اختبار المقارنة الحدية

في الرياضيات ، يعتبر اختبار المقارنة الحدية (LCT) (على عكس اختبار المقارنة المباشرة ذي الصلة ) طريقة لاختبار تقارب سلسلة لانهائية .

لنفترض أن لدينا سلسلتين${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$و${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$مع${\displaystyle a_{n}\geq 0,b_{n}>0}$للجميع${\displaystyle n}$ثم إذا${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$مع${\displaystyle 0<c<\infty }$إذاً، إما أن تتقارب المتسلسلتان أو تتباعدان. ^{[ 1 ]}

لأن${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$نحن نعلم أنه لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد صحيح موجب${\displaystyle n_{0}}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle n\geq n_{0}}$لدينا ذلك${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon }$أو ما يعادل ذلك

${\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }$

${\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon }$

${\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$

مثل${\displaystyle c>0}$بإمكاننا الاختيار${\displaystyle \varepsilon }$أن تكون صغيرة بما يكفي بحيث${\displaystyle c-\varepsilon }$موجب. إذن${\displaystyle b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}$وبواسطة اختبار المقارنة المباشرة ، إذا${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$إذا تقاربت، فكذلك${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$.

بصورة مماثلة${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$لذلك إذا${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$ويختلف، مرة أخرى عن طريق اختبار المقارنة المباشرة، وكذلك${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$.

أي أن المتسلسلتين تتقاربان أو المتسلسلتين تتباعدان.

نريد أن نحدد ما إذا كانت السلسلة${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}}$تتقارب. ولذلك نقارنها بالمتسلسلة المتقاربة.${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

مثل${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0}$لدينا أيضًا أن السلسلة الأصلية تتقارب.

يمكن صياغة اختبار مقارنة من جانب واحد باستخدام الحد الأعلى . ليكن${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$للجميع${\displaystyle n}$ثم إذا${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$مع${\displaystyle 0\leq c<\infty }$و${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$يتقارب بالضرورة${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$يتقارب.

يترك${\displaystyle a_{n}={\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}$و${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$لجميع الأعداد الطبيعية${\displaystyle n}$. الآن ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})}$غير موجود، لذا لا يمكننا تطبيق اختبار المقارنة القياسي. ومع ذلك، ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})=2\in [0,\infty )}$ومنذ ذلك الحين${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$إذا تقاربت النتائج، فإن اختبار المقارنة من جانب واحد يشير إلى أن${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}$يتقارب.

يترك${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$للجميع${\displaystyle n}$. لو${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$يتباعد و${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$إذا تقاربت، فبالضرورة ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty }$، إنه، ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0}$المحتوى الأساسي هنا هو أن الأرقام، بمعنى ما،${\displaystyle a_{n}}$أكبر من الأرقام${\displaystyle b_{n}}$.

يترك${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}}$كن تحليليًا في القرص الواحد${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C}$ :|z|<1\}} ولها صورة ذات مساحة محدودة. باستخدام صيغة بارسيفال، تكون مساحة صورة${\displaystyle f}$يتناسب مع${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n|a_{n}|^{2}}$. علاوة على ذلك، ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/n}$يتباعد. لذلك، من خلال عكس اختبار المقارنة، لدينا ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{1/n}}=\liminf _{n\to \infty }(n|a_{n}|)^{2}=0}$، إنه، ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }n|a_{n}|=0}$.

• اختبارات التقارب
• اختبار المقارنة المباشرة

• رينالدو ب. شينزي: من حساب التفاضل والتكامل إلى التحليل . سبرينغر، 2011، رقم ISBN 9780817682897، ص 50
• ميشيل لونغو وفينشنزو فالوري: اختبار المقارنة: ليس فقط للمتسلسلات غير السالبة . مجلة الرياضيات، المجلد 79، العدد 3 (يونيو 2006)، الصفحات  205-210 ( JSTOR )
• ج. مارشال آش: اختبار المقارنة الحدية يحتاج إلى الإيجابية . مجلة الرياضيات، المجلد 85، العدد 5 (ديسمبر 2012)، الصفحات  374-375 ( JSTOR )

• ملاحظات بولز الإلكترونية حول اختبار المقارنة