سلسلة التلسكوب

في الرياضيات ، المتسلسلة التلسكوبية هي متسلسلة يكون حدها العام${\displaystyle t_{n}}$وهو على شكل${\displaystyle t_{n}=a_{n}-a_{n-1}}$أي الفرق بين حدين متتاليين في متتالية${\displaystyle (a_{n})}$ونتيجة لذلك، فإن المجاميع الجزئية للمتسلسلة تتكون فقط من حدين من${\displaystyle (a_{n})}$بعد الإلغاء. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

تُعرف تقنية الإلغاء، حيث يتم إلغاء جزء من كل حد بجزء من الحد التالي، باسم طريقة الفروق .

يمكن العثور على بيان مبكر لصيغة مجموع أو المجاميع الجزئية لسلسلة متداخلة في عمل إيفانجيليستا توريتشيلي عام 1644 ، بعنوان De dimensione parabolae . ^{[ 3 ]}

المجاميع المتداخلة هي مجاميع منتهية حيث تلغي أزواج الحدود المتتالية بعضها بعضًا جزئيًا، فلا يتبقى سوى أجزاء من الحدود الابتدائية والنهائية. ^{[ 1 ] [ 4 ]} ليكن${\displaystyle a_{n}}$لتكن عناصر متتالية من الأرقام. إذن $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}.}$$ لو${\displaystyle a_{n}}$يتقارب إلى حد معين${\displaystyle L}$، سلسلة التلسكوب تعطي: $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=L-a_{0}.}$$

كل متسلسلة هي متسلسلة متداخلة من مجاميعها الجزئية. ^{[ 5 ]}

• حاصل ضرب متسلسلة هندسية منتهية ذات حد ابتدائي${\displaystyle a}$والنسبة المشتركة${\displaystyle r}$حسب العامل${\displaystyle (1-r)}$ينتج عنه مجموع متداخل: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle (1-r)\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left(ar^{k}-ar^{k+1}\right)=a-ar^{n+1}}$$متى${\displaystyle |r|<1}$وهذا يسمح بحساب حدها بشكل مباشر كما${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ويترتب على ذلك: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}$$

• المسلسل$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}$$هي سلسلة مقلوبات الأعداد البرونية ، ويمكن التعرف عليها كسلسلة متداخلة بمجرد إعادة كتابتها في شكل كسر جزئي ^{[ 1 ]}$$\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(n+1)}}&=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+1}}\right)\\&=\lim_{N\to \infty}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+1}}\right)\\&=\lim_{N\to \infty}\left\lbrack{\left(1-\frac{1}{2}}\right)+\left(\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{N}}-\frac \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}$$

• ليكن k عددًا صحيحًا موجبًا. إذن$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}}$$حيث H _k هو رقم التوافقي k .

• ليكن k و m حيث k${\displaystyle \neq }$ليكن m عددًا صحيحًا موجبًا. إذن$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}}={\frac {1}{mk}}\cdot {\frac {k!}{m!}}}$$أين${\displaystyle$ يرمز الرمز !} إلى عملية حساب المضروب .

• يمكن تمثيل العديد من الدوال المثلثية أيضًا على شكل فروق، مما قد يكشف عن إلغاء متداخل بين الحدود المتتالية. باستخدام متطابقة جمع الزوايا لحاصل ضرب الجيوب،$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right),\end{aligned}}}$$والتي لا تتقارب كما${\textstyle N\rightarrow \infty .}$

في نظرية الاحتمالات ، تُعرف عملية بواسون بأنها عملية عشوائية، وأبسط حالاتها تتضمن "حدوثات" في أوقات عشوائية، حيث يتبع زمن الانتظار حتى الحدوث التالي توزيعًا أُسّيًا عديم الذاكرة ، ويتبع عدد "الحدوثات" في أي فترة زمنية توزيع بواسون، وتكون قيمته المتوقعة متناسبة مع طول الفترة الزمنية. لنفترض أن X _{_t} هو عدد "الحدوثات" قبل الزمن t ، وأن T _{_x} هو زمن الانتظار حتى "الحدوث" رقم x . نسعى لإيجاد دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائي T_{_x} . نستخدم دالة كتلة الاحتمال لتوزيع بواسون، والتي تُخبرنا أن

${\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},}$

حيث λ هو متوسط ​​عدد مرات الحدوث في أي فترة زمنية طولها 1. لاحظ أن الحدث { X _t ≥ x} هو نفسه الحدث { T _x ≤ t }، وبالتالي لهما نفس الاحتمالية. وبشكل بديهي، إذا حدث شيء ما على الأقل${\displaystyle x}$مرات قبل الوقت${\displaystyle t}$علينا الانتظار على الأكثر${\displaystyle t}$لـ${\displaystyle x}$الحدث رقم 1. وبالتالي، فإن دالة الكثافة التي نبحث عنها هي

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\Pr(T_{x}\leq t)\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\Pr(X_{t}\geq x)\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\&=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}}$

يتقلص المجموع، تاركًا

${\displaystyle f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.}$

للاطلاع على تطبيقات أخرى، انظر:

• إثبات أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية يتباعد ، حيث يستخدم أحد البراهين مجموعًا متداخلًا؛
• النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل، وهي نظير مستمر للمتسلسلات التلسكوبية؛
• إحصائية الترتيب ، حيث يحدث مجموع متداخل في اشتقاق دالة كثافة الاحتمال؛
• نظرية النقطة الثابتة لليفشيتز ، حيث ينشأ مجموع متداخل في الطوبولوجيا الجبرية ؛
• نظرية التماثل ، مفهوم في الطوبولوجيا الجبرية؛
• خدعة إيلنبرغ-مازور ، حيث يحدث مجموع متداخل للعقد؛
• خوارزمية فادييف-ليفرير .

الضرب التلسكوبي هو ضرب منتهٍ (أو ضرب جزئي لضرب غير منتهٍ) يمكن اختصاره بطريقة القسمة ليصبح في النهاية عددًا منتهيًا من العوامل. ^{[ 8 ] [ 9 ]} وهو الضرب المنتهي الذي تُختصر فيه الحدود المتتالية من المقام إلى البسط، فلا يتبقى سوى الحدين الأول والأخير.${\displaystyle a_{n}}$لتكن سلسلة من الأرقام. ثم، $${\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}.}$$ لو${\displaystyle a_{n}}$إذا تقاربت النتيجة إلى 1، فإن الناتج يعطي: $${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}}$$

على سبيل المثال، حاصل الضرب اللانهائي ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$$ يتبسط إلى $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&=\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\times \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {{\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\times \cdots \times {\frac {N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{4}}\times \cdots \times {\frac {N}{N-1}}\times {\frac {N+1}{N}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$$