كثيرات حدود كرافتشوك

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة

كثيرات حدود كرافتشوك ( أو كثيرات حدود كراوتشوك ، وتُكتب أيضًا باستخدام عدة ترجمات صوتية أخرى للقب الأوكراني Кравчу́к ) هي كثيرات حدود متعامدة منفصلة مرتبطة بالتوزيع ذي الحدين ، وقد قدمها ميخايلو كرافتشوك ( 1929 ) . كثيرات الحدود القليلة الأولى هي (عندما q = 2): 

ك0(x؛ن)=1،{\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}(x;n)=1,}
ك1(x؛ن)=-2x+ن،{\displaystyle {\mathcal {K}}_{1}(x;n)=-2x+n,}
ك2(x؛ن)=2x2-2نx+(ن2)،{\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(x;n)=2x^{2}-2nx+{\binom {n}{2}},}
ك3(x؛ن)=-43x3+2نx2-(ن2-ن+23)x+(ن3).{\displaystyle {\mathcal {K}} _ {3}(x;n)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2nx^{2}-(n^{2}-n+{\frac {2}{3}})x+{\binom {n}{3}}.}

تعد كثيرات حدود كرافتشوك حالة خاصة من كثيرات حدود ميكسنر من النوع الأول.

تعريف

لأي قوة أولية q وعدد صحيح موجب n ، عرّف متعددة حدود كرافتشوك كك(x؛ن،q)=كك(x)=∑ج=0ك(-1)ج(q-1)ك-ج(xج)(ن-xك-ج)=∑ج=0ك(-1)ج(q-1)ك-جxج_ج!(ن-x)ك-ج_(ك-ج)!// _ {j=0}^{k}(-1)^{j}(q-1)^{kj}{\frac {x^{\underline {j}}}{j!}}{\frac {(nx)^{\underline {kj}}}{(kj)!}}\end{محاذاة}}} لك=0،1،...،ن{\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}في السطر الثاني، العوامل التي تعتمد علىx{\displaystyle x}تمت إعادة كتابتها من حيث المضروب المتناقص ، لمساعدة القراء غير المرتاحين للوسائط غير الصحيحة لمعاملات ذات الحدين.

ملكيات

تتضمن متعددة حدود كرافتشوك التعبيرات البديلة التالية:

كك(x؛ن،q)=∑ج=0ك(-q)ج(q-1)ك-ج(ن-جك-ج)(xج).{\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k}(-q)^{j}(q-1)^{kj}{\binom {nj}{kj}}{\binom {x}{j}}.}
كك(x؛ن،q)=∑ج=0ك(-1)جqك-ج(ن-ك+جج)(ن-xك-ج).{\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}q^{kj}{\binom {n-k+j}{j}}{\binom {nx}{kj}}.}

لاحظ أن الأمر يتجاوز مجرد إعادة تجميع المادة من معاملي ذات الحدين اللذين يفصلان بينهما، وذلك وفقًا للتعريف أعلاه. في هذه الصيغ، حد واحد فقط من المجموع له درجةك{\displaystyle k}بينما في التعريف، جميع المصطلحات لها درجةك{\displaystyle k}.

علاقات التناظر

بالنسبة للأعداد الصحيحةأنا،ك≥0{\displaystyle i,k\geq 0}لدينا ذلك

(q-1)أنا(نأنا)كك(أنا؛ن،q)=(q-1)ك(نك)كأنا(ك؛ن،q).{\displaystyle {\begin{aligned}(q-1)^{i}{n \choose i}{\mathcal {K}}_{k}(i;n,q)=(q-1)^{k}{n \choose k}{\mathcal {K}}_{i}(k;n,q).\end{aligned}}}

علاقات التعامد

بالنسبة للأعداد الصحيحة غير السالبة r و s ،

∑أنا=0ن(نأنا)(q-1)أناكر(أنا؛ن،q)كs(أنا؛ن،q)=qن(q-1)ر(نر)دلتار،s.{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(q-1)^{i}{\mathcal {K}}_{r}(i;n,q){\mathcal {K}}_{s}(i;n,q)=q^{n}(q-1)^{r}{\binom {n}{r}}\delta _{r,s}.}

دالة توليد

تُعطى سلسلة توليد كثيرات حدود كرافتشوك كما يلي .z{\displaystyle z}هو متغير رسمي.

(1+(q-1)z)ن-x(1-z)x=∑ك=0∞كك(x؛ن،q)zك.{\displaystyle {\begin{محاذاة}(1+(q-1)z)^{nx}(1-z)^{x}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q){z^{k}}.\end{محاذاة}}}

تكرار لمدة ثلاثة أسابيع

تحقق كثيرات حدود كرافتشوك علاقة التكرار الثلاثية

xكك(x؛ن،q)=-q(ن-ك)كك+1(x؛ن،q)+(q(ن-ك)+ك(1-q))كك(x؛ن،q)-ك(1-q)كك-1(x؛ن،q).{\displaystyle {\begin{align}x{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=-q(nk){\mathcal {K}}_ {k+1}(x;n,q)+(q(nk)+k(1-q)){\mathcal {K}}_ {k}(x;n,q)-k(1-q){\mathcal {K}} _ {ك-1}(x;n,q).\end{محاذاة}}}

انظر أيضاً

مراجع

    • كرافتشوك، م. (1929)، “Sur une généralisation des polynomes d’Hermite”. ، Comptes Rendus Mathématique (بالفرنسية)، 189 : 620–622 ، JFM 55.0799.01 
    • كورنويندر، توم هـ؛ وونغ، رودريك إس سي؛ كويكويك، رويلوف؛ Swarttouw، René F. (2010)، “Hahn Class: Definitions” ، في Olver، Frank WJ ؛ لوزير، دانييل م. بويسفيرت، رونالد ف. كلارك ، تشارلز دبليو (محرران)، دليل NIST للوظائف الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .
    • نيكيفوروف، أ.ف.؛ سوسلوف، س.ك.؛ أوفاروف، ف.ب. (1991)، كثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية لمتغير منفصل ، سلسلة سبرينغر في الفيزياء الحاسوبية، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 3-540-51123-7MR 1149380​ .
    • ليفنشتاين، فلاديمير آي. (1995)، "متعددات حدود كراوتشوك والحدود العالمية للرموز والتصاميم في فضاءات هامينغ"، معاملات IEEE في نظرية المعلومات ، 41 (5): 1303-1321 ، doi : 10.1109/18.412678 ، MR 1366326 .
    • ماكويليامز، إف جيه؛ سلون، إن جيه إيه (1977)، نظرية رموز تصحيح الأخطاء ، نورث هولاند، رقم ISBN 0-444-85193-3