نظرية لومان-مينشوف

في مجال التحليل العقدي ، تنص نظرية لومان-مينشوف على أن الدالة العقدية المستمرة المعرفة في مجموعة مفتوحة من المستوى العقدي تكون تامة الشكل إذا وفقط إذا حققت معادلات كوشي-ريمان . وهي بذلك تعميم لنظرية إدوارد غورسات ^، التي تفترض، بدلاً من افتراض استمرارية الدالة f ، قابليتها للتفاضل وفقًا لفريشيه عند اعتبارها دالة من مجموعة جزئية من R² إلى R² . تُنسب هذه النظرية إلى عالم الرياضيات الهولندي هيرمان لومان وعالم الرياضيات السوفيتي ديمتري مينشوف ^.

فيما يلي نص كامل للنظرية:

• لتكن Ω مجموعة مفتوحة في C و f  : Ω → C دالة متصلة. لنفترض أن المشتقات الجزئية${\displaystyle \partial f/\partial x}$و${\displaystyle \partial f/\partial y}$توجد في كل مكان ما عدا مجموعة قابلة للعد في  Ω. إذن، تكون f تامة الشكل إذا وفقط إذا كانت تحقق معادلة كوشي-ريمان:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)=0.}$

أشار لومان إلى أن الدالة المعطاة بواسطة f ( z ) = exp(− z ⁻⁴ ) لـ z  ≠  0، f (0)  =  0 تحقق معادلات كوشي-ريمان في كل مكان ولكنها ليست تحليلية (أو حتى متصلة) عند z = 0. وهذا يدل على أنه يجب افتراض أن الدالة f متصلة في النظرية.   

الدالة المعطاة بالعلاقة f ( z ) = z⁵ /| z | ^⁴ ، حيث z ≠ 0، f (0) = 0 ^، متصلة في كل مكان وتُحقق معادلات كوشي-ريمان عند z = 0، لكنها ليست تحليلية عند z = 0 (أو في أي مكان آخر). هذا يُبين أن التعميم البسيط لنظرية لومان-مينشوف إلى نقطة واحدة خاطئ .        

• لتكن f دالة متصلة في جوار النقطة z ، بحيث${\displaystyle \partial f/\partial x}$و${\displaystyle \partial f/\partial y}$توجد عند z . إذن f هي دالة تحليلية عند z إذا وفقط إذا كانت تحقق معادلة كوشي-ريمان عند z .

• غراي، جيه دي؛ موريس، إس إيه (1978)، "متى تكون الدالة التي تحقق معادلات كوشي-ريمان تحليلية؟"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 85 (4) (نُشرت في أبريل 1978): 246-256 ، doi : 10.2307/2321164 ، JSTOR 2321164 .
• لومان، هـ. (1923)، “Über die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen”، Göttinger Nachrichten : 97– 108.
• منشوف، د. (1936)، شروط أحادية المنشأ ، باريس{{citation}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط ) .
• Montel، P. (1913)، “Sur les différentielles Totales et les fonctions monogènes”، CR Acad. الخيال العلمي. باريس ، 156 : 1820 – 1822.
• ناراسيمهان، راغافان (2001)، التحليل المركب في متغير واحد ، بيركهاوزر، ISBN 0-8176-4164-5.