التطور الزمني

📅 آخر تحديث: ١٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة

التطور الزمني هو تغير الحالة الناتج عن مرور الزمن ، وينطبق على الأنظمة ذات الحالة الداخلية (وتُسمى أيضًا الأنظمة ذات الحالة ). في هذا السياق، لا يُشترط أن يكون الزمن متغيرًا متصلًا، بل قد يكون منفصلًا أو حتى محدودًا . في الفيزياء الكلاسيكية ، يخضع التطور الزمني لمجموعة من الأجسام الصلبة لمبادئ الميكانيكا الكلاسيكية . في أبسط صورها، تُعبّر هذه المبادئ عن العلاقة بين القوى المؤثرة على الأجسام وتسارعها وفقًا لقوانين نيوتن للحركة . ويمكن التعبير عن هذه المبادئ بشكل مكافئ وأكثر تجريدًا باستخدام ميكانيكا هاميلتون أو ميكانيكا لاغرانج .

قد ينطبق مفهوم التطور الزمني على أنظمة أخرى ذات حالة أيضًا. على سبيل المثال، يمكن اعتبار تشغيل آلة تورينج بمثابة تطور زمني لحالة التحكم في الآلة بالإضافة إلى حالة الشريط (أو ربما عدة أشرطة) بما في ذلك موضع رأس القراءة والكتابة (أو الرؤوس). في هذه الحالة، يُعتبر الزمن خطوات منفصلة.

غالبًا ما تمتلك الأنظمة ذات الحالة وصفين، أحدهما من حيث الحالات والآخر من حيث القيم القابلة للملاحظة . في هذه الأنظمة، يمكن أن يشير التطور الزمني أيضًا إلى التغير في القيم القابلة للملاحظة. وهذا ذو أهمية خاصة في ميكانيكا الكم، حيث تُعتبر صورة شرودنغر وصورة هايزنبرغ وصفين متكافئين (في الغالب) للتطور الزمني.

عوامل تطور الزمن

لنفترض نظامًا ذا فضاء حالة X يكون تطوره حتميًا وقابلًا للعكس . ولتوضيح ذلك، لنفترض أيضًا أن الزمن مُعامل يتراوح على مجموعة الأعداد الحقيقية R. عندئذٍ، يُعطى تطور الزمن بواسطة عائلة من تحويلات الحالة التقابلية .

(Fت،s:X→X)s،ت∈R{\displaystyle (\operatorname {F} _{t,s}\colon X\rightarrow X)_{s,t\in \mathbb {R} }}.

F( t , s ( x )) هي حالة النظام عند الزمن t ، وحالته عند الزمن s هي x . وتتحقق المتطابقة التالية

Fu،ت⁡(Fت،s⁡(x))=Fu،s⁡(x).{\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).}

لتوضيح سبب صحة ذلك، لنفترض أن x ∈ X هي الحالة عند الزمن s . عندئذٍ، بحسب تعريف F، فإن F t , s ( x ) هي حالة النظام عند الزمن t، وبالتالي، بتطبيق التعريف مرة أخرى، فإن F u , t (F t , s ( x )) هي الحالة عند الزمن u . ولكن هذه هي أيضاً F u , s ( x ).

في بعض سياقات الفيزياء الرياضية، تُسمى التطبيقات F( t , s) بمؤثرات الانتشار أو ببساطة المُوَصِّلات . في الميكانيكا الكلاسيكية ، تُمثل المُوَصِّلات دوالًا تعمل على فضاء الطور لنظام فيزيائي. أما في ميكانيكا الكم ، فعادةً ما تكون المُوَصِّلات مؤثرات وحدوية على فضاء هيلبرت . ويمكن التعبير عن المُوَصِّلات كدوال أسية مُرتبة زمنيًا للهاميلتوني المُتكامل. وتُحدد خصائص التطور الزمني التقاربية بواسطة مصفوفة التشتت . [ 1 ]

يُطلق على فضاء الحالة الذي يحتوي على مُوَصِّل مميز اسم النظام الديناميكي .

القول بأن التطور الزمني متجانس يعني أن

Fu،ت=Fu-ت،0{\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}=\operatorname {F} _{ut,0}}للجميعu،ت∈R{\displaystyle u,t\in \mathbb {R} }.

في حالة النظام المتجانس، تشكل التطبيقات G t = F t ,0 مجموعة تحويلات ذات معلمة واحدة لـ X ، أي

جيت+s=جيت⁡جيs.{\displaystyle \operatorname {G} _{t+s}=\operatorname {G} _{t}\operatorname {G} _{s}.}

بالنسبة للأنظمة غير العكوسة، يتم تعريف عوامل الانتشار F( t , s) عندما يكون t ≥ s وتحقق متطابقة الانتشار.

Fu،ت⁡(Fت،s⁡(x))=Fu،s⁡(x){\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x)}لأيu≥ت≥s{\displaystyle u\geq t\geq s}.

في الحالة المتجانسة، تكون عوامل الانتشار عبارة عن دوال أسية للهاميلتوني.

في ميكانيكا الكم

في صورة شرودنغر ، يُولّد عامل هاميلتون التطور الزمني للحالات الكمومية. إذا|ψ(ت)⟩{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }هي حالة النظام في وقتت{\displaystyle t}، ثم

ح|ψ(ت)⟩=أناℏ∂∂ت|ψ(ت)⟩.{\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}

هذه هي معادلة شرودنغر .

هاميلتوني مستقل عن الزمن

لوح{\displaystyle H}إذا كان مستقلاً عن الزمن، فإن الحالة عند وقت ابتدائي معين (ت=0{\displaystyle t=0}يمكن التعبير عن ) باستخدام عامل تطور الزمن الوحدوييو(ت){\displaystyle U(t)}هو عامل الأسي

|ψ(ت)⟩=يو(ت)|ψ(0)⟩=هـ-أناحت/ℏ|ψ(0)⟩،{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =U(t)\left|\psi (0)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle ,}

أو بشكل أعم، لفترة زمنية أولية معينةت0{\displaystyle t_{0}}

|ψ(ت)⟩=يو(ت،ت0)|ψ(ت0)⟩=هـ-أناح(ت-ت0)/ℏ|ψ(ت0)⟩.{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =U(t,t_{0})\left|\psi (t_{0})\right\rangle =e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }\left|\psi (t_{0})\right\rangle .}[ 2 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ المحاضرة 1 | التشابك الكمي، الجزء 1 (ستانفورد) (فيديو). ستانفورد، كاليفورنيا: ستانفورد. 2 أكتوبر 2006. تم الاطلاع عليه في 5 سبتمبر 2020 – عبر يوتيوب.
  2. ^ كوهين تنودجي، كلود. ديو، برنارد. لالوي، فرانك؛ هيملي، سوزان ريد؛ أوستروفسكي، نيكول؛ أوستروفسكي، دي بي (2020). ميكانيكا الكم (الطبعة الثانية ). فاينهايم، ألمانيا: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. الصفحات من 313 إلى 315. ISBN   9783527345533.

مراجع عامة

  • أمان، ه.؛ أرندت، دبليو. نيوبراندر، F .؛ نيكيز، س.؛ فون أدناه، J. (2008)، أمان، هربرت؛ أرندت، فولفغانغ؛ هيبر، ماتياس. نيوبراندر ، فرانك م. نيكيز، سيرج؛ فون أدناه ، يواكيم (محرران)، التحليل الوظيفي ومعادلات التطور: مجلد غونتر لومر ، بازل: بيركهاوزر، دوى : 10.1007 / 978-3-7643-7794-6 ، ISBN 978-3-7643-7793-9MR 2402015​ .
  • جيروم، جيه دبليو؛ بوليتزي، إي. (2014)، "تقسيم الأنظمة الكمومية المعتمدة على الزمن: الانتشار في الزمن الحقيقي لمؤثر التطور"، التحليل التطبيقي ، 93 (12): 2574-2597 ، arXiv : 1309.3587 ، doi : 10.1080/00036811.2013.878863 ، S2CID 17905545 .
  • لانفورد، أو إي (1975)، "التطور الزمني للأنظمة الكلاسيكية الكبيرة"، في موسر ج. (محرر)، الأنظمة الديناميكية، النظرية والتطبيقات ، سلسلة محاضرات في الفيزياء، المجلد  38، برلين، هايدلبرغ: سبرينغر، الصفحات 1-111 ، doi : 10.1007/3-540-07171-7_1 ، ISBN  978-3-540-37505-0.
  • لانفورد، أو إي؛ ليبويتز، جيه إل (1975)، "التطور الزمني والخصائص الإرجودية للأنظمة التوافقية"، في موسر، جيه (محرر)، الأنظمة الديناميكية، النظرية والتطبيقات ، سلسلة محاضرات في الفيزياء، المجلد  38، برلين، هايدلبرغ: سبرينغر، الصفحات 144-177 ، doi : 10.1007/3-540-07171-7_3 ، ISBN  978-3-540-37505-0.