معادلة ليينارد

في الرياضيات ، وبشكل أكثر تحديدا في دراسة الأنظمة الديناميكية والمعادلات التفاضلية ، فإن معادلة ليينارد ^{[ 1 ]} هي نوع من المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية سميت على اسم الفيزيائي الفرنسي ألفريد ماري ليينارد .

خلال تطوير تقنيات الراديو والصمامات المفرغة ، خضعت معادلات ليينارد لدراسة مكثفة نظرًا لإمكانية استخدامها في نمذجة الدوائر المتذبذبة . وبموجب بعض الافتراضات الإضافية، تضمن نظرية ليينارد تفرد ووجود دورة حدية لمثل هذا النظام. كما يمكن لنظام ليينارد ذي الدوال الخطية القطعية أن يحتوي على مدارات متماثلة . ^{[ 2 ]}

لتكن f و g دالتين قابلتين للتفاضل باستمرار على${\displaystyle \mathbb {R} ,}$حيث f دالة زوجية و g دالة فردية . عندئذٍ تكون المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الثانيةعلى الصورة التالية :$${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0}$$تُسمى معادلة ليينارد . ^{[ 3 ]}

يمكن تحويل المعادلة إلى نظام مكافئ ثنائي الأبعاد من المعادلات التفاضلية العادية . نُعرّف

${\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }$

${\displaystyle x_{1}:=x}$

${\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}$

ثم

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}$

يُطلق عليه نظام ليينارد .

أو بدلاً من ذلك، بما أن معادلة ليينارد نفسها هي أيضاً معادلة تفاضلية مستقلة ، فإن الاستبدال${\displaystyle v={dx \over dt}}$يؤدي ذلك إلى تحويل معادلة ليينارد إلى معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى :

${\displaystyle v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0}$

وهي معادلة أبيل من النوع الثاني . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

مذبذب فان دير بول

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$

هي معادلة ليينارد. حل مذبذب فان دير بول له دورة حدية. هذه الدورة لها حل لمعادلة ليينارد بقيمة سالبة.${\displaystyle f(x)}$في نطاق صغير${\displaystyle |x|}$وإيجابي${\displaystyle f(x)}$وإلا، فإن معادلة فان دير بول لا تملك عمومًا حلًا تحليليًا دقيقًا. يوجد مثل هذا الحل لدورة حدية إذا${\displaystyle f(x)}$هي دالة ثابتة متعددة الأجزاء. ^{[ 6 ]}

يحتوي نظام ليينارد على دورة حدية فريدة ومستقرة تحيط بالأصل إذا استوفى الخصائص الإضافية التالية: ^{[ 7 ]}

• g ( x ) > 0 لجميع x > 0؛
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x):=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \ =\infty$ ;}
• F ( x ) لها جذر موجب واحد بالضبط عند قيمة ما p ، حيث F ( x ) < 0 لـ 0 < x < p و F ( x ) > 0 ورتيبة لـ x > p .

• معادلة بيريوكوف

• "معادلة ليينارد" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• نظام لينارد في بلانيت ماث .