سلسلة الطاقة

في الرياضيات ، متسلسلة القوى (في متغير واحد ) هي متسلسلة لانهائية على الصورة $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(xc\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(xc)+a_{2}(xc)^{2}+\dots$ أين $a_{n}$ يمثل معامل الحد النوني ، و c ثابت يُسمى مركز المتسلسلة. تُعد متسلسلات القوى مفيدة في التحليل الرياضي ، حيث تظهر كمتسلسلات تايلور لدوال قابلة للتفاضل بلا حدود . في الواقع، تنص نظرية بوريل على أن كل متسلسلة قوى هي متسلسلة تايلور لدالة ملساء.

في كثير من الحالات، يكون المركز c مساوياً للصفر، كما هو الحال في متسلسلة ماكلورين . في مثل هذه الحالات، تأخذ متسلسلة القوى الشكل الأبسط. $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots .$

المجاميع الجزئية لمتسلسلة القوى هي كثيرات حدود ، والمجاميع الجزئية لمتسلسلة تايلور لدالة تحليلية هي متتالية من تقريبات كثيرات الحدود المتقاربة للدالة عند المركز، ويمكن اعتبار متسلسلة القوى المتقاربة نوعًا من كثيرات الحدود المعممة ذات عدد لا نهائي من الحدود. في المقابل، كل كثيرة حدود هي متسلسلة قوى ذات عدد محدود فقط من الحدود غير الصفرية.

إلى جانب دورها في التحليل الرياضي، تظهر متسلسلات القوى أيضًا في التوافقية كدوال مولدة (نوع من متسلسلات القوى الرسمية ) وفي الهندسة الإلكترونية (تحت اسم تحويل Z ). ويمكن اعتبار الترميز العشري المألوف للأعداد الحقيقية مثالًا على متسلسلة القوى، بمعاملات صحيحة ومتغير ثابت x عند 1/10 . وفي نظرية الأعداد ، يرتبط مفهوم الأعداد p -adic ارتباطًا وثيقًا بمفهوم متسلسلة القوى.

أمثلة

متعدد الحدود

{\displaystyle f(x)=1} — الدالة الأسية (باللون الأزرق)، وتقريبها المُحسَّن بمجموع أول n + 1 حدًا من متسلسلة قوى ماكلورين (باللون الأحمر). لذا، فإن n=0 يُعطي $f(x)=1$ ، ن=1 $f(x)=1+x$ ، ن = 2 $f(x)=1+x+x^{2}/2$ ، ن = 3 $f(x)=1+x+x^{2}/2+x^{3}/6$ إلخ.

يمكن التعبير عن كل متعددة حدود من الدرجة $d$ على شكل متسلسلة قوى حول أي مركز $c$ ، حيث يكون معامل جميع الحدود ذات الدرجة الأعلى من $d$ مساويًا للصفر. ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، متعددة الحدود ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ يمكن كتابتها كمتسلسلة قوى حول المركز ${\textstyle c=0}$ مثل $f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots$ أو حول المركز ${\textstyle c=1}$ مثل $f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots .$

يمكن للمرء أن ينظر إلى متسلسلات القوى على أنها مثل "كثيرات الحدود ذات الدرجة اللانهائية"، على الرغم من أن متسلسلات القوى ليست كثيرات حدود بالمعنى الدقيق للكلمة.

المتسلسلات الهندسية، والدالة الأسية، والجيب

صيغة المتسلسلة الهندسية ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$ وهو ما ينطبق على ${\textstyle |x|<1}$ تُعدّ هذه الصيغة من أهم الأمثلة على متسلسلة القوى، وكذلك صيغة الدالة الأسية. $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$ وصيغة الجيب $\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$ صالحة لجميع قيم x الحقيقية . هذه المتسلسلات القوى هي أمثلة على متسلسلات تايلور (أو، على وجه التحديد، متسلسلات ماكلورين ).

مجموعة الأسس

لا يُسمح باستخدام القوى السالبة في متسلسلة القوى العادية؛ على سبيل المثال، ${\textstyle x^{-1}+1+x^{1}+x^{2}+\cdots }$ لا تُعتبر متسلسلة قوى (مع أنها متسلسلة لوران ). وبالمثل، فإن القوى الكسرية مثل ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$ لا يُسمح بها؛ تنشأ القوى الكسرية في متسلسلات بويزو . المعاملات ${\textstyle a_{n}}$ يجب ألا يعتمد على ${\textstyle x}$ وهكذا على سبيل المثال ${\textstyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots }$ ليست سلسلة قوى.

نصف قطر التقارب

سلسلة الطاقة ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$ تكون المتسلسلة متقاربة لبعض قيم $x$ ، والتي تشمل دائمًا $x = c$ ، لأنه بالنسبة لهذه القيمة من $x$ ، تختزل المتسلسلة إلى حدها الأول . $a_{0}$ ⁠ .

قد تتباعد المتسلسلة لقيم أخرى لـ $x$ ، وربما لجميعها. إذا لم تكن $c$ هي القيمة الوحيدة للتقارب، فإنه يوجد دائمًا عدد $r$ بحيث $0 < r \leq \infty،$ وتتقارب المتسلسلة إذا كان $| x - c | < r$ ، وتتباعد إذا كان $| x - c | > r$ . يُسمى العدد $r$ نصف قطر تقارب متسلسلة القوى؛ ويُعطى عمومًا بالصيغة التالية: $r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$ أو، على نحو مماثل، $r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.$ هذه هي نظرية كوشي-هادامارد ؛ انظر إلى النهاية العليا والنهاية السفلى لشرح الرموز. العلاقة $r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|$ يتحقق هذا الشرط أيضًا، إذا كان هذا الحد موجودًا.

تُسمى مجموعة الأعداد المركبة التي تحقق الشرط $| x - c | < r$ بقرص تقارب المتسلسلة. تتقارب المتسلسلة تقاربًا مطلقًا داخل قرص تقاربها، وتتقارب تقاربًا منتظمًا على كل مجموعة جزئية مضغوطة من قرص التقارب.

بالنسبة لـ $| x - c | = r$ ، لا يوجد بيان عام حول تقارب المتسلسلة. مع ذلك، تنص نظرية أبيل على أنه إذا كانت المتسلسلة متقاربة لقيمة ما $z$ بحيث $| z - c | = r$ ، فإن مجموع المتسلسلة لـ $x = z$ هو نهاية مجموع المتسلسلة لـ $x = c + t (z - c)،$ حيث $t$ متغير حقيقي أصغر من r.1 الذي يميل إلى1 .

العمليات على متسلسلات القوى

الجمع والطرح

عند تحليل دالتين f و g إلى متسلسلات قوى حول نفس المركز c ، يمكن الحصول على متسلسلة قوى مجموع أو فرق الدالتين عن طريق الجمع والطرح حدًا حدًا. أي، إذا $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$ و $g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}$ ثم $f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.$

سيكون لمجموع متسلسلتين قوى نصف قطر تقارب لا يقل عن أصغر نصف قطر تقارب المتسلسلتين، ^{[ 2 ]} ولكنه قد يكون أكبر من أي منهما. على سبيل المثال، ليس صحيحًا أنه إذا كانت متسلسلتان قوى ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ و ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ إذا كان لهما نفس نصف قطر التقارب، ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$ وله أيضًا نصف قطر التقارب هذا: إذا ${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$ و ${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$ على سبيل المثال، فإن كلا المتسلسلتين لهما نفس نصف قطر التقارب وهو 1، لكن المتسلسلة ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$ يبلغ نصف قطر التقارب 3.

الضرب والقسمة

بنفس تعريفات $f(x)$ و $g(x)$ ويمكن الحصول على متسلسلة القوى لحاصل ضرب وقسمة الدوال على النحو التالي: ${\begin{aligned}f(x)g(x)&={\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}{\biggr )}(x-c)^{n}.\end{aligned}}$

التسلسل ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ يُعرف باسم حاصل ضرب كوشي للمتتاليات $a_{n}$ و $b_{n}$ .

بالنسبة للقسمة، إذا حددنا المتتالية $d_{n}$ بواسطة ${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}$ ثم $f(x)={\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}$ ويمكن للمرء أن يحل المعادلات بشكل متكرر لإيجاد الحدود $d_{n}$ عن طريق مقارنة المعاملات.

يؤدي حل المعادلات المقابلة إلى الحصول على الصيغ القائمة على محددات مصفوفات معينة لمعاملات $f(x)$ و $g(x)$ $d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}$ $d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}$

التمايز والتكامل

بمجرد أن تصبح وظيفة $f(x)$ إذا عُرضت الدالة على شكل متسلسلة قوى كما سبق، فهي قابلة للتفاضل داخل مجال التقارب. ويمكن تفاضلها وتكاملها بمعالجة كل حد على حدة، لأن كلاً من التفاضل والتكامل تحويلات خطية للدوال . ${\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-c)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-c)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}$

تتمتع كلتا السلسلتين بنفس نصف قطر التقارب مثل السلسلة الأصلية.

الدوال التحليلية

تُسمى الدالة f المعرفة على مجموعة جزئية مفتوحة U من R أو C دالة تحليلية إذا كانت معطاة محليًا بواسطة متسلسلة قوى متقاربة. هذا يعني أن لكل a ∈ U جوارًا مفتوحًا V ⊆ U ، بحيث توجد متسلسلة قوى مركزها a تتقارب إلى f ( x ) لكل x ∈ V.

كل متسلسلة قوى ذات نصف قطر تقارب موجب تكون تحليلية داخل منطقة تقاربها. جميع الدوال التحليلية هي دوال تحليلية مركبة. مجاميع وحاصل ضرب الدوال التحليلية هي دوال تحليلية، وكذلك نواتج القسمة طالما أن المقام غير صفري.

إذا كانت الدالة تحليلية، فإنها قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية، ولكن في الحالة الحقيقية، لا يكون العكس صحيحًا بشكل عام. بالنسبة للدالة التحليلية، يمكن حساب المعاملات a _{و n على النحو التالي:} $a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}{\left(c\right)}}{n!}}$

أين $f^{(n)}(c)$ يرمز إلى المشتقة النونية للدالة f عند النقطة c ، و $f^{(0)}(c)=f(c)$ وهذا يعني أن كل دالة تحليلية يتم تمثيلها محليًا بواسطة متسلسلة تايلور الخاصة بها .

يتم تحديد الشكل العالمي للدالة التحليلية بشكل كامل من خلال سلوكها المحلي بالمعنى التالي: إذا كانت f و g دالتين تحليليتين معرفتين على نفس المجموعة المفتوحة المتصلة U ، وإذا كان هناك عنصر $c \in U$ بحيث يكون $f (n) (c) = g (n) (c)$ لجميع $n \geq 0$ ، فإن $f (x$ ) $=$ $g$ $($ $x$ $)$ لجميع $x \in U.$

إذا عُرِفَت متسلسلة قوى بنصف قطر تقارب r ، فيمكن النظر في الامتدادات التحليلية لهذه المتسلسلة، أي الدوال التحليلية f المعرفة على مجموعات أكبر من ${x | | x - c | < r}$ والتي تتطابق مع متسلسلة القوى المعطاة على هذه المجموعة. ويكون العدد r أقصى بالمعنى التالي: يوجد دائمًا عدد مركب $x$ يحقق $| x - c | = r$ بحيث لا يمكن تعريف أي امتداد تحليلي للمتسلسلة عند $x$ .

يمكن تحديد متسلسلة القوى للدالة العكسية لدالة تحليلية باستخدام نظرية لاغرانج العكسية .

السلوك بالقرب من الحدود

مجموع متسلسلة قوى ذات نصف قطر تقارب موجب هو دالة تحليلية عند كل نقطة داخل قرص التقارب. مع ذلك، قد يختلف السلوك عند النقاط الواقعة على حدود هذا القرص. على سبيل المثال:

التباعد بينما يمتد المجموع إلى دالة تحليلية : ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ نصف قطر التقارب يساوي $1$ ويختلف عند كل نقطة من $|z|=1$ ومع ذلك، فإن المجموع في $|z|<1$ يكون ${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$ ، وهي دالة تحليلية عند كل نقطة من المستوى باستثناء $z=1$ .
متقاربة في بعض النقاط، متباعدة في نقاط أخرى : ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$ له نصف قطر تقارب $1$ يتقارب من أجل $z=-1$ بينما يختلف الأمر بالنسبة $z=1$ .
التقارب المطلق عند كل نقطة من الحدود : ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ له نصف قطر تقارب $1$ بينما يتقارب بشكل مطلق ومتساوٍ عند كل نقطة من $|z|=1$ بسبب اختبار فايرشتراس إم المطبق على سلسلة التقارب التوافقي الفائق ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ .
متقاربة على إغلاق قرص التقارب ولكنها ليست مجموعًا متصلًا : قدم سيربينسكي مثالًا ^{[ 3 ]} لمتسلسلة قوى بنصف قطر تقارب $1$ ، متقاربة عند جميع النقاط مع $|z|=1$ لكن المجموع دالة غير محدودة، وبالتحديد غير متصلة. ويُعطى شرط كافٍ للاستمرارية من جانب واحد عند نقطة حدودية بواسطة نظرية أبيل .

توليد السلاسل

من الشائع ربط أي سلسلة من الأرقام $(a_{0},a_{1},\ldots .a_{n},\ldots )$ سلسلة توليدها $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ أو متسلسلتها المولدة الأسية $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}.$

عندما يكون نصف قطر التقارب موجبًا، تُعرّف المتسلسلة دالة تحليلية . تُعدّ المتسلسلات المولدة والدوال التحليلية التي تُعرّفها أداةً فعّالة لدراسة المتسلسلات العددية وسلوكها التقاربي . ويُستخدم هذا، على وجه الخصوص، في التوافقية التحليلية ، حيث تُوظّف كامل قوة التحليل العقدي للحصول على تقديرات دقيقة لعدد البنى التوافقية من نوع مُحدد كدالة لحجمها.

سلسلة القوى الرسمية

في الجبر المجرد ، يُسعى إلى استخلاص جوهر متسلسلات القوى دون التقيد بحقول الأعداد الحقيقية والمركبة، ودون الحاجة إلى الحديث عن التقارب. وهذا يقود إلى مفهوم متسلسلات القوى الشكلية ، وهو مفهوم ذو فائدة كبيرة في التوافقية الجبرية .

متسلسلات القوى في عدة متغيرات

يُعد توسيع النظرية ضروريًا لأغراض حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات . تُعرَّف متسلسلة القوى هنا بأنها متسلسلة لانهائية على الشكل التالي: $f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},$ حيث $j = (j1,$ $\dots$ $,$ $jn$ $)$ هو متجه من الأعداد الطبيعية، والمعاملات $a (j1, \dots, jn)$ عادةً ما تكون أعدادًا حقيقية أو مركبة، والمركز $c = (c1$ $, \dots$ $,$ $cn$ $)$ والمتغير $x = ($ $x1$ $,$ $\dots$ $,$ $xn$ $)$ عادةً ما يكونان متجهين حقيقيين أو $مركبين$ $.$ $\Pi$ يرمز إلى رمز الضرب، الذي يدل على عملية الضرب. ويمكن كتابة ذلك باستخدام الترميز متعدد المؤشرات الأكثر ملاءمة. $f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(x-c)^{\alpha }.$ أين $\mathbb {N}$ هي مجموعة الأعداد الطبيعية ، وهكذا $\mathbb {N} ^{n}$ هي مجموعة من n - tuples المرتبة من الأعداد الطبيعية.

تُعدّ نظرية هذه المتسلسلات أكثر تعقيدًا من نظرية المتسلسلات ذات المتغير الواحد، إذ تتميز بمناطق تقارب أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، متسلسلة القوى ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ متقاربة تمامًا في المجموعة $\{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}$ بين قطعين زائدين. (هذا مثال على مجموعة محدبة لوغاريتميًا ، بمعنى أن مجموعة النقاط $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$ ، أين $(x_{1},x_{2})$ تقع في المنطقة المذكورة أعلاه، وهي مجموعة محدبة. وبشكل أعم، يمكن إثبات أنه عندما c=0، فإن باطن منطقة التقارب المطلق يكون دائمًا مجموعة محدبة لوغاريتميًا بهذا المعنى. من ناحية أخرى، في باطن منطقة التقارب هذه، يمكن الاشتقاق والتكامل تحت إشارة المتسلسلة، تمامًا كما هو الحال مع متسلسلات القوى العادية. ^{[ 4 ]}

رتبة متسلسلة القوى

ليكن $α$ مؤشرًا متعددًا لمتسلسلة قوى $f (x1, x2, \dots,$ xn $)$ $.$ $تُعرَّف$ $رتبة$ متسلسلة القوى f بأنها أصغر قيمة $.$ $r$ بحيث يوجد α _≠ 0 مع $r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ ، أو $\infty$ إذا كانت f ≡ 0. على وجه الخصوص، بالنسبة لمتسلسلة قوى f ( x ) في متغير واحد x ، فإن رتبة f هي أصغر قوة لـ x بمعامل غير صفري. يمكن تعميم هذا التعريف بسهولة على متسلسلات لوران .

ملحوظات

↑ هوارد ليفي (1967). كثيرات الحدود، ومتسلسلات القوى، وحساب التفاضل والتكامل . فان نوستراند. ص 24.
↑ إروين كريزيج، الرياضيات الهندسية المتقدمة، الطبعة الثامنة، صفحة 747
^ واكلاف سيربينسكي (1916). "Sur une série Pottielle qui, étant convergente en tout point de son cercle de convergence,presente sur ce cercle une fonction continue. (بالفرنسية)" . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 41 . طريق باليرمو: 187-190 . دوى : 10.1007 / BF03018294 . جي اف ام 46.1466.03 . S2CID 121218640 .
↑ بيكنباخ، إي إف (1948). "الدوال المحدبة" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 54 (5): 439-460 . doi : 10.1090/S0002-9904-1948-08994-7 .

مراجع

سولومينتسيف، إي دي (2001) [1994]، "متسلسلات القوى" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "متسلسلات القوى الرسمية" . عالم الرياضيات .
وايسشتاين، إريك دبليو. "متسلسلات القوى" . عالم الرياضيات .
قوى الأعداد المركبة بقلم مايكل شرايبر، مشروع عروض وولفرام التوضيحية .

[1] هوارد ليفي (1967). كثيرات الحدود، ومتسلسلات القوى، وحساب التفاضل والتكامل . فان نوستراند. ص 24.

[2] إروين كريزيج، الرياضيات الهندسية المتقدمة، الطبعة الثامنة، صفحة 747

[3] واكلاف سيربينسكي (1916). "Sur une série Pottielle qui, étant convergente en tout point de son cercle de convergence,presente sur ce cercle une fonction continue. (بالفرنسية)" . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 41 . طريق باليرمو: 187-190 . دوى : 10.1007 / BF03018294 . جي اف ام 46.1466.03 . S2CID 121218640 .

[4] بيكنباخ، إي إف (1948). "الدوال المحدبة" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 54 (5): 439-460 . doi : 10.1090/S0002-9904-1948-08994-7 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗