نظرية ماكماهون الرئيسية

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 37 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، تُعدّ نظرية ماكماهون الرئيسية ( MMT ) نتيجةً في التوافقية العددية والجبر الخطي . اكتشفها بيرسي ماكماهون وأثبتها في كتابه " التحليل التوافقي " (1916). تُستخدم هذه النظرية غالبًا لاستنتاج متطابقات ذات الحدين، وأبرزها متطابقة ديكسون .

خلفية

في دراسته، وجد ماكماهون العديد من التطبيقات لنتيجته، لدرجة أنه أطلق عليها اسم "نظرية رئيسية في نظرية التباديل". وقد شرح العنوان على النحو التالي: "نظرية رئيسية من حيث الأسلوب البارع والسريع الذي تتناول به مختلف المسائل التي يصعب حلها بطريقة أخرى".

أُعيد اشتقاق النتيجة (مع الإشارة إلى المصدر) عدة مرات، أبرزها على يد آي جيه جود الذي اشتقها من تعميمه متعدد الخطوط لنظرية لاغرانج العكسية . كما شاع استخدام نظرية المصفوفة متعددة الحدود (MMT) بفضل كارليتز الذي وجد نسخة منها على شكل متسلسلة قوى أسية . في عام 1962، وجد جود برهانًا موجزًا ​​لهوية ديكسون انطلاقًا من نظرية المصفوفة متعددة الحدود. وفي عام 1969، وجد كارتييه وفواتا برهانًا جديدًا لنظرية المصفوفة متعددة الحدود من خلال الجمع بين الأفكار الجبرية والتقابلية (المبنية على أطروحة فواتا) وتطبيقات إضافية على التوافقية على الكلمات ، مقدمين مفهوم الآثار . ومنذ ذلك الحين، أصبحت نظرية المصفوفة متعددة الحدود أداةً أساسيةً في التوافقية العددية.

على الرغم من معرفة العديد من متطابقات ديكسون الكمومية لعقود، باستثناء امتداد كراتينثالر-شلوسر (1999)، ظل النظير الكمومي الصحيح لنظرية الجبر الكمومي غير معروف. بعد امتداد غاروفاليديس-لي-زيلبرغر الكمومي (2006)، طُوِّر عدد من الامتدادات غير التبادلية بواسطة فواتا-هان، وكونفالينكا-باك، وإيتينغوف-باك. كما وُجدت روابط أخرى بجبر كوزول والمحددات شبه الكمومية بواسطة هاي-لورنتز، وهاي-كريغك-لورنز، وكونفالينكا-باك، وآخرين.

وأخيرًا، وفقًا لـ جيه دي لوك، أعاد الفيزيائي النظري جوليان شوينجر اكتشاف نظرية الزخم الزاوي المتعدد في سياق منهجه الخاص بالدالة المولدة لنظرية الزخم الزاوي لأنظمة الجسيمات المتعددة . يكتب لوك:

إن نظرية ماكماهون الرئيسية هي التي توحد خصائص الزخم الزاوي للأنظمة المركبة في البناء الثنائي لهذه الأنظمة من مكونات أكثر أولية. [ 1 ]

إفادة

يتركأ=(أأناج)م×م{\displaystyle A=(a_{ij})_{m\times m}}لتكن مصفوفة معقدة، ولتكنx1،...،xم{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}لتكن متغيرات رسمية. لأي سلسلة من الأعداد الصحيحة غير السالبةك1،...،كم{\displaystyle k_{1},\dots ,k_{m}}، لنفترض المعامل المرتبط بكثير الحدود:

جي(ك1،...،كم)=[x1ك1⋯xمكم]∏أنا=1م(∑ج=1مأأناجxج)كأنا.{\displaystyle G(k_{1},\dots ,k_{m})\,=\,{\bigl [}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{m}^{k_{m}}{\bigr ]}\,\prod _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{m}a_{ij}x_{j}\right)^{k_{i}}.}

(هنا الترميز)[و]ز{\displaystyle [f]g}يعني "معامل الحد الواحدي"و{\displaystyle f}فيز{\displaystyle g}".) يتركت1،...،تم{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{m}}ولتكن مجموعة أخرى من المتغيرات الرسمية، ولتكنتي=دأناأز(ت1،...،تم){\displaystyle T=\mathrm {diag} (t_{1},\dots ,t_{m})}لتكن مصفوفة قطرية . إذن

∑(ك1،...،كم)جي(ك1،...،كم)ت1ك1⋯تمكم=1المحقق(أنام-تيأ)،\displaystyle \sum _{(k_{1},\dots ,k_{m})}G(k_{1},\dots ,k_{m})\,t_{1}^{k_{1}}\cdots t_{m}^{k_{m}}\,=\,{\frac {1}{\det(I_{m}-TA)}},}

حيث يمتد المجموع على جميع متجهات الأعداد الصحيحة غير السالبة(ك1،...،كم){\displaystyle (k_{1},\dots ,k_{m})}، وأنام{\displaystyle I_{m}}تشير إلى مصفوفة الوحدة ذات الحجمم{\displaystyle m}.

التفسير التوافقي

لحسابجي(ك1،...،كم){\displaystyle G(k_{1},\dots ,k_{m})}يمكن للمرء إنشاء المصفوفة المتكررة التالية:أ=[[أ11⋯أ1م⋮⋮أ11⋯أ1م]⋮[أم1⋯أمم⋮⋮أم1⋯أمم]]{\displaystyle A={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1m}\\\vdots &&\vdots \\a_{11}&\cdots &a_{1m}\end{bmatrix}}\\\vdots \\{\begin{bmatrix}a_{m1}&\cdots &a_{mm}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mm}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}}حيثأنا{\displaystyle i}الصف رقم - منأ{\displaystyle A}يتكرر لـكأنا{\displaystyle k_{i}}مرات. ثم، يقوم المرء بإنشاء جميع الطرق الممكنة لاختيار عنصر واحد بالضبط لكل صف، بحيث يتم اختيار العناصر الموجودة في العمود الأول.ك1{\displaystyle k_{1}}يتم اختيار العناصر الموجودة في العمود الثاني في بعض الأحيانك2{\displaystyle k_{2}}مرات، وهكذا. وأخيرًا، لكل طريقة من هذه الطرق، اضرب العناصر المختارة، ويكون مجموع كل هذه النواتج هوجي(ك1،...،كم){\displaystyle G(k_{1},\dots ,k_{m})}.

التطبيقات

متىأ{\displaystyle A}إذا كانت هذه هي المتطابقة، فإن هذا يعطي متطابقة متسلسلة هندسية متعددة المتغيرات :∏أنا=1م11-تأنا=∑ك1،...،كم≥0ت1ك1⋯تمكم{\displaystyle \prod _{i=1}^{m}{\frac {1}{1-t_{i}}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{m}\geq 0}t_{1}^{k_{1}}\cdots t_{m}^{k_{m}}}جلسةت1،...،تم=1{\displaystyle t_{1},\dots ,t_{m}=1}، نحصل على تعبير∑(ك1،...،كم)جي(ك1،...،كم)=1المحقق(أنام-أ){\displaystyle \sum _{(k_{1},\dots ,k_{m})}G(k_{1},\dots ,k_{m})\,=\,{\frac {1}{\det(I_{m}-A)}}} يتركأ=(011101110){\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}}، ثمجي(ن،ن،ن)=[x1نx2نx3ن](x2+x3)ن(x1+x3)ن(x1+x2)ن{\displaystyle G(n,n,n)=\left[x_{1}^{n}x_{2}^{n}x_{3}^{n}\right]\left(x_{2}+x_{3}\right)^{n}\left(x_{1}+x_{3}\right)^{n}\left(x_{1}+x_{2}\right)^{n}}هو عدد التحريفات في الكلمةx1نx2نx3ن{\displaystyle x_{1}^{n}x_{2}^{n}x_{3}^{n}}أي طرق تبديل3ن{\displaystyle 3n}رموزx1نx2نx3ن{\displaystyle x_{1}^{n}x_{2}^{n}x_{3}^{n}}بحيث يكون كلx1{\displaystyle x_{1}}الأراضي في الموقع الذي كان يشغله سابقًا بعضx2{\displaystyle x_{2}}أوx3{\displaystyle x_{3}}إلخ. وفقًا لنظرية ماكماهون الرئيسية،جي(ن،ن،ن)=∑ك=0ن(نك)3=[ت1نت2نت3ن]11-ت1ت2-ت1ت3-ت2ت3-2ت1ت2ت3{\displaystyle G(n,n,n)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{3}=[t_{1}^{n}t_{2}^{n}t_{3}^{n}]{\frac {1}{1-t_{1}t_{2}-t_{1}t_{3}-t_{2}t_{3}-2t_{1}t_{2}t_{3}}}}

هوية ديكسون

لنفترض وجود مصفوفة

أ=(01-1-1011-10).{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}}.}

احسب المعاملات G (2 n ,  2 n ,  2 n ) مباشرة من التعريف:

جي(2ن،2ن،2ن)=[x12نx22نx32ن](x2-x3)2ن(x3-x1)2ن(x1-x2)2ن=∑ك=02ن(-1)ك(2نك)3،{\displaystyle {\begin{aligned}G(2n,2n,2n)&={\bigl [}x_{1}^{2n}x_{2}^{2n}x_{3}^{2n}{\bigl ]}(x_{2}-x_{3})^{2n}(x_{3}-x_{1})^{2n}(x_{1}-x_{2})^{2n}\\[6pt]&=\,\sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k}{\binom {2n}{k}}^{3},\end{aligned}}}

حيث تنبع المساواة الأخيرة من حقيقة أن لدينا في الجانب الأيمن ناتج ضرب المعاملات التالية:

[x2كx32ن-ك](x2-x3)2ن،  [x3كx12ن-ك](x3-x1)2ن،  [x1كx22ن-ك](x1-x2)2ن،{\displaystyle [x_{2}^{k}x_{3}^{2n-k}](x_{2}-x_{3})^{2n},\ \ [x_{3}^{k}x_{1}^{2n-k}](x_{3}-x_{1})^{2n},\ \ [x_{1}^{k}x_{2}^{2n-k}](x_{1}-x_{2})^{2n},}

والتي يتم حسابها من نظرية ذات الحدين . من ناحية أخرى، يمكننا حساب المحدد بشكل صريح:

المحقق(أنا-تيأ)=المحقق(1-ت1ت1ت21-ت2-ت3ت31)=1+(ت1ت2+ت1ت3+ت2ت3).{\displaystyle \det(I-TA)\,=\,\det {\begin{pmatrix}1&-t_{1}&t_{1}\\t_{2}&1&-t_{2}\\-t_{3}&t_{3}&1\end{pmatrix}}\,=\,1+{\bigl (}t_{1}t_{2}+t_{1}t_{3}+t_{2}t_{3}{\bigr )}.}

وبالتالي، وفقًا لنظرية MMT، لدينا صيغة جديدة لنفس المعاملات:

جي(2ن،2ن،2ن)=[ت12نت22نت32ن](-1)3ن(ت1ت2+ت1ت3+ت2ت3)3ن=(-1)ن(3نن،ن،ن)،{\displaystyle {\begin{aligned}G(2n,2n,2n)&={\bigl [}t_{1}^{2n}t_{2}^{2n}t_{3}^{2n}{\bigl ]}(-1)^{3n}{\bigl (}t_{1}t_{2}+t_{1}t_{3}+t_{2}t_{3}{\bigr )}^{3n}\\[6pt]&=(-1)^{n}{\binom {3n}{n,n,n}},\end{aligned}}}

حيث تنتج المساواة الأخيرة من حقيقة أننا نحتاج إلى استخدام جميع الحدود الثلاثة في الأس عددًا متساويًا من المرات. الآن ، بمساواة الصيغتين للمعاملات G (2n , 2n  , 2n ) ، نحصل على صيغة مكافئة لهوية ديكسون: 

∑ك=02ن(-1)ك(2نك)3=(-1)ن(3نن،ن،ن).{\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k}{\binom {2n}{k}}^{3}=(-1)^{n}{\binom {3n}{n,n,n}}.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ لوك، جيمس د. (2008). التناظر الوحدوي والتوافقية . سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ص.  8. ISBN 978-981-281-472-2.