مثلث لايبنيز التوافقي

مثلث لايبنتز التوافقي هو ترتيب مثلثي لكسور الوحدة ، حيث يتكون القطران الخارجيان من مقلوب أرقام الصفوف، وكل خلية داخلية هي الخلية الواقعة قطريًا أعلى وإلى اليسار مطروحًا منها الخلية التي إلى يسارها. وبالتعبير الجبري ، L ( r , 1) = 1/ r (حيث r هو رقم الصف، بدءًا من 1، و c هو رقم العمود، ولا يتجاوز r أبدًا )، و L ( r , c ) = L ( r − 1, c − 1) − L ( r , c − 1).

الصفوف الثمانية الأولى هي:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}&&&&&&&&&1&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{5}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1}{7}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{140}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{7}}&&\\&&{\frac {1}{8}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}}$

المقامات مدرجة في (التسلسل A003506 في OEIS ) ، بينما البسط كلها 1.

تُعطى الشروط من خلال التكرار

${\displaystyle L(r,1)={\frac {1}{r}},}$

${\displaystyle L(r,c)=L(r-1,c-1)-L(r,c-1),}$

وبشكل صريح من خلال

${\displaystyle L(r,c)={\frac {1}{c{\binom {r}{c}}}}={\frac {1}{r{\binom {r-1}{c-1}}}},}$

أين${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$تشير إلى معاملات ذات الحدين . ^{[ 1 ]}

بينما يُمثل كل عنصر في مثلث باسكال مجموع العنصرين في الصف الذي يسبقه، فإن كل عنصر في مثلث لايبنتز يُمثل مجموع العنصرين في الصف الذي يليه . على سبيل المثال، في الصف الخامس، يُمثل العنصر (1/30) مجموع العنصرين (1/60) في الصف السادس.

وكما يمكن حساب مثلث باسكال باستخدام معاملات ذات الحدين، كذلك يمكن حساب مثلث لايبنتز:${\displaystyle L(r,c)={\frac {1}{r{r-1 \choose c-1}}}}$علاوة على ذلك، يمكن حساب عناصر هذا المثلث من معادلة باسكال : "الحدود في كل صف هي الحد الأولي مقسومًا على عناصر مثلث باسكال المقابلة." ^{[ 2 ]} في الواقع، يرتبط كل قطر بأقطار مثلث باسكال المقابلة: يتكون قطر لايبنتز الأول من 1/(1 × الأعداد الطبيعية )، والثاني من 1/(2 × الأعداد المثلثية )، والثالث من 1/(3 × الأعداد الرباعية الأوجه )، وهكذا.

علاوة على ذلك، فإن كل عنصر في المثلث التوافقي يساوي مقلوب العنصر المقابل في مثلث باسكال مضروبًا في مقلوب الصف المقابل.${\displaystyle r}$${\displaystyle h_{(r,c)}={\frac {1}{p_{(r,c)}}}\times {\frac {1}{r}}}$، أين${\displaystyle h_{(r,c)}}$هو المدخل في المثلث التوافقي و${\displaystyle p_{(r,c)}}$هو المدخل المقابل في مثلث باسكال

المجموع اللانهائي لجميع الحدود في أي قطر يساوي الحد الأول في القطر السابق، أي${\displaystyle \sum _{r=c}^{\infty }L(r,c)=L(c-1,c-1)}$لأن التكرار يمكن استخدامه لتقريب السلسلة كما${\displaystyle \sum _{r=c}^{\infty }L(r,c)=\sum _{r=c}^{\infty }L(r-1,c-1)-L(r,c-1)=L(c-1,c-1)-{\cancelto {0}{L(\infty ,c-1)}}:}$أين${\displaystyle L(\infty ,c-1)=\lim _{r\to \infty }L(r,c-1)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r{r-1 \choose c-2}}}=0}$.

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&{\color {red}1}&&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\color {blue}{\frac {1}{2}}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{3}}&&{\color {blue}{\frac {1}{6}}}&&{\frac {1}{3}}&&&\\&&&{\frac {1}{4}}&&{\color {blue}{\frac {1}{12}}}&&{\frac {1}{12}}&&{\color {red}{\frac {1}{4}}}&&\\&&{\frac {1}{5}}&&{\color {blue}{\frac {1}{20}}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\color {blue}{\frac {1}{5}}}&\\&{\frac {1}{6}}&&{\color {blue}{\frac {1}{30}}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\color {blue}{\frac {1}{30}}}&&{\frac {1}{6}}\\&&&&\vdots &&&&\vdots &&&\\\end{array}}}$

على سبيل المثال،

${\displaystyle {\color {blue}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+...}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+...={\color {red}1}}$

${\displaystyle {\color {blue}{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{105}}+...}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{20}}-{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{60}}-{\frac {1}{140}}+...={\color {red}{\frac {1}{4}}}}$

باستبدال صيغة المعاملات نحصل على المتسلسلة اللانهائية${\displaystyle \sum _{r=c}^{\infty }{\frac {1}{r{r-1 \choose c-1}}}={\frac {1}{c-1}}}$، أول مثال تم تقديمه هنا ظهر في الأصل في عمل لايبنتز حوالي عام 1694 ^{[ 3 ]}

إذا أخذنا مقامات الصف النوني وجمعناها، فإن النتيجة ستكون مساوية${\displaystyle n2^{n-1}}$على سبيل المثال، بالنسبة للصف الثالث، لدينا 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 2 ² .

لدينا${\displaystyle L(r,c)=\int _{0}^{1}\!x^{c-1}(1-x)^{r-c}\,dx.}$

• قاعدة باسكال
• هوية عصا الهوكي