لعبة Lights Out

إذا كان الضوء مضاءً، فيجب الضغط عليه عددًا فرديًا من المرات لإطفائه. وإذا كان مطفأً، فيجب الضغط عليه عددًا زوجيًا من المرات (بما في ذلك عدم الضغط عليه إطلاقًا) ليظل مطفأً. تُبنى استراتيجية اللعبة على عدة استنتاجات. أولًا، لا يهم ترتيب الضغط على الأضواء، فالنتيجة واحدة. ^{[ 7 ]} ثانيًا، في الحل الأمثل، لا يلزم الضغط على أي ضوء أكثر من مرة، لأن الضغط عليه مرتين يُعادل عدم الضغط عليه إطلاقًا. ^{[ 7 ]}

في عام ١٩٩٨، استخدم مارلو أندرسون وتود فيل الجبر الخطي لإثبات أن ليس كل التكوينات قابلة للحل، ولإثبات وجود أربعة سيناريوهات فوز فقط، باستثناء الحركات الزائدة، لأي مسألة قابلة للحل بحجم ٥×٥. ^{[ ٨ ]} يمكن تمثيل شبكة ٥×٥ لمسألة " انطفاء الأنوار" كمتجه عمودي ٢٥×١، حيث يشير الرقم ١ إلى حالة تشغيل الضوء، بينما يشير الرقم ٠ إلى حالة إطفائه. كل عنصر في هذا المتجه هو عنصر من Z² _، وهو حقل الأعداد الصحيحة بتردد ٢. وجد أندرسون وفيل أنه لكي يكون التكوين قابلاً للحل (باشتقاق المتجه الصفري من التكوين الأصلي)، يجب أن يكون متعامدًا مع المتجهين N₁ _و N₂ _{الموضحين} أدناه (والمصورين كمصفوفة ٥×٥، ولكن يجب عدم الخلط بينها وبين المصفوفات).

$${\displaystyle N_{1}={\begin{pmatrix}0&1&1&1&0\\1&0&1&0&1\\1&1&0&1&1\\1&0&1&0&1\\0&1&1&1&0\end{pmatrix}},N_{2}={\begin{pmatrix}1&0&1&0&1\\1&0&1&0&1\\0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1\\1&0&1&0&1\end{pmatrix}}}$$

بالإضافة إلى ذلك، وجدوا أنه يمكن استخدام N1 _و N2 _لإيجاد ثلاثة حلول إضافية من حلٍّ ما، وأن هذه الحلول الأربعة هي الحلول الأربعة الوحيدة (باستثناء الحركات الزائدة) للتكوين الابتدائي المُعطى. هذه الحلول الأربعة هي X، وX + N1 _، وX + N2 _، وX + N1 ₊ N2 _، حيث X هو حلٌّ للتكوين الابتدائي المُعطى. ^{[ 8 ]} نُشرت مقدمة لهذه الطريقة بواسطة روبرت إيزيل. ^{[ 9 ]} تُعمَّم هذه الطريقة على شبكات N×N ^{[ 8 ] [ 10 ]} وما بعدها. ^{[ 11 ]}

"مطاردة الضوء" هي طريقة مشابهة لطريقة الحذف الغاوسي ، وهي تحل اللغز دائمًا (إن وُجد حل)، مع احتمال وجود خطوات زائدة. ^{[ 2 ] [ 8 ] [ 12 ]} في هذه الطريقة، تُعالج الصفوف واحدًا تلو الآخر بدءًا من الصف العلوي. تُعطّل جميع الأضواء في الصف عن طريق تبديل الأضواء المجاورة في الصف الذي يليه مباشرةً. ثم تُستخدم الطريقة نفسها على الصفوف المتتالية حتى الصف الأخير. يُحل الصف الأخير بشكل منفصل، اعتمادًا على الأضواء النشطة فيه. تُبدّل الأضواء المقابلة (انظر الجدول أدناه) في الصف العلوي، ويُعاد تشغيل الخوارزمية الأولية، مما ينتج عنه حل. ^{[ 12 ]}

□ - مصباح مُفعّل.

■ - مصباح معطل.

يتم إنشاء الجداول والاستراتيجيات لأحجام اللوحات الأخرى عن طريق لعب Lights Out بلوحة فارغة ومراقبة نتيجة جلب ضوء معين من الصف العلوي إلى الصف السفلي.

بمجرد إيجاد حل واحد، يمكن تحديد الحل ذي الحد الأدنى من الحركات من خلال حذف مجموعات الضغطات الزائدة على الأزرار التي ليس لها تأثير تراكمي. ^{[ 8 ] [ 12 ]} وقد ثبت وجود حلول لمجموعة واسعة من تكوينات اللوحة، مثل السداسية، ^{[ 13 ]} بينما تم بناء حلول للوحات n×n لـ n≤200 بشكل صريح. ^{[ 14 ]} يوجد حل لكل حالة N×N. يمكن حلها على أي رسم بياني غير موجه، حيث يؤدي النقر على رأس واحد إلى قلب قيمته وقيم جيرانه. بشكل عام، إذا كانت مصفوفة الإجراءات متناظرة، فإن قطرها يكون قابلاً للحل دائمًا. ^{[ 15 ]} وهناك العديد من النتائج الأخرى المعروفة. ^{[ 11 ]}