بمعدلات معروفة r، على سبيل المثال كما يلي: ^{[ 1 ] : 13-14}

1. اضبط الوقت${\displaystyle t=0}$.
2. اختر حالة ابتدائية k .
3. قم بتكوين قائمة بجميع${\displaystyle N_{k}}$معدلات الانتقال المحتملة في النظام${\displaystyle r_{ki}}$، من الحالة k إلى حالة عامة i . الحالات التي لا تتواصل مع k سيكون لديها${\displaystyle r_{ki}=0}$.
4. احسب الدالة التراكمية${\displaystyle R_{ki}=\sum _{j=1}^{i}r_{kj}}$ل${\displaystyle i=1,\ldots ,N_{k}}$المعدل الإجمالي هو${\displaystyle Q_{k}=R_{k,N_{k}}}$.
5. احصل على رقم عشوائي منتظم${\displaystyle u\in (0,1]}$.
6. ابحث عن الحدث الذي يُنفذ i من خلال إيجاد قيمة i التي تحقق الشرط التالي:${\displaystyle R_{k,i-1}<uQ_{k}\leq R_{ki}}$(يمكن تحقيق ذلك بكفاءة باستخدام البحث الثنائي ).
7. نفّذ الحدث i (حدّث الحالة الحالية)${\displaystyle k\rightarrow i}$).
8. احصل على رقم عشوائي موحد جديد${\displaystyle u^{\prime }\in (0,1]}$.
9. قم بتحديث الوقت باستخدام${\displaystyle t=t+\Delta t}$، أين${\displaystyle \Delta t=Q_{k}^{-1}\ln(1/u^{\prime })}$لاحظ أن هذه الفترة الزمنية تمثل الوقت المنقضي بين الحدث السابق وهذا الحدث، وليس الفترة الزمنية بين هذا الحدث والحدث التالي. ^{[ 1 ] : 17-18}
10. العودة إلى الخطوة 3.

(ملاحظة: لأن متوسط ​​قيمة${\displaystyle \ln(1/u^{\prime })}$إذا كانت القيمة تساوي واحدًا، فيمكن الحصول على نفس متوسط ​​المقياس الزمني باستخدام${\displaystyle \Delta t=Q_{k}^{-1}}$في الخطوة 9. في هذه الحالة، لن يتم استخلاص التأخير المرتبط بالانتقال i من توزيع بواسون الموصوف بالمعدل.${\displaystyle Q_{k}}$، ولكن بدلاً من ذلك سيكون متوسط ​​ذلك التوزيع. )

تُعرف هذه الخوارزمية في مصادر مختلفة بأسماء متنوعة، منها خوارزمية زمن الإقامة، أو طريقة n -fold، أو خوارزمية بورتز-كالوس-ليبويتز (BKL) . وتعتمد الخطوة الزمنية على احتمال عدم وقوع جميع الأحداث i . ^{[ 1 ] : 13-14}

إذا كانت الأسعار${\displaystyle r_{ki}(t)}$بما أنها تعتمد على الوقت، يجب تعديل الخطوة 9 في rfKMC بواسطة: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\Delta t}Q_{k}(t')dt'=\ln(1/u^{\prime })}$.

يجب اختيار التفاعل (الخطوة 6) بعد ذلك بواسطة

${\displaystyle R_{k,i-1}(\Delta t)<uQ_{k}(\Delta t)\leq R_{ki}(\Delta t)}$

هناك خوارزمية أخرى مشابهة جدًا تسمى طريقة التفاعل الأول (FRM). وهي تعتمد على اختيار التفاعل الذي يحدث أولًا، أي اختيار التفاعل الذي يحدث في أقل وقت ممكن.${\displaystyle \Delta t_{i}}$، ورقم التفاعل المقابل i ، من الصيغة

${\displaystyle \int _{0}^{\Delta t_{i}}r_{ki}(t')dt'=\ln(1/u_{i})}$،

حيث${\displaystyle u_{i}\in (0,1]}$هي N أرقام عشوائية.

تتمثل الخاصية الأساسية لخوارزمية KMC (وكذلك خوارزمية FRM) في أنه إذا كانت المعدلات صحيحة، وإذا كانت العمليات المرتبطة بهذه المعدلات من نوع عملية بواسون ، وإذا كانت العمليات المختلفة مستقلة (أي غير مترابطة)، فإن خوارزمية KMC تعطي المقياس الزمني الصحيح لتطور النظام المُحاكى. وقد دار نقاش حول صحة المقياس الزمني لخوارزميات rKMC، ولكن تم إثبات صحته بشكل قاطع. ^{[ 2 ]}

إذا كانت التحولات تتبع التوازن التفصيلي ، فيمكن استخدام خوارزمية KMC لمحاكاة التوازن الديناميكي الحراري . ومع ذلك، تُستخدم خوارزمية KMC على نطاق واسع لمحاكاة العمليات غير المتوازنة، ^{[ 5 ]} وفي هذه الحالة لا يلزم الالتزام بالتوازن التفصيلي.

تتميز خوارزمية rfKMC بالكفاءة من حيث ضمان إنتاج انتقال في كل تكرار. ومع ذلك، فإنها تتطلب بالشكل الموضح أعلاه${\displaystyle N}$تُجرى عمليات لكل انتقال، وهو أمر غير فعال. في كثير من الحالات، يمكن تحسين ذلك بشكل كبير عن طريق تجميع أنواع الانتقالات المتشابهة في مجموعات، و/أو تكوين بنية بيانات شجرية للأحداث. وقد طُوِّرت خوارزمية قياس ثابتة الوقت من هذا النوع واختُبرت مؤخرًا. ^{[ 6 ]}

العيب الرئيسي في خوارزمية rfKMC هو أن جميع المعدلات الممكنة${\displaystyle r_{ki}}$ويجب معرفة التفاعلات مسبقًا، إذ لا يمكن للطريقة نفسها التنبؤ بها. يجب الحصول على معدلات التفاعلات من طرق أخرى، مثل تجارب الانتشار (أو غيرها)، أو ديناميكيات الجزيئات ، أو محاكاة نظرية الكثافة الوظيفية .

تم استخدام طريقة KMC في محاكاة الأنظمة الفيزيائية التالية:

1. الانتشار السطحي
2. نمو السطح ^{[ 7 ]}
3. انتشار الشواغر في السبائك (كان هذا هو الاستخدام الأصلي ^{[ 8 ]} )
4. تطور النطاق الخشن
5. حركة العيوب وتجمعها في المواد الصلبة المشعة بالأيونات أو النيوترونات بما في ذلك، على سبيل المثال لا الحصر، تراكم الضرر ونماذج التبلور/إعادة التبلور.
6. اللزوجة المرنة للشبكات المتشابكة فيزيائياً ^{[ 9 ]}
7. نمو البلورات

لإعطاء فكرة عما قد تكون عليه "الأشياء" و"الأحداث" عمليًا، إليك مثال بسيط ملموس، يتوافق مع المثال 2 أعلاه.

لنفترض نظامًا تترسب فيه الذرات الفردية على سطح ما واحدة تلو الأخرى (وهو أمر شائع في الترسيب الفيزيائي للبخار )، ولكنها قد تهاجر أيضًا على السطح بمعدل قفز معروف.${\displaystyle w}$في هذه الحالة، فإن "الأشياء" الخاصة بخوارزمية KMC هي ببساطة الذرات الفردية.

إذا اقتربت ذرتان من بعضهما البعض، فإنهما تصبحان ثابتتين. عندئذٍ، يحدد تدفق الذرات الواردة معدل _{الترسيب} r ، ويمكن محاكاة النظام باستخدام طريقة مونت كارلو الحركية (KMC) مع الأخذ في الاعتبار جميع الذرات المتحركة المترسبة التي لم تلتقِ (بعد) بنظيرتها وتصبح ثابتة. وبهذه الطريقة، تكون الأحداث التالية ممكنة في كل خطوة من خطوات KMC:

• ذرة جديدة تدخل بمعدل r _{للترسيب}
• تقفز ذرة مترسبة بالفعل خطوة واحدة بمعدل w .

بعد اختيار حدث ما وتنفيذه باستخدام خوارزمية KMC، يجب التحقق مما إذا كانت الذرة الجديدة أو التي قفزت للتو قد أصبحت مجاورة مباشرة لذرة أخرى. إذا حدث ذلك، فيجب إزالة الذرة (أو الذرات) المجاورة من قائمة الذرات المتحركة، وبالتالي إزالة أحداث قفزها من قائمة الأحداث الممكنة.

بطبيعة الحال، عند تطبيق طريقة مونت كارلو الحركية (KMC) على مسائل الفيزياء والكيمياء، يجب أولاً التأكد من مدى توافق النظام الحقيقي مع الافتراضات الأساسية لهذه الطريقة. فالعمليات الحقيقية لا تمتلك بالضرورة معدلات محددة بدقة، وقد تكون عمليات الانتقال مترابطة، وفي حالة قفزات الذرات أو الجسيمات، قد لا تحدث القفزات في اتجاهات عشوائية، وهكذا. عند محاكاة نطاقات زمنية متباينة على نطاق واسع، يجب أيضًا مراعاة إمكانية ظهور عمليات جديدة على نطاقات زمنية أطول. إذا صحّت أي من هذه المشكلات، فقد يكون النطاق الزمني وتطور النظام المتوقعان بواسطة KMC منحرفين أو حتى خاطئين تمامًا.

أول منشور وصف السمات الأساسية لطريقة KMC (أي استخدام دالة تراكمية لاختيار حدث وحساب مقياس زمني على شكل 1/ R ) كان من قبل يونغ وإلكوك في عام 1966. ^{[ 8 ]} كما نُشرت خوارزمية زمن الإقامة في نفس الوقت تقريبًا. ^{[ 10 ]}

على ما يبدو، وبشكل مستقل عن عمل يونغ وإلكوك، قام بورتز وكالوس وليبويتز ^{[ 1 ]} بتطوير خوارزمية KMC لمحاكاة نموذج إيزينغ ، والتي أطلقوا عليها اسم " طريقة n-fold" . وتتشابه أساسيات خوارزميتهم مع خوارزمية يونغ ^{[ 8 ]،} لكنهم يقدمون تفاصيل أكثر بكثير حول هذه الطريقة.

في العام التالي ، نشر دان غيليسبي ما يُعرف الآن بخوارزمية غيليسبي لوصف التفاعلات الكيميائية. ^{[ 11 ]} الخوارزمية مشابهة، ونظام التقدم الزمني فيها مطابقٌ أساسًا لما هو عليه في طريقة مونت كارلو الحركية.

حتى وقت كتابة هذا التقرير (يونيو 2006)، لا يوجد بحثٌ نهائيٌّ حول نظرية مونت كارلو الحركية، لكن فيشثورن وواينبرغ ناقشا النظرية بالتفصيل لمحاكاة مونت كارلو الحركية في حالة التوازن الديناميكي الحراري. ^{[ 12 ]} كما قدّم آرت فوتر مقدمةً جيدةً في هذا المجال. ^{[ 13 ]}وبواسطة إيه بي جيه جانسن، ^{[ 14 ]}ومن المراجعات الحديثة (Chatterjee 2007) ^{[ 15 ]} أو (Chotia 2008). ^{[ 16 ]} وقد طوّر ت. ليليفر وزملاؤه تبرير استخدام طريقة كينيزيو مونت كارلو (KMC) كتقريب لديناميكيات لانجفين باستخدام منهجية التوزيع شبه المستقر . ^{[ 17 ] [ 18 ]}

في مارس 2006، تم إصدار أول برنامج تجاري على الأرجح يستخدم Kinetic Monte Carlo لمحاكاة انتشار وتنشيط/إلغاء تنشيط الشوائب في السيليكون والمواد الشبيهة بالسيليكون بواسطة Synopsys ، كما ورد في تقرير Martin-Bragado et al. ^{[ 19 ] .}

يمكن تقسيم طريقة KMC حسب كيفية تحرك الأجسام أو ردود أفعالها. وتُستخدم على الأقل التقسيمات الفرعية التالية:

• يشير مصطلح KMC الشبكي ( LKMC ) إلى محاكاة KMC التي تُجرى على شبكة ذرية . ويُطلق على هذا النوع أيضًا اسم KMC الذري ( AKMC ). ومن الأمثلة الشائعة على ذلك محاكاة انتشار الشواغر في السبائك ، حيث يُسمح للشواغر بالقفز حول الشبكة بمعدلات تعتمد على التركيب العنصري المحلي. ^{[ 20 ]}
• يشير مصطلح Object KMC ( OKMC ) إلى خوارزمية KMC المُطبقة على العيوب أو الشوائب التي تتحرك عشوائيًا أو باتجاهات خاصة بالشبكة البلورية. تُدرج في المحاكاة مواقع الأجسام المتحركة فقط، وليس مواقع ذرات الشبكة البلورية "الخلفية". وتتمثل الخطوة الأساسية في خوارزمية KMC في قفزة جسم واحد.
• يشير مصطلح "KMC الحدثي" ( EKMC ) أو "KMC المرور الأول" ( FPKMC ) إلى نوع من أنواع OKMC حيث يتم اختيار التفاعل التالي بين الأجسام (مثل تكتل شوائب أو إفناء الفراغات والذرات البينية ) باستخدام خوارزمية KMC، مع مراعاة مواقع الأجسام، ثم يتم تنفيذ هذا الحدث فورًا. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

• محاكاة مونت كارلو الحركية ثلاثية الأبعاد باستخدام لغة البت
• محاكاة KMC لعدم استقرار بلاتو-رايلي
• محاكاة KMC لانتشار السطح المجاور (100) لبلورات fcc
• نموذج المجال الحركي العشوائي (يعطي نتائج مماثلة لنموذج مونت كارلو الحركي الشبكي، ولكنه أكثر فعالية من حيث التكلفة وأسهل في التنفيذ - يتم توفير كود البرنامج مفتوح المصدر)