المتسلسلات (الرياضيات)

المتسلسلة ، أو بتعبير أدق، المتسلسلة اللانهائية ، هي مجموع لانهائي. وغالبًا ما يتم تمثيلها بالصيغة ^{[ 8 ] [ 15 ] [ 16 ]} .$${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \quad {\text{or}}\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$ حيث الشروط${\displaystyle a_{k}}$هي عناصر متتالية من الأرقام أو الدوال أو أي شيء آخر يمكن جمعه . يمكن أيضًا تمثيل المتسلسلة باستخدام رمز سيجما الكبير : ^{[ 8 ] [ 16 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\qquad {\text{or}}\qquad \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$$

من الشائع أيضاً التعبير عن المتسلسلات باستخدام بضعة حدود أولى، وعلامة حذف، وحد عام، ثم علامة حذف نهائية، حيث يمثل الحد العام تعبيراً عن${\displaystyle n}$الحد النوني كدالة لـ​${\displaystyle n}$⁠ : $${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots \quad {\text{ أو }}\quad f(0)+f(1)+f(2)+\cdots +f(n)+\cdots .}$$ على سبيل المثال، يمكن تعريف عدد أويلر باستخدام المتسلسلة $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+\cdots +{\frac {1}{n!}}+\cdots ,}$$ أين${\displaystyle n!}$يشير إلى ناتج${\displaystyle n}$أول الأعداد الصحيحة الموجبة ، و${\displaystyle 0!}$يساوي تقليديًا${\displaystyle 1.}$^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

بالنظر إلى سلسلة${\textstyle s=\sum _{k=0}^{\infty}a_{k}}$، لها${\displaystyle n}$المجموع الجزئي رقم 9 هو ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 16 ]}$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}.}$$

يُعرّف بعض المؤلفين المتسلسلة مباشرةً بتسلسل المجاميع الجزئية الخاصة بها. ^{[ 9 ] [ 11 ]} إما أن يكون تسلسل المجاميع الجزئية أو تسلسل الحدود هو ما يُميّز المتسلسلة بشكل كامل، ويمكن استخلاص تسلسل الحدود من تسلسل المجاميع الجزئية عن طريق حساب الفروق بين العناصر المتتالية. $${\displaystyle a_{n}=s_{n}-s_{n-1}.}$$

يُعدّ الجمع الجزئي لمتتالية مثالاً على تحويل المتتاليات الخطي ، ويُعرف أيضاً باسم المجموع البادئ في علوم الحاسوب . أما التحويل العكسي لاستعادة متتالية من مجاميعها الجزئية فهو الفرق المحدود ، وهو أيضاً تحويل خطي للمتتاليات.

قد يكون للمجاميع الجزئية للمتسلسلات أحيانًا صيغ مغلقة أبسط، على سبيل المثال، المتسلسلة الحسابية لها مجاميع جزئية. $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left(a+kd\right)=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +(a+nd)=(n+1){\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}nd{\bigr )},}$$ والمتسلسلة الهندسية لها مجاميع جزئية ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}}$$ إذا​${\displaystyle r\neq 1}$أو ببساطة​${\displaystyle s_{n}=a(n+1)}$إذا​​${\displaystyle r=1}$⁠ .

بالمعنى الدقيق ، يُقال إن المتسلسلة متقاربة أو قابلة للجمع عندما يكون لمتتالية مجاميعها الجزئية نهاية . وعندما لا توجد نهاية لمتتالية المجاميع الجزئية، تكون المتسلسلة متباعدة . ^{[ 23 ] وعندما توجد نهاية للمجاميع الجزئية ،} تُسمى مجموع المتسلسلة أو قيمتها . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 16} ]$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }s_{n}.}$$ تكون المتسلسلة التي تحتوي على عدد محدود فقط من الحدود غير الصفرية متقاربة دائمًا. تُفيد هذه المتسلسلات في دراسة المجاميع المحدودة دون الحاجة إلى مراعاة عدد الحدود. ^{[ 24 ]} عندما يكون المجموع موجودًا، فإن الفرق بين مجموع المتسلسلة و${\displaystyle n}$المجموع الجزئي،${\textstyle s-s_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty}a_{k},}$يُعرف باسم${\displaystyle n}$خطأ القطع من الدرجة الثانية للمتسلسلة اللانهائية. ^{[ 25 ] [ 26 ]}

من أمثلة المتسلسلات المتقاربة المتسلسلة الهندسية $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{k}}}+\cdots .}$$

يمكن إثبات ذلك من خلال الحساب الجبري أن كل مجموع جزئي${\displaystyle s_{n}}$يكون $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{2^{k}}}=2-{\frac {1}{2^{n}}}.}$$كما يمتلك المرء $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(2-{\frac {1}{2^{n}}}\right)=2,}$$ المتسلسلة متقاربة وتتقارب إلى${\displaystyle 2}$مع أخطاء الاقتطاع${\textstyle 1/2^{n}}$[ ^{20 ] [ 21 ] [ 22 ]​}

وعلى النقيض من ذلك، فإن السلسلة الهندسية $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}2^{k}}$$ متباعدة في الأعداد الحقيقية . ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} ومع ذلك، فهي متقاربة في خط الأعداد الحقيقية الممتد ، مع${\displaystyle +\infty }$كحد أقصى لها و${\displaystyle +\infty }$^{[ 27 ]} كخطأ اقتطاع في كل خطوة.

عندما لا يكون من السهل حساب وتقييم تقارب سلسلة من المجاميع الجزئية بشكل مباشر، يمكن استخدام اختبارات التقارب لإثبات أن السلسلة تتقارب أو تتباعد.

في عمليات الجمع المحدودة العادية ، يمكن تجميع حدود الجمع وفك تجميعها بحرية دون تغيير نتيجة الجمع نتيجة لخاصية التجميع في الجمع.${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}={}}$${\displaystyle a_{0}+(a_{1}+a_{2})={}}$${\displaystyle (a_{0}+a_{1})+a_{2}.}$وبالمثل، في المتسلسلة، لن تُغير أي مجموعات محدودة من حدود المتسلسلة نهاية المجاميع الجزئية للمتسلسلة، وبالتالي لن تُغير مجموعها. مع ذلك، إذا تم إجراء عدد لا نهائي من المجموعات في متسلسلة لانهائية، فقد يكون للمجاميع الجزئية للمتسلسلة المُجمّعة نهاية مختلفة عن نهاية المتسلسلة الأصلية، وقد يكون للمجموعات المختلفة نهايات مختلفة عن بعضها البعض؛ مجموع${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$قد لا يساوي مجموع${\displaystyle a_{0}+(a_{1}+a_{2})+{}}$${\displaystyle (a_{3}+a_{4})+\cdots .}$

على سبيل المثال، سلسلة غراندي${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$يحتوي على سلسلة من المجاميع الجزئية التي تتناوب ذهابًا وإيابًا بين${\displaystyle 1}$و​​${\displaystyle 0}$ولا تتقارب. يؤدي تجميع عناصرها في أزواج إلى إنشاء المتسلسلة${\displaystyle (1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots ={}}$${\displaystyle 0+0+0+\cdots ,}$والتي يكون مجموعها الجزئي مساويًا للصفر عند كل حد، وبالتالي يكون مجموعها صفرًا. بتجميع عناصرها في أزواج بدءًا من الحد الأول، تتكون المتسلسلة${\displaystyle 1+(-1+1)+{}}$${\displaystyle (-1+1)+\cdots ={}}$${\displaystyle 1+0+0+\cdots ,}$والتي تحتوي على مجاميع جزئية تساوي واحدًا لكل حد، وبالتالي يكون مجموعها واحدًا، وهي نتيجة مختلفة.

بشكل عام، يؤدي تجميع حدود متسلسلة إلى إنشاء متسلسلة جديدة ذات متتالية من المجاميع الجزئية، وهي متتالية جزئية من المجاميع الجزئية للمتسلسلة الأصلية. هذا يعني أنه إذا كانت المتسلسلة الأصلية متقاربة، فإن المتسلسلة الجديدة بعد التجميع تتقارب أيضًا: فجميع المتتاليات الجزئية اللانهائية لمتتالية متقاربة تتقارب أيضًا إلى نفس النهاية. مع ذلك، إذا كانت المتسلسلة الأصلية متباعدة، فإن المتسلسلة المجمعة لا تتباعد بالضرورة، كما في مثال متسلسلة غراندي المذكور أعلاه. ومع ذلك، فإن تباعد المتسلسلة المجمعة يستلزم بالضرورة أن تكون المتسلسلة الأصلية متباعدة، لأنه يثبت وجود متتالية جزئية من المجاميع الجزئية للمتسلسلة الأصلية غير متقاربة، وهو أمر مستحيل لو كانت متقاربة. وقد طُبِّق هذا المنطق في برهان أورسم على تباعد المتسلسلة التوافقية ، ^{[ 28 ]} وهو أساس اختبار كوشي العام للتكثيف . ^{[ 29 ] [ 30 ]}

في عمليات الجمع المحدودة العادية، يمكن إعادة ترتيب حدود الجمع بحرية دون تغيير نتيجة الجمع كنتيجة لخاصية التبادلية في الجمع.${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}={}}$${\displaystyle a_{0}+a_{2}+a_{1}={}}$${\displaystyle a_{2}+a_{1}+a_{0}.}$وبالمثل، في المتسلسلة، فإن أي إعادة ترتيب محدودة لحدود المتسلسلة لا تغير نهاية المجاميع الجزئية للمتسلسلة، وبالتالي لا تغير مجموع المتسلسلة: بالنسبة لأي إعادة ترتيب محدودة، سيكون هناك حد ما لم تؤثر إعادة الترتيب بعده على أي حدود أخرى: يمكن عزل أي آثار لإعادة الترتيب في المجموع المحدود حتى ذلك الحد، ولا تتغير المجاميع المحدودة تحت إعادة الترتيب.

مع ذلك، فيما يتعلق بالتجميع، قد يؤدي إعادة ترتيب حدود المتسلسلة إلى تغيير في نهاية المجاميع الجزئية لها. تُسمى المتسلسلات التي تحتوي على متواليات من المجاميع الجزئية التي تتقارب إلى قيمة معينة، ولكن يمكن إعادة ترتيب حدودها لتشكيل متسلسلة أخرى ذات مجاميع جزئية تتقارب إلى قيمة أخرى، بالمتسلسلات المتقاربة شرطيًا . أما المتسلسلات التي تتقارب إلى القيمة نفسها بغض النظر عن إعادة الترتيب، فتُسمى بالمتسلسلات المتقاربة مطلقًا .

بالنسبة لسلاسل الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة، تكون السلسلة${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$تكون المتسلسلة متقاربة بشكل مطلق إذا وفقط إذا كانت المتسلسلة التي تجمع القيم المطلقة لحدودها،${\displaystyle |a_{0}|+|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots ,}$وهي أيضًا متقاربة، وهي خاصية تُسمى التقارب المطلق . بخلاف ذلك، فإن أي متسلسلة من الأعداد الحقيقية أو المركبة التي تتقارب ولكنها لا تتقارب تقاربًا مطلقًا تُسمى متقاربة شرطيًا. يمكن إعادة ترتيب أي مجموع متقارب شرطيًا من الأعداد الحقيقية للحصول على أي عدد حقيقي آخر كحد نهائي، أو لجعله متباعدًا. هذه الادعاءات هي مضمون نظرية متسلسلة ريمان . ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

تُعد المتسلسلة التوافقية المتناوبة مثالاً تاريخياً هاماً على التقارب المشروط .

$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$ والتي مجموعها يساوي اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2 ، بينما مجموع القيم المطلقة للحدود هو المتسلسلة التوافقية . $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{1 \over n}=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots ,}$$ والتي تتباعد وفقًا لتباعد المتسلسلة التوافقية، ^{[ 28 ]} لذا فإن المتسلسلة التوافقية المتناوبة متقاربة شرطيًا. على سبيل المثال، إعادة ترتيب حدود المتسلسلة التوافقية المتناوبة بحيث يتبع كل حد موجب من المتسلسلة الأصلية حدان سالبان من المتسلسلة الأصلية بدلاً من حد واحد فقط ينتج عنه ^{[ 34 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}&1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad =\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right),\end{aligned}}}$$ وهو${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$مضروبة في السلسلة الأصلية، لذلك سيكون مجموعها نصف اللوغاريتم الطبيعي لـ 2. وبحسب نظرية متسلسلة ريمان، فإن إعادة ترتيب المتسلسلة التوافقية المتناوبة لإنتاج أي عدد حقيقي آخر أمر ممكن أيضًا.

إضافة سلسلتين${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$و${\textstyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$يتم تحديده بواسطة المجموع الحدي ^{[ 13 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}${\textstyle (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots \,}$أو، باستخدام تدوين الجمع، $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+b_{k}.}$$

استخدام الرموز${\displaystyle s_{a,n}}$و${\displaystyle s_{b,n}}$بالنسبة للمجاميع الجزئية للمتسلسلة المضافة و${\displaystyle s_{a+b,n}}$بالنسبة للمجاميع الجزئية للمتسلسلة الناتجة، فإن هذا التعريف يعني أن المجاميع الجزئية للمتسلسلة الناتجة تتبع${\displaystyle s_{a+b,n}=s_{a,n}+s_{b,n}.}$ثم إن مجموع المتسلسلة الناتجة، أي نهاية متتالية المجاميع الجزئية للمتسلسلة الناتجة، يحقق $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{a+b,n}=\lim _{n\rightarrow \infty }(s_{a,n}+s_{b,n})=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}+\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n},}$$ عند وجود النهايات. لذلك، أولًا، تكون المتسلسلة الناتجة عن الجمع قابلة للجمع إذا كانت المتسلسلات المضافة قابلة للجمع، وثانيًا، يكون مجموع المتسلسلة الناتجة هو مجموع مجموع المتسلسلات المضافة. قد ينتج عن جمع متسلسلتين متباعدتين متسلسلة متقاربة: على سبيل المثال، جمع متسلسلة متباعدة مع متسلسلة حدودها مضروبة في${\displaystyle -1}$سينتج عن ذلك سلسلة من الأصفار تتقارب إلى الصفر. ومع ذلك، بالنسبة لأي سلسلتين تتقارب إحداهما وتتباعد الأخرى، فإن نتيجة جمعهما تتباعد. ^{[ 35 ]}

بالنسبة لمتسلسلات الأعداد الحقيقية أو المركبة، فإن عملية جمع المتسلسلات تجميعية وتبديلية وقابلة للعكس . لذلك ، فإن عملية جمع المتسلسلات تُعطي مجموعات المتسلسلات المتقاربة من الأعداد الحقيقية أو المركبة بنية زمرة أبيلية ، كما تُعطي مجموعات جميع متسلسلات الأعداد الحقيقية أو المركبة (بغض النظر عن خصائص التقارب) بنية زمرة أبيلية.

نتاج سلسلة${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$بعدد ثابت${\displaystyle c}$، والتي تسمى كمية قياسية في هذا السياق، يتم إعطاؤها من خلال الضرب الحدي ^{[ 35 ]}${\textstyle ca_{0}+ca_{1}+ca_{2}+\cdots }$أو، باستخدام تدوين الجمع،

$${\displaystyle c\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }ca_{k}.}$$

استخدام الرموز${\displaystyle s_{a,n}}$بالنسبة للمجاميع الجزئية للمتسلسلة الأصلية و${\displaystyle s_{ca,n}}$بالنسبة للمجاميع الجزئية للمتسلسلة بعد الضرب في${\displaystyle c}$وهذا التعريف يعني أن${\displaystyle s_{ca,n}=cs_{a,n}}$للجميع${\displaystyle n,}$وبالتالي أيضًا${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{ca,n}=c\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n},}$عندما توجد النهايات. لذلك، إذا كانت المتسلسلة قابلة للجمع، فإن أي مضاعف قياسي غير صفري للمتسلسلة يكون قابلاً للجمع أيضًا، والعكس صحيح: إذا كانت المتسلسلة متباعدة، فإن أي مضاعف قياسي غير صفري لها يكون متباعدًا أيضًا.

الضرب القياسي للأعداد الحقيقية والأعداد المركبة هو عملية تجميعية، تبديلية، قابلة للعكس، ويتوزع على جمع المتسلسلات.

باختصار، يُعطي جمع المتسلسلات وضربها في عدد قياسي مجموعة المتسلسلات المتقاربة ومجموعة متسلسلات الأعداد الحقيقية بنية فضاء متجهي حقيقي . وبالمثل، نحصل على فضاءات متجهية مركبة للمتسلسلات والمتسلسلات المتقاربة للأعداد المركبة. جميع هذه الفضاءات المتجهة لا نهائية الأبعاد.

ضرب متسلسلتين${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$و${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$لإنشاء سلسلة ثالثة${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$ويمكن كتابة ما يسمى بضرب كوشي، ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 36 ] [ 38 ] باستخدام رمز الجمع.}$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j},}$$ مع كل${\textstyle c_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}={}\!}$${\displaystyle \!a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+\cdots +a_{k-1}b_{1}+a_{k}b_{0}.}$هنا، تقارب المجاميع الجزئية للمتسلسلة${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$ليس من السهل تحديد ذلك كما هو الحال بالنسبة للجمع. ومع ذلك، إذا كانت كلتا المتسلسلتين${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$و${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$إذا كانت المتسلسلات متقاربة بشكل مطلق ، فإن المتسلسلة الناتجة عن ضربها تتقارب بشكل مطلق أيضًا بمجموع يساوي حاصل ضرب مجموعي المتسلسلتين المضروبتين، ^{[ 13 ] [ 36 ] [ 39 ]}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{c,n}=\left(\,\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}\right)\cdot \left(\,\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n}\right).}$$

إن ضرب المتسلسلات المتقاربة مطلقًا للأعداد الحقيقية والمركبة عملية تجميعية وتبديلية، وتوزع على عملية جمع المتسلسلات. إلى جانب جمع المتسلسلات، يمنح ضرب المتسلسلات مجموعات المتسلسلات المتقاربة مطلقًا للأعداد الحقيقية أو المركبة بنية حلقة تبديلية ، ومع الضرب القياسي أيضًا، بنية جبر تبديلي ؛ كما تمنح هذه العمليات مجموعات جميع متسلسلات الأعداد الحقيقية أو المركبة بنية جبر تجميعي .

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

$${\displaystyle 4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$$

عندما يكون كل حد من حدود متسلسلة عددًا حقيقيًا غير سالب، كما هو الحال عندما تكون الحدود هي القيم المطلقة لمتسلسلة أخرى من الأعداد الحقيقية أو المركبة، فإن متتالية المجاميع الجزئية تكون غير متناقصة. لذلك، تتقارب المتسلسلة ذات الحدود غير السالبة إذا وفقط إذا كانت متتالية المجاميع الجزئية محدودة، وبالتالي فإن إيجاد حد للمتسلسلة أو للقيم المطلقة لحدودها يُعد طريقة فعالة لإثبات تقارب المتسلسلة أو تقاربها المطلق. ^{[ 48 ] [ 49 ] [ 47 ] [ 50 ]}

على سبيل المثال، المسلسل${\textstyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots \,}$متقاربة ومتقاربة تقاربًا مطلقًا لأن${\textstyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}}$للجميع${\displaystyle n\geq 2}$وتستلزم حجة المجموع التلسكوبي أن المجاميع الجزئية لسلسلة تلك الحدود غير السالبة محدودة من الأعلى بالعدد 2. ^{[ 43 ]} والقيمة الدقيقة لهذه السلسلة هي${\textstyle {\frac {1}{6}}\pi ^{2}}$انظر مشكلة بازل .

يُعد هذا النوع من استراتيجيات التحديد أساسًا لاختبارات مقارنة السلاسل العامة. أولها اختبار المقارنة المباشرة العامة : ^{[ 51 ] [ 52 ] [ 47 ]} لأي سلسلة${\textstyle \sum a_{n}}$، لو${\textstyle \sum b_{n}}$هي متسلسلة متقاربة مطلقاً بحيث${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq C\left\vert b_{n}\right\vert }$لبعض الأعداد الحقيقية الموجبة${\displaystyle C}$وبالنسبة للكبير بما فيه الكفاية${\displaystyle n}$، ثم${\textstyle \sum a_{n}}$يتقارب بشكل مطلق أيضًا. إذا${\textstyle \sum \left\vert b_{n}\right\vert }$يتباعد، و${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \geq \left\vert b_{n}\right\vert }$ لجميع الأحجام الكبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle n}$، ثم${\textstyle \sum a_{n}}$كما أنها لا تتقارب تقاربًا مطلقًا، على الرغم من أنها قد تظل متقاربة تقاربًا مشروطًا، على سبيل المثال، إذا${\displaystyle a_{n}}$يتبادلان في الإشارة. ثانيًا، اختبار المقارنة الحدية العامة : ^{[ 53 ] [ 54 ]} إذا${\textstyle \sum b_{n}}$هي متسلسلة متقاربة مطلقاً بحيث${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \leq \left\vert {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$لكبير بما فيه الكفاية${\displaystyle n}$، ثم${\textstyle \sum a_{n}}$يتقارب بشكل مطلق أيضًا. إذا${\textstyle \sum \left|b_{n}\right|}$يتباعد، و${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \geq \left\vert {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$لجميع الأحجام الكبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle n}$، ثم${\textstyle \sum a_{n}}$كما أنها لا تتقارب تقاربًا مطلقًا، على الرغم من أنها قد تظل متقاربة تقاربًا مشروطًا إذا${\displaystyle a_{n}}$تختلف في الإشارة.

باستخدام المقارنات مع المتسلسلات الهندسية تحديدًا، ^{[ 20 ] [ 21 ]} فإن اختبارَي المقارنة العامين هذين يستلزمان اختبارين إضافيين شائعين ومفيدين عمومًا لتقارب المتسلسلات ذات الحدود غير السالبة أو للتقارب المطلق للمتسلسلات ذات الحدود العامة. أولهما هو اختبار النسبة : ^{[ 55 ] [ 56 ] [ 57 ]} إذا وُجد ثابت${\displaystyle C<1}$بحيث${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert <C}$لجميع الأحجام الكبيرة بما فيه الكفاية ${\displaystyle n}$، ثم${\textstyle \sum a_{n}}$يتقارب تقاربًا مطلقًا. عندما تكون النسبة أقل من${\displaystyle 1}$، ولكن ليس أقل من قيمة ثابتة أقل من${\displaystyle 1}$التقارب ممكن، لكن هذا الاختبار لا يثبته. ثانيًا، اختبار الجذر : ^{[ 55 ] [ 58 ] [ 59 ]} إذا وُجد ثابت${\displaystyle C<1}$بحيث${\displaystyle \textstyle \left\vert a_{n}\right\vert ^{1/n}\leq C}$لجميع الأحجام الكبيرة بما فيه الكفاية ${\displaystyle n}$، ثم${\textstyle \sum a_{n}}$يتقارب بشكل مطلق.

بدلاً من ذلك، باستخدام المقارنات مع تمثيلات المتسلسلات للتكاملات على وجه التحديد، يمكن استنتاج اختبار التكامل : ^{[ 60 ] [ 61 ]} إذا${\displaystyle f(x)}$هي دالة موجبة رتيبة متناقصة معرفة على الفترة${\displaystyle [1,\infty )}$ ثم لسلسلة ذات حدود${\displaystyle a_{n}=f(n)}$للجميع ${\displaystyle n}$،${\textstyle \sum a_{n}}$يتقارب التكامل إذا وفقط إذا كان التكامل${\textstyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$هي متسلسلة منتهية. يؤدي استخدام المقارنات مع النسخ المُسطّحة من المتسلسلة إلى اختبار كوشي للتكثيف : ^{[ 29 ] [ 30 ]} إذا كانت متتالية الحدود${\displaystyle a_{n}}$إذا كانت غير سالبة وغير متزايدة، فإن المتسلسلتين${\textstyle \sum a_{n}}$و${\textstyle \sum 2^{k}a_{(2^{k})}}$إما أن يكون كلاهما متقاربين أو كلاهما متباعدين.

تُوصف سلسلة من الأعداد الحقيقية أو المركبة بأنها متقاربة شرطياً (أو شبه متقاربة ) إذا كانت متقاربة ولكنها ليست متقاربة مطلقاً. ويتم اختبار التقارب الشرطي بطريقة مختلفة عن اختبار التقارب المطلق.

أحد الأمثلة المهمة لاختبار التقارب الشرطي هو اختبار المتسلسلة المتناوبة أو اختبار لايبنتز : ^{[ 62 ] [ 63 ] [ 64 ]} متسلسلة من الشكل${\textstyle \sum (-1)^{n}a_{n}}$مع الجميع${\displaystyle a_{n}>0}$تُسمى هذه المتسلسلة بالمتتابعة المتناوبة . وتتقارب هذه المتسلسلة إذا كانت المتتابعة غير السالبة${\displaystyle a_{n}}$دالة متناقصة بشكل رتيب وتتقارب إلى ${\displaystyle 0}$أما العكس فليس صحيحًا عمومًا. ومن الأمثلة الشهيرة على تطبيق هذا الاختبار المتسلسلة التوافقية المتناوبة .$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$ وهي متقاربة وفقًا لاختبار المتسلسلة المتناوبة (ومجموعها يساوي ${\displaystyle \ln 2}$)، على الرغم من أن المتسلسلة المتكونة من أخذ القيمة المطلقة لكل حد هي متسلسلة توافقية عادية ، وهي متسلسلة متباعدة. ^{[ 65 ] [ 66 ]}

يمكن اعتبار اختبار السلسلة المتناوبة حالة خاصة من اختبار ديريشلي الأكثر عمومية : ^{[ 67 ] [ 68 ] [ 69 ]} إذا${\displaystyle (a_{n})}$هي متتالية من الحدود ذات أعداد حقيقية غير سالبة متناقصة تتقارب إلى الصفر، و${\displaystyle (\lambda _{n})}$إذا كانت متتالية من الحدود ذات مجاميع جزئية محدودة، فإن المتسلسلة${\textstyle \sum \lambda _{n}a_{n}}$يتقارب. أخذ${\displaystyle \lambda _{n}=(-1)^{n}}$يستعيد اختبار السلسلة المتناوبة.

يُعد اختبار أبيل أسلوبًا مهمًا آخر للتعامل مع المتسلسلات شبه المتقاربة. ^{[ 67 ] [ 29 ]} إذا كانت المتسلسلة على الشكل التالي${\textstyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}$حيث تمثل المجاميع الجزئية للمتسلسلة ذات الحدود${\displaystyle b_{n}}$،${\displaystyle s_{b,n}=b_{0}+\cdots +b_{n}}$محدودة،${\displaystyle \lambda _{n}}$يتميز بتغير محدود ، و${\displaystyle \lim \lambda _{n}b_{n}}$موجود: إذا${\textstyle \sup _{n}|s_{b,n}|<\infty ,}$${\textstyle \sum \left|\lambda _{n+1}-\lambda _{n}\right|<\infty ,}$و${\displaystyle \lambda _{n}s_{b,n}}$إذا تقاربت، فإن السلسلة${\textstyle \sum a_{n}}$متقاربة.

وتشمل اختبارات التقارب المتخصصة الأخرى لأنواع محددة من المتسلسلات اختبار ديني ^{[ 70 ]} لمتسلسلات فورييه .

يُعدّ تقييم أخطاء القطع في المتسلسلات أمرًا بالغ الأهمية في التحليل العددي (وخاصةً التحليل العددي المُدقّق والبرهان بمساعدة الحاسوب ). ويمكن استخدامه لإثبات التقارب وتحليل معدلات التقارب .

المتسلسلة الأسية هي سلسلة من الشكل

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}$$

سلسلة تايلور في مرحلة ما${\displaystyle c}$إن دالة ما هي متسلسلة قوى، وفي كثير من الحالات، تتقارب مع الدالة في جوارها .${\displaystyle c}$على سبيل المثال ، المسلسل

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$$

سلسلة تايلور${\displaystyle e^{x}}$عند نقطة الأصل وتتقارب إليها لكل${\displaystyle x}$⁠ .

إلا إذا كان يتقارب فقط عند ⁠${\displaystyle x=c}$، تتقارب هذه السلسلة على قرص تقارب مفتوح معين مركزه النقطة ⁠${\displaystyle c}$في المستوى المركب، وقد تتقارب أيضًا عند بعض نقاط حدود القرص. يُعرف نصف قطر هذا القرص بنصف قطر التقارب ، ويمكن من حيث المبدأ تحديده من خلال سلوك المعاملات التقاربي .${\displaystyle a_{n}}$⁠ . التقارب منتظم على المجموعات الفرعية المغلقة والمحدودة(أي المدمجة ) من داخل قرص التقارب: أي أنه يتقارب بشكل منتظم على المجموعات المدمجة .

تاريخياً، تعامل علماء الرياضيات مثل ليونارد أويلر بحرية مع المتسلسلات اللانهائية، حتى وإن لم تكن متقاربة. وعندما وُضعت حسابات التفاضل والتكامل على أسس سليمة وصحيحة في القرن التاسع عشر، كان من الضروري دائماً تقديم براهين دقيقة على تقارب المتسلسلات.

بينما تشير العديد من استخدامات متسلسلات القوى إلى مجاميعها، فمن الممكن أيضًا التعامل معها كمجاميع صورية ، أي دون إجراء عمليات جمع فعلية، حيث يُعدّ الرمز "+" رمزًا مجردًا للاقتران، ولا يُفسّر بالضرورة على أنه يُشير إلى الجمع. في هذا السياق، يكون تسلسل المعاملات نفسه هو المهم، وليس تقارب المتسلسلة. تُستخدم متسلسلات القوى الصورية في التوافقية لوصف ودراسة المتتاليات التي يصعب التعامل معها بطرق أخرى، على سبيل المثال، باستخدام طريقة الدوال المولدة . تُعدّ متسلسلة هيلبرت-بوانكاريه متسلسلة قوى صورية تُستخدم لدراسة الجبر المتدرج .

حتى لو لم يُؤخذ حد متسلسلة القوى في الاعتبار، فإذا كانت الحدود تدعم بنية مناسبة، فمن الممكن تعريف عمليات مثل الجمع والضرب والاشتقاق والأصل لمتسلسلات القوى "بشكل رسمي "، مع اعتبار الرمز "+" كما لو كان يُقابل الجمع. في الحالة الأكثر شيوعًا، تأتي الحدود من حلقة تبديلية ، بحيث يمكن جمع متسلسلة القوى الرسمية حدًا حدًا وضربها باستخدام جداء كوشي . في هذه الحالة، يكون جبر متسلسلة القوى الرسمية هو الجبر الكلي لمجموعة الأعداد الطبيعية على حلقة الحدود الأساسية. ^{[ 76 ]} إذا كانت حلقة الحدود الأساسية جبرًا تفاضليًا ، فإن جبر متسلسلة القوى الرسمية يكون أيضًا جبرًا تفاضليًا، مع إجراء التفاضل حدًا حدًا.

تُعمم متسلسلات لوران متسلسلات القوى عن طريق إدخال حدود ذات أسس سالبة وموجبة. وبالتالي، فإن متسلسلة لوران هي أي متسلسلة على الصورة التالية:

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$

إذا تقاربت متسلسلة كهذه، فإنها تتقارب عمومًا في حلقة وليس في قرص، وربما في بعض النقاط الحدودية. وتتقارب المتسلسلة بانتظام على المجموعات الجزئية المدمجة داخل حلقة التقارب.

متسلسلة ديريشليه هي إحدى أشكال

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},}$$

أين​${\displaystyle s}$هو عدد مركب . على سبيل المثال، إذا كان كل${\displaystyle a_{n}}$⁠ يساوي ⁠${\displaystyle 1}$إذن ، يكون مجموع متسلسلة ديريشليه هو دالة زيتا لريمان

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

تلعب متسلسلات ديريشليه، مثل دالة زيتا، دورًا هامًا في نظرية الأعداد التحليلية . عمومًا، تتقارب متسلسلة ديريشليه إذا كان الجزء الحقيقي من${\displaystyle s}$تكون قيمة أكبر من عدد يُسمى فاصلة التقارب. في كثير من الحالات، تكون الدالة المعرفة بواسطة متسلسلة ديريشليه دالة تحليلية يمكن تمديدها خارج نطاق تقارب المتسلسلة عن طريق الاستمرار التحليلي . على سبيل المثال، تتقارب متسلسلة ديريشليه لدالة زيتا تقاربًا مطلقًا عندما .${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$، ولكن يمكن توسيع دالة زيتا إلى دالة هولومورفية معرفة على${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$بعمود بسيط في​ ${\displaystyle 1}$⁠ .

يمكن تعميم هذه السلسلة مباشرة إلى سلسلة ديريشليه العامة .

تُسمى سلسلة الدوال التي تكون حدودها دوال مثلثية متسلسلة مثلثية :

$${\displaystyle A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).}$$

إن أهم مثال على المتسلسلة المثلثية هو متسلسلة فورييه للدالة.

المتسلسلات التقاربية ، والتي تُسمى عادةً بالتوسعات التقاربية ، هي متسلسلات لانهائية تكون حدودها دوالًا لمتتالية من الرتب التقاربية المختلفة ، وتكون مجاميعها الجزئية تقريبات لدالة أخرى في النهاية التقاربية . لا تتقارب هذه المتسلسلات عمومًا، لكنها تظل مفيدة كمتتاليات تقريبية، حيث تُقدم كل متتالية قيمة قريبة من الإجابة المطلوبة لعدد محدود من الحدود. وهي أدوات أساسية في نظرية الاضطراب وفي تحليل الخوارزميات .

لا يمكن بالضرورة أن تُنتج متسلسلة تقاربية إجابة دقيقة تمامًا بعيدًا عن النهاية التقاربية، كما هو الحال مع متسلسلة الدوال المتقاربة العادية. في الواقع، تصل المتسلسلة التقاربية النموذجية إلى أفضل تقريب عملي لها بعيدًا عن النهاية التقاربية بعد عدد محدود من الحدود؛ فإذا أُضيفت حدود أكثر، ستنتج المتسلسلة تقريبات أقل دقة.

تلعب المتسلسلات اللانهائية دورًا هامًا في التحليل الحديث لفلسفة الحركة اليونانية القديمة ، لا سيما في مفارقات زينون . ^{[ 77 ]} تُظهر مفارقة أخيل والسلحفاة أن الحركة المستمرة تتطلب عددًا لا نهائيًا من اللحظات الزمنية، وهو ما يُعدّ أمرًا غير منطقي : يركض أخيل خلف سلحفاة، ولكن عندما يصل إلى موقعها في بداية السباق، تكون السلحفاة قد انتقلت إلى موقع ثانٍ؛ وعندما يصل إلى هذا الموقع الثاني، تكون السلحفاة في موقع ثالث، وهكذا. يُقال إن زينون جادل بأن أخيل لن يتمكن من اللحاق بالسلحفاة، وبالتالي فإن الحركة المستمرة مجرد وهم. قسّم زينون السباق إلى عدد لا نهائي من السباقات الفرعية، يتطلب كل منها وقتًا محددًا، بحيث يُعطى إجمالي الوقت اللازم لأخيل للحاق بالسلحفاة بواسطة متسلسلة. يكمن حل الجانب الرياضي والتخيلي البحت للمفارقة في أنه على الرغم من احتواء المتسلسلة على عدد لا نهائي من الحدود، إلا أن مجموعها محدود، وهو ما يحدد الوقت اللازم لأخيل للحاق بالسلحفاة. مع ذلك، يبقى الجانب الفيزيائي للمشكلة مفتوحًا في فلسفة الحركة الحديثة، حيث يشكك كل من الفلاسفة والفيزيائيين، مثل زينون، في قابلية الحركات المكانية للقسمة إلى ما لا نهاية: غالبًا ما تُدخل التوفيقات الافتراضية بين ميكانيكا الكم والنسبية العامة في نظريات جاذبية الكم تكميمات للزمكان على مقياس بلانك . ^{[ 78 ] [ 79 ]}

ابتكر عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس أول طريقة معروفة لجمع متسلسلة لانهائية، وهي طريقة لا تزال تُستخدم في مجال حساب التفاضل والتكامل حتى اليوم. استخدم أرخميدس طريقة الاستنفاد لحساب المساحة تحت قوس القطع المكافئ باستخدام مجموع متسلسلة لانهائية، ^{[ 5 ]} وقدّم تقريبًا دقيقًا للغاية لقيمة π . ^{[ 80 ] [ 81 ]}

في القرن الرابع عشر، وضع عالم الرياضيات الفرنسي نيكول أورسم أول برهان على تباعد المتسلسلة التوافقية . ^{[ 82 ]} وقد مثّل عمله، إلى جانب عمل ريتشارد سوينزهيد المعاصر حول متسلسلة مختلفة، أول ظهور للمتسلسلات اللانهائية غير المتسلسلة الهندسية في الرياضيات. ^{[ 83 ]}

كان علماء الرياضيات من مدرسة كيرالا في الهند في العصور الوسطى يدرسون المتسلسلات اللانهائية حوالي عام 1350 ميلادي . وقد وُصفت إحدى أهم أعمالهم - وهي توسيع المتسلسلات للدوال المثلثية - في أبيات شعرية باللغة السنسكريتية في كتاب من تأليف نيلاكانتا بعنوان "تانتراسانغراها" (حوالي عام 1500)، ثم وُصفت مرة أخرى في شرح لهذا العمل بعنوان "تانتراسانغراها-فاخيا" ، وهو مجهول المؤلف. وقد ذُكرت النظريات دون برهان، ولكن قُدّمت براهين لمتسلسلات الجيب وجيب التمام ومعكوس الظل بعد قرن من الزمان في كتاب "يوكتيبهاسا " ( حوالي عام 1530)، المكتوب باللغة المالايالامية ، من تأليف جيشتا ديفا، وكذلك في شرح لكتاب "تانتراسانغراها" . ^{[ 84 ] [ 85 ] [ 86 ]}

في القرن السابع عشر، عمل جيمس غريغوري في النظام العشري الجديد على المتسلسلات اللانهائية، ونشر العديد من متسلسلات ماكلورين . وفي عام ١٧١٥، قدم بروك تايلور طريقة عامة لإنشاء متسلسلات تايلور لجميع الدوال التي توجد لها هذه المتسلسلات . وفي القرن الثامن عشر، طور ليونارد أويلر نظرية المتسلسلات فوق الهندسية ومتسلسلات q .

يُعتقد أن البحث في صحة المتسلسلات اللانهائية قد بدأ مع غاوس في القرن التاسع عشر. وكان أويلر قد درس بالفعل المتسلسلات فوق الهندسية.

$${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots }$$

والتي نشر غاوس مذكرات عنها في عام 1812. وقد وضعت معايير أبسط للتقارب، ومسائل الباقي ونطاق التقارب.

أصرّ كوشي (1821) على اختبارات صارمة للتقارب؛ إذ بيّن أنه إذا كانت متسلسلتان متقاربتين، فإن حاصل ضربهما ليس بالضرورة متقاربًا، وبدأ معه اكتشاف معايير فعّالة. وكان مصطلحا التقارب والتباعد قد استُخدما قبل ذلك بكثير من قِبل غريغوري (1668). وقدّم ليونارد أويلر وغوس معايير مختلفة، كما استبق كولن ماكلورين بعض اكتشافات كوشي. وقد طوّر كوشي نظرية متسلسلات القوى من خلال توسيعه لدالة مركبة بهذا الشكل.

أبيل (1826) في مذكراته عن سلسلة ذات الحدين

$${\displaystyle 1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots }$$

صحّح بعض استنتاجات كوشي، وقدّم ملخصًا علميًا كاملاً للسلسلة للقيم المركبة لـ${\displaystyle m}$و${\displaystyle x}$لقد أظهر ضرورة مراعاة موضوع الاستمرارية في مسائل التقارب.

أدت أساليب كوشي إلى معايير خاصة بدلاً من المعايير العامة، ويمكن قول الشيء نفسه عن رابي (1832)، الذي أجرى أول تحقيق مفصل في الموضوع، ودي مورغان (منذ عام 1842)، الذي أظهر اختباره اللوغاريتمي دوبوا-ريموند (1873) وبرينغشيم (1889) فشله ضمن منطقة معينة؛ وبرتراند (1842)، وبونيه (1843)، ومالمستن (1846، 1847، والأخير بدون تكامل)؛ وستوكس (1847)، وباوكر (1852)، وتشيبشيف (1852)، وأرندت (1853).

بدأت المعايير العامة مع كومر (1835)، ودرسها آيزنشتاين (1847)، وفايرشتراس في إسهاماته المتعددة في نظرية الدوال، وديني (1867)، ودوبوا-ريموند (1873)، وغيرهم الكثير. وتُعدّ مذكرات برينغشيم (1889) الأكثر شمولاً في النظرية العامة.

تناول كوشي (1821) نظرية التقارب المنتظم ، وقد أشار آبل إلى قصورها، لكن أول من نجح في دحضها كان سايدل وستوكس (1847-1848). عاد كوشي إلى المشكلة (1853)، معترفًا بنقد آبل، ووصل إلى نفس النتائج التي توصل إليها ستوكس . استخدم توماي هذه النظرية (1866)، لكن كان هناك تأخير كبير في إدراك أهمية التمييز بين التقارب المنتظم وغير المنتظم، على الرغم من متطلبات نظرية الدوال.

يقال إن المتسلسلة شبه متقاربة (أو متقاربة بشرط) إذا كانت متقاربة ولكنها ليست متقاربة بشكل مطلق .

درس بواسون (1823) المتسلسلات شبه المتقاربة، وقدم أيضًا صيغة عامة لباقي صيغة ماكلورين. مع ذلك، يُعزى الحل الأهم لهذه المسألة إلى جاكوبي (1834)، الذي تناول مسألة الباقي من منظور مختلف وتوصل إلى صيغة مختلفة. وقد طور مالمستين (1847) هذه الصيغة أيضًا، وقدم صيغة أخرى. كما حسّن شلوميلش ( مجلة ، المجلد الأول، ص  192، 1856) باقي جاكوبي، وبيّن العلاقة بين الباقي ودالة برنولي.

$${\displaystyle F(x)=1^{n}+2^{n}+\cdots +(x-1)^{n}.}$$

وقد ساهم جينوتشي (1852) بشكل أكبر في تطوير النظرية.

كان من بين الكتاب الأوائل فرونسكي ، الذي لم يتم التعرف على "loi suprême" (1815) إلا بعد أن أبرزه كايلي (1873).

في الوقت الذي كان فيه غاوس وآبل وكوشي يعملون على تطوير نظرية المتسلسلات اللانهائية، كانت متسلسلات فورييه قيد الدراسة نتيجةً لاعتبارات فيزيائية. وقد تناول جاكوب برنولي (1702) وشقيقه يوهان برنولي (1701 ) متسلسلات توسيع الجيب وجيب التمام، وأقواس متعددة بدلالة قوى جيب وجيب تمام القوس ، وقبل ذلك فيتا . وقد بسّط أويلر ولاغرانج الموضوع، وكذلك فعل بوينسوت وشروتر وغلايشر وكومر .

وضع فورييه (1807) لنفسه مشكلة مختلفة، وهي توسيع دالة معينة لـ${\displaystyle x}$بدلالة جيوب أو جيوب تمام مضاعفات العدد${\displaystyle x}$وهي مشكلة جسّدها في كتابه "النظرية التحليلية للحرارة" (1822). كان أويلر قد قدّم بالفعل صيغًا لتحديد معاملات المتسلسلة؛ وكان فورييه أول من أكّد وحاول إثبات النظرية العامة. كما تناول بواسون (1820-1823) المشكلة من منظور مختلف. مع ذلك، لم يحسم فورييه مسألة تقارب متسلسلته، وهي مسألة تُركت لكوشي (1826) ليحاول حلها، ولديريشليه (1829) ليتناولها بطريقة علمية دقيقة (انظر تقارب متسلسلات فورييه ). وقد خضعت معالجة ديريشليه ( كريل ، 1829) للمتسلسلات المثلثية للنقد والتحسين من قِبل ريمان (1854)، وهاينه، وليبشيتز ، وشلافلي ، ودو بوا-ريموند . ومن بين المساهمين البارزين الآخرين في نظرية الدوال المثلثية ومتسلسلات فورييه، كان هناك ديني ، وهيرميت ، وهالفين ، وكراوس، وبايرلي، وأبيل .

عند تلخيص عائلة${\displaystyle \left\{a_{i}:i\in I\right\}}$مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة على مجموعة الفهارس${\displaystyle I}$، يُعرِّف

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup {\biggl \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite}}{\biggr \}}\in [0,+\infty ].}$$

يمكن فهم أي مجموع على الأعداد الحقيقية غير السالبة على أنه تكامل دالة غير سالبة بالنسبة لمقياس العد ، وهو ما يفسر أوجه التشابه العديدة بين البنيتين.

عندما تكون القيمة العليا محدودة، فإن مجموعة${\displaystyle i\in I}$بحيث${\displaystyle a_{i}>0}$هو قابل للعد. في الواقع، لكل${\displaystyle n\geq 1,}$العددية​${\displaystyle \left|A_{n}\right|}$من المجموعة${\displaystyle A_{n}=\left\{i\in I:a_{i}>1/n\right\}}$محدود لأن