دالة لوميل

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 6 صور
الموسوعة الحرة

معادلة لوميل التفاضلية ، التي سميت على اسم يوجين فون لوميل ، هي شكل غير متجانس من معادلة بيسل التفاضلية :

z2د2yدz2+zدyدz+(z2-ν2)y=zμ+1.{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})y=z^{\mu +1}.}

يتم تقديم الحلول بواسطة دوال لوميل s μ,ν ( z ) و S μ,ν ( z )، التي قدمها يوجين فون لوميل ( 1880 ) ، 

sμ،ν(z)=π2[Yν(z)∫0zxμجν(x)دx-جν(z)∫0zxμYν(x)دx]،{\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}\left[Y_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }J_{\nu }(x)\,dx-J_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }Y_ {\nu }(x)\,dx\right],}
Sμ،ν(z)=sμ،ν(z)+2μ-1Γ(μ+ν+12)Γ(μ-ν+12)(الخطيئة⁡[(μ-ν)π2]جν(z)-كوس⁡[(μ-ν)π2]Yν(z))،{\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+2^{\mu -1}\Gamma \left({\frac {\mu +\nu +1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {\mu -\nu +1}{2}}\right)\left(\sin \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]J_{\nu }(z)-\cos \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]Y_{\nu }(z)\right),}

حيث J ν ( z ) هي دالة بيسل من النوع الأول و Y ν ( z ) هي دالة بيسل من النوع الثاني.

يمكن أيضًا كتابة الدالة s على النحو التالي [ 1 ]

sμ،ν(z)=zμ+1(μ-ν+1)(μ+ν+1)1F2(1؛μ2-ν2+32،μ2+ν2+32؛-z24)،{\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{}_{1}F_{2}(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}})،}

حيث p F q هي دالة فوق هندسية معممة .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ واتسون "رسالة في نظرية دوال بيسل" (1966)، القسم 10.7، المعادلة (10)