المشتق الجزئي

في الرياضيات ، المشتقة الجزئية لدالة ذات عدة متغيرات هي مشتقتها بالنسبة لأحد تلك المتغيرات، مع ثبات المتغيرات الأخرى (على عكس المشتقة الكلية التي تسمح بتغير جميع المتغيرات). تُستخدم المشتقات الجزئية في حساب المتجهات والهندسة التفاضلية .

المشتقة الجزئية للدالة${\displaystyle f(x,y,\dots )}$فيما يتعلق بالمتغير${\displaystyle x}$(وبالمثل بالنسبة لأي متغير آخر) يُشار إليه بأشكال مختلفة بواسطة

${\displaystyle f_{x}}$،${\displaystyle f'_{x}}$،${\displaystyle \partial _{x}f}$،${\displaystyle \ D_{x}f}$،${\displaystyle D_{\mathbf {e} _{1}}f}$،${\displaystyle D_{1}f}$،${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$، أو${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$.

هو معدل تغير الدالة في${\displaystyle x}$-اتجاه.

أحيانًا، من أجل${\displaystyle z=f(x,y,\ldots )}$، المشتق الجزئي لـ${\displaystyle z}$بالنسبة إلى${\displaystyle x}$يُشار إليه بـ${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial x}}.}$بما أن المشتقة الجزئية لها عمومًا نفس وسائط الدالة الأصلية، فإن اعتمادها الوظيفي يُشار إليه أحيانًا بشكل صريح بالرمز، كما في:

$${\displaystyle f'_{x}(x,y,\ldots ),{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots ).}$$

يُستخدم الرمز ∂ للدلالة على المشتقات الجزئية . ومن أوائل الاستخدامات المعروفة لهذا الرمز في الرياضيات ماركيز دي كوندورسيه عام 1770، ^{[ 1 ]} حيث استخدمه للفروق الجزئية . وقد ابتكر أدريان ماري ليجندر (1786) الصيغة الحديثة للمشتقات الجزئية، إلا أنه تخلى عنها لاحقًا؛ ثم أعاد كارل جوستاف جاكوب جاكوبي استخدام الرمز عام 1841. ^{[ 2 ]}

كما هو الحال مع المشتقات العادية، تُعرَّف المشتقة الجزئية على أنها نهاية . ليكن U مجموعة جزئية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$دالة. المشتقة الجزئية للدالة f عند النقطة${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U}$بالنسبة للمتغير رقم i ، يُعرَّف x _{i على النحو التالي:}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1}\,\ldots ,a_{n})\ -f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e} _{i})-f(\mathbf {a} )}{h}}\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle \mathbf {e_{i}} }$هو متجه الوحدة للمتغير رقم i _، xᵢ . في الواقع، تُظهر المساواة الأخيرة أن المشتقة الجزئية هي ببساطة المشتقة الاتجاهية حيث يكون الاتجاه هو${\displaystyle i}$متجه الأساس القياسي رقم -th .

حتى لو كانت جميع المشتقات الجزئية${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}(a)}$إذا وُجدت مشتقات جزئية عند نقطة معينة a ، فلا يشترط أن تكون الدالة متصلة عند تلك النقطة. مع ذلك، إذا وُجدت جميع المشتقات الجزئية في جوار النقطة a وكانت متصلة عندها، فإن f تكون قابلة للتفاضل كليًا في ذلك الجوار وتكون المشتقة الكلية متصلة. في هذه الحالة، يُقال إن f دالة من ^الفئة C1 . ويمكن تعميم ذلك على الدوال المتجهة.${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$، وذلك باستخدام وسيطة مكونة بعناية.

المشتق الجزئي${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$هي نفسها دالة معرفة على U ويمكن اشتقاقها جزئيًا مرة أخرى. إذا لم يتكرر اتجاه الاشتقاق، تُسمى مشتقة جزئية مختلطة . إذا كانت جميع المشتقات الجزئية المختلطة من الرتبة الثانية متصلة عند نقطة (أو على مجموعة)، تُسمى f دالة ^{من الرتبة} C² عند تلك النقطة (أو على تلك المجموعة)؛ في هذه الحالة، يمكن تبديل المشتقات الجزئية وفقًا لنظرية كليروت .

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}$$

بالنسبة للأمثلة التالية، لنفترض أن f دالة في x و y و z .

المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.}$$

المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}$$

المشتقات المختلطة من الرتبة الثانية :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f'_{x})'_{y}=f''_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}$$

المشتقات الجزئية والمختلطة من الرتب العليا:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}$$

عند التعامل مع دوال متعددة المتغيرات، قد تكون بعض هذه المتغيرات مرتبطة ببعضها البعض، لذا قد يكون من الضروري تحديد المتغيرات الثابتة صراحةً لتجنب الغموض. في مجالات مثل الميكانيكا الإحصائية ، غالبًا ما يُعبَّر عن المشتقة الجزئية للدالة f بالنسبة إلى x ، مع تثبيت y و z ، على النحو التالي:

$${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}$$

تقليديًا، ولأغراض الوضوح وتبسيط الترميز، يتم دمج دالة المشتقة الجزئية وقيمة الدالة عند نقطة معينة من خلال تضمين وسيطات الدالة عند استخدام رمز المشتقة الجزئية (ترميز لايبنتز). وبالتالي، فإن تعبيرًا مثل

$${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}}$$

يُستخدم للوظيفة، بينما

$${\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}}$$

يمكن استخدام هذه القيمة لحساب قيمة الدالة عند النقطة${\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}$ومع ذلك ، فإن هذا الاصطلاح لا يصح عندما نريد حساب المشتقة الجزئية عند نقطة مثل${\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$في مثل هذه الحالة ، يجب التعبير عن تقييم الدالة بطريقة معقدة وغير عملية كما يلي:

$${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})}$$

أو

$${\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}}$$

لاستخدام ترميز لايبنتز. وبالتالي، في هذه الحالات، قد يكون من الأفضل استخدام ترميز أويلر للمؤثر التفاضلي مع${\displaystyle D_{i}}$كرمز للمشتقة الجزئية بالنسبة للمتغير رقم i . على سبيل المثال، يمكن كتابة${\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}$بالنسبة للمثال المذكور أعلاه، بينما التعبير${\displaystyle D_{1}f}$يمثل دالة المشتقة الجزئية بالنسبة للمتغير الأول. ^{[ 3 ]}

بالنسبة للمشتقات الجزئية من الرتب العليا، فإن المشتقة الجزئية (الدالة) لـ${\displaystyle D_{i}f}$يُشار إليه بالنسبة للمتغير j -th${\displaystyle D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f}$. إنه،${\displaystyle D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}}$وبالتالي ، تُدرج المتغيرات بالترتيب الذي تُحسب به المشتقات، أي بترتيب عكسي لكيفية كتابة تركيب المؤثرات عادةً. وبالطبع، تنص نظرية كليروت على ذلك.${\displaystyle D_{i,j}=D_{j,i}}$طالما تم استيفاء شروط الانتظام المعتدلة نسبياً على f .

من الأمثلة المهمة على الدوال ذات المتغيرات المتعددة حالة الدالة ذات القيمة العددية${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$على نطاق في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(على سبيل المثال، على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$أو${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$في هذه الحالة ، يكون للدالة f مشتقة جزئية${\displaystyle \partial f/\partial x_{j}}$بالنسبة لكل متغير x _j . عند النقطة a ، تحدد هذه المشتقات الجزئية المتجه

$${\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}$$

يُسمى هذا المتجه تدرج الدالة f عند النقطة a . إذا كانت f قابلة للتفاضل عند كل نقطة في مجال ما، فإن التدرج هو دالة متجهة ∇f تُحوّل النقطة a إلى المتجه ∇f ( a ) . وبالتالي ، يُنتج التدرج حقلاً متجهياً .

من الأخطاء الشائعة في استخدام الرموز تعريف عامل دل ( ∇ ) على النحو التالي في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$باستخدام متجهات الوحدة${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$:

$${\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}}$$

أو، بشكل أعم، بالنسبة للفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مع الإحداثيات${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ومتجهات الوحدة${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$:

$${\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$$

لنفترض أن f دالة لأكثر من متغير واحد. على سبيل المثال،

$${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

رسم بياني للدالة z = x ² + xy + y ^2. بالنسبة للمشتقة الجزئية عند (1، 1) التي تجعل y ثابتة، فإن خط المماس المقابل يكون موازياً للمستوى xz .

جزء من الرسم البياني أعلاه يوضح الدالة في المستوى xz عند y = 1. يظهر المحوران هنا بمقياسين مختلفين. ميل الخط المماس هو 3.

يُحدد الرسم البياني لهذه الدالة سطحًا في الفضاء الإقليدي . ولكل نقطة على هذا السطح عدد لا نهائي من الخطوط المماسية . التفاضل الجزئي هو عملية اختيار أحد هذه الخطوط وإيجاد ميله . عادةً، تكون الخطوط الأكثر أهمية هي تلك الموازية للمستوى xz ، وتلك الموازية للمستوى yz (والتي تنتج عن تثبيت قيمة y أو x ، على التوالي).

لإيجاد ميل الخط المماس للدالة عند النقطة P (1, 1) والموازي للمستوى xz ، نعتبر y ثابتًا. يظهر الرسم البياني والمستوى على اليمين. في الأسفل، نرى كيف تبدو الدالة على المستوى y = 1. بإيجاد مشتقة المعادلة بافتراض أن y ثابت، نجد أن ميل f عند النقطة ( x , y ) هو:

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$$

إذن عند النقطة (1، 1) ، وبالتعويض، يكون الميل 3. لذلك،

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}$$

عند النقطة (1، 1) . أي أن المشتقة الجزئية لـ z بالنسبة إلى x عند (1، 1) هي 3 ، كما هو موضح في الرسم البياني.

يمكن إعادة تفسير الدالة f على أنها عائلة من الدوال لمتغير واحد مفهرسة بواسطة المتغيرات الأخرى:

$${\displaystyle f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

بمعنى آخر، كل قيمة لـ y تُعرّف دالة، يُرمز لها بـ f( _y) ، وهي دالة لمتغير واحد x . ^{[ 5 ]} أي،

$${\displaystyle f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

في هذا القسم، يشير الرمز السفلي f _y إلى دالة تعتمد على قيمة ثابتة لـ y ، وليس مشتقة جزئية.

بمجرد اختيار قيمة لـ y ، ولتكن a ، فإن f ( x , y ) تحدد دالة f _a التي ترسم منحنى x ² + ax + a ² على المستوى xz :

$${\displaystyle f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.}$$

في هذا التعبير، a ثابت وليس متغيرًا ، لذا فإن f _a دالة لمتغير حقيقي واحد فقط، وهو x . وبالتالي، ينطبق تعريف المشتقة لدالة ذات متغير واحد.

$${\displaystyle f_{a}'(x)=2x+a.}$$

يمكن تطبيق الإجراء المذكور أعلاه على أي قيمة مختارة لـ a . يؤدي تجميع المشتقات معًا في دالة إلى الحصول على دالة تصف تغير f في اتجاه x :

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.}$$

هذا هو المشتق الجزئي للدالة f بالنسبة إلى x . هنا، ' ∂ ' هو حرف 'd' مدور يسمى رمز المشتق الجزئي ؛ ولتمييزه عن الحرف 'd'، يُنطق ' ∂ ' أحيانًا "partial".

تُعرَّف المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية وما فوقها بشكل مماثل للمشتقات من الرتب العليا للدوال أحادية المتغير. بالنسبة للدالة${\displaystyle f(x,y,...)}$إن المشتقة الجزئية الثانية "الخاصة" بالنسبة إلى x هي ببساطة المشتقة الجزئية للمشتقة الجزئية (كلاهما بالنسبة إلى x ): ^{[ 6 ] : 316-318}

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.}$$

يتم الحصول على المشتقة الجزئية المختلطة بالنسبة إلى x و y عن طريق أخذ المشتقة الجزئية لـ f بالنسبة إلى x ، ثم أخذ المشتقة الجزئية للنتيجة بالنسبة إلى y ، للحصول على

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.}$$

تنص نظرية شوارتز على أنه إذا كانت المشتقات الثانية متصلة، فإن صيغة المشتقة الجزئية المختلطة لا تتأثر بالمتغير الذي تُحسب المشتقة الجزئية بالنسبة إليه أولاً أو بالنسبة إليه ثانياً. أي،

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}$$

أو ما يعادل ذلك${\displaystyle f_{yx}=f_{xy}.}$

تظهر المشتقات الجزئية الذاتية والمختلطة في مصفوفة هيسيان المستخدمة في شروط الرتبة الثانية في مسائل التحسين . ويمكن الحصول على المشتقات الجزئية ذات الرتب الأعلى عن طريق التفاضل المتتالي.

يوجد مفهوم للمشتقات الجزئية يُشابه مفهوم الدوال الأصلية للمشتقات العادية. فبمعرفة مشتقة جزئية، يُمكن استعادة جزء من الدالة الأصلية.

لنأخذ مثالاً على

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$$

يمكن حساب ما يسمى بالتكامل الجزئي بالنسبة إلى x (مع اعتبار y ثابتًا، بطريقة مشابهة للتفاضل الجزئي):

$${\displaystyle z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y).}$$

هنا، لم يعد ثابت التكامل ثابتًا، بل أصبح دالةً لجميع متغيرات الدالة الأصلية باستثناء x . والسبب في ذلك هو أن جميع المتغيرات الأخرى تُعامل كثوابت عند حساب المشتقة الجزئية، لذا فإن أي دالة لا تتضمن x ستختفي عند حساب المشتقة الجزئية، ويجب مراعاة ذلك عند حساب الدالة الأصلية. وأبسط طريقة لتمثيل ذلك هي أن يكون الثابت دالة مجهولة لجميع المتغيرات الأخرى.

وبالتالي مجموعة الدوال${\displaystyle x^{2}+xy+g(y)}$حيث g هي أي دالة ذات وسيط واحد، تمثل المجموعة الكاملة من الدوال في المتغيرين x و y التي كان من الممكن أن تنتج المشتقة الجزئية لـ x${\displaystyle 2x+y}$.

إذا عُرفت جميع المشتقات الجزئية لدالة ما (على سبيل المثال، باستخدام التدرج )، فيمكن مطابقة الدوال الأصلية عبر العملية المذكورة أعلاه لإعادة بناء الدالة الأصلية حتى قيمة ثابتة. ولكن على عكس حالة المتغير الواحد، لا يمكن أن تكون كل مجموعة من الدوال هي مجموعة جميع المشتقات الجزئية (الأولى) لدالة واحدة. بعبارة أخرى، ليس كل حقل متجه محافظًا .

• "المشتق الجزئي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• المشتقات الجزئية في عالم الرياضيات