المعادلة التفاضلية

المعادلات التفاضلية
نِطَاق
الحقول العلوم الطبيعية هندسة علم الفلك الفيزياء كيمياء علم الأحياء الجيولوجيا الرياضيات التطبيقية ميكانيكا المتصل نظرية الفوضى الأنظمة الديناميكية العلوم الاجتماعية الاقتصاد ديناميكيات السكان قائمة المعادلات التفاضلية المسماة
تصنيف
أنواع عادي جزئي التفاضلية الجبرية التكامل التفاضلي كسري خطي غير خطي حسب نوع المتغير المتغيرات التابعة والمستقلة مستقل مقترن / غير مقترن بالضبط متجانس  / غير متجانس سمات طلب المشغل تدوين
العلاقة مع العمليات الفرق (التناظرية المنفصلة) عشوائي التحليل الجزئي العشوائي تأخير
حل
الوجود والتفرد نظرية بيكارد-ليندلوف نظرية وجود بيانو نظرية الوجود لكاراثيودوري نظرية كوشي-كواليفسكي
المواضيع العامة الظروف الأولية قيم الحدود ديريتشليت نيومان روبن مشكلة كوشي ورونسكيان صورة المرحلة ليابونوف  / الاستقرار المقارب  / الأسي معدل التقارب  الحلول المتسلسلة / المتكاملة التكامل العددي دالة دلتا ديراك
طرق الحل تقتيش طريقة الخصائص أويلر صيغة الاستجابة الأسية الفرق المحدود  ( كرانك-نيكلسون ) عنصر محدود عنصر لانهائي حجم محدود جاليركين بتروف-جاليركين وظيفة جرين عامل التكامل التحويلات التكاملية نظرية الاضطراب رونجي-كوتا فصل المتغيرات معاملات غير محددة تباين المعلمات
الناس
قائمة إسحاق نيوتن جوتفريد لايبنتز جاكوب برنولي ليونارد أويلر جوزيف لويس لاجرانج جوزيف ماريا هوني-رونسكي جوزيف فورييه أوغستين لويس كوشي جورج جرين كارل ديفيد تولمي رونجي مارتن كوتا رودولف ليبشيتز إرنست ليندلوف إميل بيكارد فيليس نيكلسون جون كرانك
ف ت هـ

في الرياضيات ، المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط بين دالة أو أكثر غير معروفة ومشتقاتها . ^[1] في التطبيقات، تمثل الدوال عمومًا كميات فيزيائية، وتمثل المشتقات معدلات تغيرها، وتحدد المعادلة التفاضلية العلاقة بين الاثنين. مثل هذه العلاقات شائعة؛ لذلك ، تلعب المعادلات التفاضلية دورًا بارزًا في العديد من التخصصات بما في ذلك الهندسة والفيزياء والاقتصاد والأحياء .

تتكون دراسة المعادلات التفاضلية بشكل أساسي من دراسة حلولها (مجموعة الدوال التي تلبي كل معادلة)، وخصائص حلولها. لا يمكن حل أبسط المعادلات التفاضلية إلا باستخدام صيغ صريحة؛ ومع ذلك، يمكن تحديد العديد من خصائص حلول معادلة تفاضلية معينة دون حسابها بدقة.

في كثير من الأحيان، عندما لا يتوفر تعبير مغلق الشكل للحلول، يمكن تقريب الحلول عدديًا باستخدام أجهزة الكمبيوتر. تركز نظرية الأنظمة الديناميكية على التحليل النوعي للأنظمة الموصوفة بالمعادلات التفاضلية، في حين تم تطوير العديد من الأساليب العددية لتحديد الحلول بدرجة معينة من الدقة.

ظهرت المعادلات التفاضلية مع اختراع حساب التفاضل والتكامل بواسطة إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنتز . في الفصل الثاني من عمله Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum الصادر عام 1671 ، ^[2] ذكر نيوتن ثلاثة أنواع من المعادلات التفاضلية:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}&+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}}$

في كل هذه الحالات، y هي دالة غير معروفة لـ x (أو لـ x ₁ و x ₂ )، و f هي دالة معطاة.

ويحل هذه الأمثلة وغيرها باستخدام سلسلة لا نهائية ويناقش عدم تفرد الحلول.

اقترح جاكوب برنولي معادلة برنولي التفاضلية في عام 1695. ^[3] هذه معادلة تفاضلية عادية من الشكل

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

حيث توصل لايبنتز في العام التالي إلى حلول عن طريق تبسيطها. ^[4]

تاريخيًا، تمت دراسة مشكلة الأوتار المهتزة مثل تلك الموجودة في آلة موسيقية بواسطة جان لو روند دالمبيرت وليونهارد أويلر ودانييل برنولي وجوزيف لويس لاجرانج . ^{[5] [6] [7] [8] في عام 1746، اكتشف دالمبيرت} معادلة الموجة أحادية البعد ، وفي غضون عشر سنوات اكتشف أويلر معادلة الموجة ثلاثية الأبعاد. ^[9]

تم تطوير معادلة أويلر-لاجرانج في خمسينيات القرن الثامن عشر من قبل أويلر ولاجرانج فيما يتعلق بدراساتهما لمشكلة الزمن المتزامن . هذه هي مشكلة تحديد المنحنى الذي سيسقط عليه الجسيم المرجح إلى نقطة ثابتة في فترة زمنية ثابتة، بغض النظر عن نقطة البداية. حل لاغرانج هذه المشكلة في عام 1755 وأرسل الحل إلى أويلر. قام كلاهما بتطوير طريقة لاغرانج وتطبيقها على الميكانيكا ، مما أدى إلى صياغة ميكانيكا لاغرانج .

في عام 1822، نشر فورييه عمله عن تدفق الحرارة في Théorie analytique de la chaleur (النظرية التحليلية للحرارة)، ^[10] حيث استند في استدلاله إلى قانون نيوتن للتبريد ، أي أن تدفق الحرارة بين جزيئين متجاورين يتناسب مع الفرق الصغير للغاية في درجات حرارتهما. احتوى هذا الكتاب على اقتراح فورييه لمعادلة الحرارة الخاصة به للانتشار التوصيلي للحرارة. أصبحت معادلة التفاضل الجزئي هذه الآن جزءًا شائعًا من مناهج الفيزياء الرياضية.

في الميكانيكا الكلاسيكية ، يتم وصف حركة الجسم من خلال موقعه وسرعته مع تغير قيمة الوقت. تسمح قوانين نيوتن بالتعبير عن هذه المتغيرات ديناميكيًا (مع الأخذ في الاعتبار الموقع والسرعة والتسارع والقوى المختلفة المؤثرة على الجسم) كمعادلة تفاضلية للموضع غير المعروف للجسم كدالة للوقت.

في بعض الحالات، قد يتم حل هذه المعادلة التفاضلية (تسمى معادلة الحركة ) بشكل صريح.

من الأمثلة على نمذجة مشكلة واقعية باستخدام المعادلات التفاضلية تحديد سرعة كرة تسقط عبر الهواء، مع مراعاة الجاذبية ومقاومة الهواء فقط. تسارع الكرة نحو الأرض هو التسارع بسبب الجاذبية مطروحًا منه التباطؤ بسبب مقاومة الهواء. تعتبر الجاذبية ثابتة، ويمكن نمذجة مقاومة الهواء على أنها متناسبة مع سرعة الكرة. وهذا يعني أن تسارع الكرة، وهو مشتق من سرعتها، يعتمد على السرعة (وتعتمد السرعة على الوقت). يتضمن إيجاد السرعة كدالة للوقت حل معادلة تفاضلية والتحقق من صحتها.

يمكن تقسيم المعادلات التفاضلية إلى عدة أنواع. وبصرف النظر عن وصف خصائص المعادلة نفسها، يمكن أن تساعد هذه الفئات من المعادلات التفاضلية في تحديد اختيار النهج المتبع لحل المشكلة. وتشمل التمييزات المستخدمة بشكل شائع ما إذا كانت المعادلة عادية أو جزئية، أو خطية أو غير خطية، أو متجانسة أو غير متجانسة. وهذه القائمة ليست شاملة؛ فهناك العديد من الخصائص والفئات الفرعية الأخرى للمعادلات التفاضلية التي يمكن أن تكون مفيدة للغاية في سياقات محددة.

المعادلة التفاضلية العادية ( ODE ) هي معادلة تحتوي على دالة غير معروفة لمتغير حقيقي أو مركب واحد x ومشتقاتها وبعض الدوال المعطاة لـ x . يتم تمثيل الدالة غير المعروفة عمومًا بمتغير ( غالبًا ما يشار إليه بـ y )، والذي يعتمد بالتالي على x . وبالتالي غالبًا ما يُطلق على x المتغير المستقل للمعادلة. يُستخدم مصطلح " عادي " على النقيض من مصطلح المعادلة التفاضلية الجزئية ، والتي قد تكون فيما يتعلق بأكثر من متغير مستقل.

المعادلات التفاضلية الخطية هي المعادلات التفاضلية التي تكون خطية في الدالة المجهولة ومشتقاتها. نظريتها متطورة بشكل جيد، وفي كثير من الحالات يمكن للمرء أن يعبر عن حلولها من حيث التكاملات .

معظم المعادلات التفاضلية العادية التي نصادفها في الفيزياء هي معادلات خطية. لذلك، يمكن تعريف معظم الدوال الخاصة كحلول للمعادلات التفاضلية الخطية (انظر الدالة الهولونومية ).

وبما أنه لا يمكن بشكل عام التعبير عن حلول المعادلة التفاضلية باستخدام تعبير مغلق الشكل ، فإن الطرق العددية تُستخدم عادةً لحل المعادلات التفاضلية على الكمبيوتر.

المعادلة التفاضلية الجزئية ( PDE ) هي معادلة تفاضلية تحتوي على دوال متعددة المتغيرات غير معروفة ومشتقاتها الجزئية . (وهذا على النقيض من المعادلات التفاضلية العادية ، التي تتعامل مع دوال متغير واحد ومشتقاتها). تُستخدم المعادلات التفاضلية الجزئية لصياغة مسائل تتضمن دوال لعدة متغيرات، ويتم حلها إما في شكل مغلق، أو تُستخدم لإنشاء نموذج حاسوبي ذي صلة .

يمكن استخدام معادلات التفاضل الجزئي لوصف مجموعة كبيرة ومتنوعة من الظواهر في الطبيعة مثل الصوت والحرارة والكهروستاتيك والديناميكا الكهربائية وتدفق السوائل والمرونة أو ميكانيكا الكم . يمكن صياغة هذه الظواهر الفيزيائية المتميزة ظاهريًا بشكل مماثل من حيث معادلات التفاضل الجزئي. تمامًا كما تقوم المعادلات التفاضلية العادية غالبًا بنمذجة الأنظمة الديناميكية أحادية البعد ، فإن المعادلات التفاضلية الجزئية غالبًا ما تقوم بنمذجة الأنظمة متعددة الأبعاد . تعمل المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية على تعميم المعادلات التفاضلية الجزئية لنمذجة العشوائية .

المعادلة التفاضلية غير الخطية هي معادلة تفاضلية ليست معادلة خطية في الدالة المجهولة ومشتقاتها (لا يتم النظر هنا في الخطية أو اللاخطية في حجج الدالة). هناك طرق قليلة جدًا لحل المعادلات التفاضلية غير الخطية بدقة؛ تعتمد الطرق المعروفة عادةً على المعادلة التي لها تماثلات معينة . يمكن أن تُظهر المعادلات التفاضلية غير الخطية سلوكًا معقدًا للغاية على مدى فترات زمنية ممتدة، وهي سمة من سمات الفوضى . حتى الأسئلة الأساسية حول الوجود والتفرد وقابلية توسيع الحلول للمعادلات التفاضلية غير الخطية، والوضع الجيد لمشاكل القيمة الأولية والحدية للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية هي مشاكل صعبة ويُعتبر حلها في حالات خاصة تقدمًا كبيرًا في النظرية الرياضية (راجع وجود نافيير-ستوكس ونعومته ). ومع ذلك، إذا كانت المعادلة التفاضلية عبارة عن تمثيل مُصاغ بشكل صحيح لعملية فيزيائية ذات مغزى، فمن المتوقع أن يكون لها حل. ^[11]

تظهر المعادلات التفاضلية الخطية غالبًا كتقريبات لمعادلات غير خطية. ولا تكون هذه التقريبات صالحة إلا في ظل ظروف مقيدة. على سبيل المثال، معادلة المذبذب التوافقي هي تقريب لمعادلة البندول غير الخطية التي تكون صالحة للتذبذبات ذات السعة الصغيرة.

ترتيب المعادلة التفاضلية هو أعلى ترتيب للمشتقة للدالة المجهولة التي تظهر في المعادلة التفاضلية. على سبيل المثال، المعادلة التي تحتوي فقط على مشتقات من الدرجة الأولى هي معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى ، والمعادلة التي تحتوي على مشتقة من الدرجة الثانية هي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية ، وهكذا. ^{[12] [13]}

عندما تكتب كمعادلة متعددة الحدود في الدالة المجهولة ومشتقاتها، تكون درجة المعادلة التفاضلية الخاصة بها، حسب السياق، هي درجة متعددة الحدود في المشتقة الأعلى للدالة المجهولة، ^[14] أو درجتها الكلية في الدالة المجهولة ومشتقاتها. وعلى وجه الخصوص، تكون المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى لكلا المعنيين، ولكن المعادلة التفاضلية غير الخطية تكون من الدرجة الأولى للمعنى الأول ولكن ليست للمعنى الثاني. ${\displaystyle y'+y^{2}=0}$

تحتوي المعادلات التفاضلية التي تصف الظواهر الطبيعية دائمًا تقريبًا على مشتقات من الدرجة الأولى والثانية فقط، ولكن هناك بعض الاستثناءات، مثل معادلة الغشاء الرقيق ، وهي معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الرابعة.

في المجموعة الأولى من الأمثلة، تكون u دالة غير معروفة لـ x ، و c و ω ثابتان من المفترض أن يكونا معروفين. تتألف التصنيفات الواسعة لكل من المعادلات التفاضلية العادية والجزئية من التمييز بين المعادلات التفاضلية الخطية وغير الخطية ، وبين المعادلات التفاضلية المتجانسة والمتباينة .

• معادلة تفاضلية عادية ذات معامل ثابت خطي غير متجانس من الدرجة الأولى:

  ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.}$

• معادلة تفاضلية عادية خطية متجانسة من الدرجة الثانية:

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.}$

• معادلة تفاضلية عادية متجانسة ذات معامل ثابت خطي من الدرجة الثانية تصف المذبذب التوافقي :

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.}$

• معادلة تفاضلية عادية غير خطية من الدرجة الأولى غير متجانسة:

  ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.}$

• معادلة تفاضلية عادية غير خطية من الدرجة الثانية (بسبب دالة الجيب) تصف حركة البندول بطول L :

  ${\displaystyle L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.}$

في المجموعة التالية من الأمثلة، تعتمد الدالة المجهولة u على متغيرين x و t أو x و y .

• معادلة تفاضلية جزئية خطية متجانسة من الدرجة الأولى:

  ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

• معادلة تفاضلية جزئية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معامل ثابت خطي من النوع الإهليلجي، معادلة لابلاس :

  ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}$

• معادلة تفاضلية جزئية غير خطية متجانسة من الدرجة الثالثة، معادلة KdV :

  ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.}$

إن حل المعادلات التفاضلية لا يشبه حل المعادلات الجبرية . فليست حلولها غالبًا غير واضحة فحسب، بل إن ما إذا كانت الحلول فريدة أم موجودة على الإطلاق هي أيضًا موضوعات جديرة بالاهتمام.

بالنسبة لمسائل القيمة الأولية من الدرجة الأولى، تعطي نظرية وجود بيانو مجموعة واحدة من الظروف التي يوجد فيها حل. بالنظر إلى أي نقطة في المستوى xy، حدد بعض المناطق المستطيلة ، بحيث تكون و في داخل . إذا أعطينا معادلة تفاضلية والشرط الذي عندما يكون ، فإن هناك محليًا حلًا لهذه المشكلة إذا كان و كلاهما متصلان على . يوجد هذا الحل على فترة ما مع مركزها عند . قد لا يكون الحل فريدًا. (انظر المعادلة التفاضلية العادية للحصول على نتائج أخرى.) ${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z=[l,m]\times [n,p]}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle Z}$${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=g(x,y)}$${\displaystyle y=b}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle g(x,y)}$${\textstyle {\frac {\partial g}{\partial x}}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle a}$

ومع ذلك، فإن هذا يساعدنا فقط في حل مشكلات القيمة الأولية من الدرجة الأولى . لنفترض أن لدينا مشكلة قيمة أولية خطية من الدرجة n:

${\displaystyle f_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)}$

مثل هذا

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x_{0})&=y_{0},&y'(x_{0})&=y'_{0},&y''(x_{0})&=y''_{0},&\ldots \end{aligned}}}$

بالنسبة لأي غير صفر ، إذا كان و مستمرين على فترة زمنية تحتوي على ، موجود و فريد. ^[15]${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y}$

• معادلة التفاضل التأخيري (DDE) هي معادلة لدالة متغير واحد، يُسمى عادةً الوقت ، حيث يتم إعطاء المشتق للدالة في وقت معين من حيث قيم الدالة في أوقات سابقة.
• يمكن اعتبار المعادلات التكاملية بمثابة نظير للمعادلات التفاضلية حيث تحتوي المعادلة على تكاملات بدلاً من المعادلة التي تتضمن مشتقات .
• المعادلة التكاملية التفاضلية (IDE) هي معادلة تجمع بين جوانب المعادلة التفاضلية والمعادلة التكاملية.
• المعادلة التفاضلية العشوائية (SDE) هي معادلة تكون فيها الكمية المجهولة عبارة عن عملية عشوائية وتتضمن المعادلة بعض العمليات العشوائية المعروفة، على سبيل المثال، عملية وينر في حالة معادلات الانتشار.
• معادلة التفاضل الجزئي العشوائية (SPDE) هي معادلة تعمم معادلة التفاضل الجزئي العشوائية لتشمل عمليات الضوضاء في المكان والزمان، مع تطبيقات في نظرية المجال الكمومي والميكانيكا الإحصائية .
• المعادلة شبه التفاضلية الفائقة القياس هي معادلة تحتوي على أرقام p-adic في فضاء فائق القياس . تستخدم النماذج الرياضية التي تتضمن معادلات شبه تفاضلية فائقة القياس مشغلات شبه تفاضلية بدلاً من المشغلات التفاضلية .
• المعادلة الجبرية التفاضلية (DAE) هي معادلة تفاضلية تتألف من مصطلحات تفاضلية وجبرية، معطاة في شكل ضمني.

ترتبط نظرية المعادلات التفاضلية ارتباطًا وثيقًا بنظرية معادلات الفرق ، حيث تفترض الإحداثيات قيمًا منفصلة فقط، وتتضمن العلاقة قيم الدالة أو الدوال المجهولة والقيم عند الإحداثيات القريبة. تتضمن العديد من الطرق لحساب الحلول العددية للمعادلات التفاضلية أو دراسة خصائص المعادلات التفاضلية تقريب حل المعادلة التفاضلية عن طريق حل معادلة الفرق المقابلة.

دراسة المعادلات التفاضلية هي مجال واسع في الرياضيات البحتة والتطبيقية والفيزياء والهندسة . كل هذه التخصصات معنية بخصائص المعادلات التفاضلية من أنواع مختلفة. تركز الرياضيات البحتة على وجود وتفرد الحلول، في حين تؤكد الرياضيات التطبيقية على التبرير الصارم لطرق تقريب الحلول. تلعب المعادلات التفاضلية دورًا مهمًا في نمذجة كل عملية فيزيائية أو تقنية أو بيولوجية تقريبًا، من الحركة السماوية إلى تصميم الجسور إلى التفاعلات بين الخلايا العصبية. قد لا تكون المعادلات التفاضلية مثل تلك المستخدمة لحل مشاكل الحياة الواقعية قابلة للحل بشكل مباشر بالضرورة، أي ليس لها حلول مغلقة الشكل . بدلاً من ذلك، يمكن تقريب الحلول باستخدام الطرق العددية .

يمكن صياغة العديد من القوانين الأساسية للفيزياء والكيمياء على هيئة معادلات تفاضلية. وفي علم الأحياء والاقتصاد ، تُستخدم المعادلات التفاضلية لنمذجة سلوك الأنظمة المعقدة . تطورت النظرية الرياضية للمعادلات التفاضلية لأول مرة جنبًا إلى جنب مع العلوم التي نشأت فيها المعادلات وحيث وجدت النتائج تطبيقًا. ومع ذلك، قد تؤدي المشكلات المتنوعة، التي تنشأ أحيانًا في مجالات علمية متميزة تمامًا، إلى ظهور معادلات تفاضلية متطابقة. كلما حدث هذا، يمكن النظر إلى النظرية الرياضية وراء المعادلات كمبدأ موحد وراء ظواهر متنوعة. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك انتشار الضوء والصوت في الغلاف الجوي، وانتشار الموجات على سطح البركة. يمكن وصف كل منها بنفس معادلة التفاضل الجزئي من الدرجة الثانية ، معادلة الموجة ، والتي تسمح لنا بالتفكير في الضوء والصوت كأشكال من الموجات، تمامًا مثل الموجات المألوفة في الماء. يخضع توصيل الحرارة، الذي طور نظريته جوزيف فورييه ، لمعادلة تفاضلية جزئية أخرى من الدرجة الثانية، معادلة الحرارة . لقد تبين أن العديد من عمليات الانتشار ، على الرغم من اختلافها ظاهريًا، يتم وصفها بنفس المعادلة؛ فمعادلة بلاك-شولز في مجال التمويل، على سبيل المثال، مرتبطة بمعادلة الحرارة.

إن عدد المعادلات التفاضلية التي حصلت على اسم في مختلف المجالات العلمية دليل على أهمية الموضوع. انظر قائمة المعادلات التفاضلية المسماة .

يمكن لبعض برامج CAS حل المعادلات التفاضلية. وهذه هي الأوامر المستخدمة في البرامج الرائدة:

• القيقب : ^[16] dsolve
• الرياضيات : ^[17] DSolve[]
• الحد الأقصى : ^[18] ode2(equation, y, x)
• سيج ماث : ^[19] desolve()
• سيمباي : ^[20] sympy.solvers.ode.dsolve(equation)
• كاس : ^[21] desolve(y'=k*y,y)

• أبوت، ب.؛ نيل، هـ. (2003). علم نفسك حساب التفاضل والتكامل . ص 266-277.
• بلانشارد، ب.؛ ديفاني، ر.ل ؛ هول، ج.ر. (2006). المعادلات التفاضلية . تومسون.
• بويس، دبليو؛ دي بريما، آر ؛ ميد، دي (2017). المعادلات التفاضلية الأولية ومشكلات القيمة الحدية . وايلي.
• كودينجتون، إي إيه؛ ليفنسون، إن. (1955). نظرية المعادلات التفاضلية العادية . ماكجرو هيل.
• إينس، إي إل (1956). المعادلات التفاضلية العادية . دوفر.
• جونسون، دبليو. (1913). أطروحة حول المعادلات التفاضلية العادية والجزئية. جون وايلي وأولاده.في مجموعة الرياضيات التاريخية لجامعة ميشيغان
• بوليانين، أ.د؛ زايتسيف، ف.ف (2003). دليل الحلول الدقيقة للمعادلات التفاضلية العادية (الطبعة الثانية). بوكا راتون: تشابمان وهول/سي آر سي برس. رقم ISBN 1-58488-297-2.
• بورتر، RI (1978). "المعادلات التفاضلية التاسعة عشرة". تحليل أولي إضافي .
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• دانييل زويلينجر (12 مايو 2014). دليل المعادلات التفاضلية. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6396-0.

• الوسائط المتعلقة بالمعادلات التفاضلية في ويكيميديا ​​كومنز
• محاضرات حول المعادلات التفاضلية مقاطع فيديو من MIT Open CourseWare
• ملاحظات عبر الإنترنت / المعادلات التفاضلية بول داكنز، جامعة لامار
• المعادلات التفاضلية، الرياضيات
• مقدمة في النمذجة باستخدام المعادلات التفاضلية مقدمة في النمذجة باستخدام المعادلات التفاضلية، مع ملاحظات نقدية.
• مساعد رياضيات على الويب أداة ODE الرمزية، باستخدام Maxima
• الحلول الدقيقة للمعادلات التفاضلية العادية
• مجموعة من نماذج المعادلات التفاضلية العادية ونماذج المعادلات التفاضلية العكسية للأنظمة الفيزيائية محفوظ في 19 ديسمبر 2008 على موقع Wayback Machine نماذج MATLAB
• ملاحظات حول Diffy Qs: المعادلات التفاضلية للمهندسين كتاب تمهيدي عن المعادلات التفاضلية بقلم جيري ليبل من جامعة إلينوي في إربانا شامبين
• قائمة تشغيل فيديو أكاديمية خان حول المعادلات التفاضلية المواضيع التي تمت تغطيتها في دورة السنة الأولى في المعادلات التفاضلية.
• قائمة تشغيل فيديو MathDiscuss حول المعادلات التفاضلية