صيغة ميسون للربح

صيغة مكسب ماسون (MGF) هي طريقة لإيجاد دالة نقل الرسم البياني لتدفق الإشارة الخطي (SFG). تم استنباط الصيغة بواسطة صامويل جيفيرسون ماسون ، ^[1] الذي سميت باسمه. MGF هي طريقة بديلة لإيجاد دالة النقل جبريًا عن طريق تسمية كل إشارة، وكتابة المعادلة الخاصة بكيفية اعتماد هذه الإشارة على إشارات أخرى، ثم حل المعادلات المتعددة لإشارة الإخراج من حيث إشارة الإدخال. توفر MGF طريقة خطوة بخطوة للحصول على دالة النقل من SFG. غالبًا ما يمكن تحديد MGF عن طريق فحص SFG. يمكن للطريقة التعامل بسهولة مع SFGs مع العديد من المتغيرات والحلقات بما في ذلك الحلقات ذات الحلقات الداخلية. تظهر MGF غالبًا في سياق أنظمة التحكم ودوائر الميكروويف والمرشحات الرقمية لأنها غالبًا ما يتم تمثيلها بواسطة SFGs.

صيغة الربح هي كما يلي:

${\displaystyle G={\frac {y_{\text{out}}}{y_{\text{in}}}}={\frac {\sum _{k=1}^{N}{G_{k}\Delta _{k}}}{\Delta \ }}}$

${\displaystyle \Delta =1-\sum L_{i}+\sum L_{i}L_{j}-\sum L_{i}L_{j}L_{k}+\cdots +(-1)^{m}\sum \cdots +\cdots }$

أين:

• Δ = محدد الرسم البياني.
• y _in = متغير عقدة الإدخال
• y _out = متغير عقدة الإخراج
• G = مكسب كامل بين y _الداخل و y _الخارج
• N = العدد الإجمالي للمسارات الأمامية بين y _الداخل و y _الخارج
• G _k = مكسب المسار للمسار الأمامي رقم k بين y _الداخل و y _الخارج
• L _i = مكسب الحلقة لكل حلقة مغلقة في النظام
• L _i L _j = حاصل ضرب مكاسب الحلقة لأي حلقتين غير متلامستين (لا يوجد عقد مشتركة)
• L _i L _j L _k = حاصل ضرب مكاسب الحلقة لأي ثلاث حلقات غير متلامسة في أزواج
• Δ _k = قيمة العامل المساعد لـ Δ لمسار ^التقدم k ، مع إزالة الحلقات التي تلامس مسار ^التقدم k .

• المسار: مجموعة متواصلة من الفروع الممتدة في الاتجاه الذي تشير إليه.
• المسار الأمامي: هو المسار من عقدة إدخال إلى عقدة إخراج حيث لا يتم لمس أي عقدة أكثر من مرة.
• الحلقة: مسار يبدأ وينتهي عند نفس العقدة حيث لا يتم لمس أي عقدة أكثر من مرة.
• مكسب المسار: هو حاصل جمع مكاسب جميع الفروع في المسار.
• مكسب الحلقة: هو حاصل جمع مكاسب جميع الفروع في الحلقة.

1. قم بإعداد قائمة بجميع المسارات الأمامية، ومكاسبها، وقم بتسميتها G _k .
2. اصنع قائمة بجميع الحلقات ومكاسبها، وسمها L _i (لـ i حلقات). اصنع قائمة بجميع أزواج الحلقات غير المتلامسة، وحاصل مكاسبها ( L _i L _j ). اصنع قائمة بجميع الحلقات غير المتلامسة التي تم أخذها في أزواج ثلاث مرات في المرة ( L _i L _j L _k )، ثم أربع مرات في المرة، وهكذا، حتى لا يتبقى المزيد.
3. احسب المحدد Δ والعوامل المساعدة Δ _k .
4. تطبيق الصيغة.

إن وظيفة النقل من V _in إلى V ₂ مطلوبة.

لا يوجد سوى طريق واحد للأمام:

• V _في إلى V ₁ إلى I ₂ إلى V ₂ مع المكسب${\displaystyle G_{1}=-y_{21}R_{L}\,}$

هناك ثلاث حلقات:

• V ₁ إلى I ₁ إلى V ₁ مع مكسب ${\displaystyle L_{1}=-R_{\text{في}}y_{11}\,}$
• V ₂ إلى I ₂ إلى V ₂ مع مكسب ${\displaystyle L_{2}=-R_{L}y_{22}\,}$
• V ₁ إلى I ₂ إلى V ₂ إلى I ₁ إلى V ₁ مع مكسب ${\displaystyle L_{3}=y_{21}R_{L}y_{12}R_{\text{in}}\,}$

${\displaystyle \Delta =1-(L_{1}+L_{2}+L_{3})+(L_{1}L_{2})\,}$ ملحوظة: لا تلمس L ₁ و L ₂ بعضهما البعض بينما تلمس L ₃ كلتا الحلقتين الأخريين.

${\displaystyle \Delta _{1}=1\,}$ ملحوظة: المسار الأمامي يلمس جميع الحلقات، لذا كل ما تبقى هو 1 .

${\displaystyle G={\frac {G_{1}\Delta _{1}}{\Delta }}={\frac {-y_{21}R_{L}}{1+R_{\text{in}}y_{11}+R_{L}y_{22}-y_{21}R_{L}y_{12}R_{\text{in}}+R_{\text{in}}y_{11}R_{L}y_{22}}}\,}$

غالبًا ما يتم رسم المرشحات الرقمية على هيئة رسوم بيانية لتدفق الإشارة.

هناك حلقتين

• ${\displaystyle L_{1}=-a_{1}Z^{-1}\,}$
• ${\displaystyle L_{2}=-a_{2}Z^{-2}\,}$

${\displaystyle \دلتا =1-(L_{1}+L_{2})\,}$لاحظ أن الحلقتين تتلامسان لذا لا يوجد مصطلح لحاصلهما.

هناك ثلاثة مسارات للأمام

• ${\displaystyle G_{0}=b_{0}\,}$
• ${\displaystyle G_{1}=b_{1}Z^{-1}\,}$
• ${\displaystyle G_{2}=b_{2}Z^{-2}\,}$

كل المسارات الأمامية تلامس كل الحلقات لذا${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1\,}$

${\displaystyle G={\frac {G_{0}\دلتا _{0}+G_{1}\دلتا _{1}+G_{2}\دلتا _{2}}{\دلتا }}\,}$

${\displaystyle G={\frac {b_{0}+b_{1}Z^{-1}+b_{2}Z^{-2}}{1+a_{1}Z^{-1}+ أ_{2}Z^{-2}}}\,}$

يحتوي الرسم البياني لتدفق الإشارة على ست حلقات وهي:

• ${\displaystyle L_{0}=-{\frac {\beta }{sM}}\,}$

• ${\displaystyle L_{1}={\frac {-(R_{M}+R_{S})}{sL_{M}}}\,}$

• ${\displaystyle L_{2}=\,{\frac {-G_{M}K_{M}}{s^{2}L_{M}M}}}$

• ${\displaystyle L_{3}={\frac {-K_{C}R_{S}}{sL_{M}}}\,}$

• ${\displaystyle L_{4}={\frac {-K_{V}K_{C}K_{M}G_{T}}{s^{2}L_{M}M}}\,}$

• ${\displaystyle L_{5}={\frac {-K_{P}K_{V}K_{C}K_{M}}{s^{3}L_{M}M}}\,}$

${\displaystyle \Delta =1-(L_{0}+L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}+L_{5})+(L_{0}L_{1}+ L_{0}L_{3})\,}$

هناك طريق واحد للأمام:

• ${\displaystyle g_{0}={\frac {K_{P}K_{V}K_{C}K_{M}}{s^{3}L_{M}M}}\,}$

يلمس المسار الأمامي جميع الحلقات وبالتالي العامل المساعد${\displaystyle \دلتا _{0}=1}$

والمكسب من المدخلات إلى المخرجات هو${\displaystyle {\frac {\theta _{L}}{\theta _{C}}}={\frac {g_{0}\Delta _{0}}{\Delta }}\,}$

يمكن صياغة قاعدة ماسون في شكل مصفوفة بسيطة. افترض أن المصفوفة العابرة للرسم البياني هي مجموع نفاذية الفروع من العقدة m نحو العقدة n . عندئذٍ، يكون المكسب من العقدة m إلى العقدة n للرسم البياني مساويًا لـ ، حيث ${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle t_{nm}=\left[\mathbf {T} \right]_{nm}}$${\displaystyle u_{nm}=\left[\mathbf {U} \right]_{nm}}$

${\displaystyle \mathbf {U} =\left(\mathbf {I} -\mathbf {T} \right)^{-1}}$,

وهي مصفوفة الهوية. ${\displaystyle \mathbf {I} }$

تعتبر قاعدة ماسون مفيدة بشكل خاص لاستنتاج دالة نقل المجال z للشبكات المنفصلة التي تحتوي على حلقات تغذية مرتدة داخلية مدمجة داخل حلقات تغذية مرتدة خارجية (حلقات متداخلة). إذا كان من الممكن رسم الشبكة المنفصلة كرسم بياني لتدفق الإشارة، فإن تطبيق قاعدة ماسون سيعطي دالة نقل المجال z H(z) لتلك الشبكة.

يمكن لقاعدة ميسون أن تنمو بشكل عاملي، لأن تعداد المسارات في الرسم البياني الموجه ينمو بشكل كبير. ولرؤية ذلك، ضع في اعتبارك الرسم البياني الموجه الكامل على الرؤوس، مع وجود حافة بين كل زوج من الرؤوس. يوجد شكل مسار لكل من تبديلات الرؤوس الوسيطة. وبالتالي فإن الإزالة الغاوسية أكثر كفاءة في الحالة العامة. ${\displaystyle n}$${\displaystyle y_{\text{in}}}$${\displaystyle y_{\text{out}}}$${\displaystyle (n-2)!}$

ومع ذلك، فإن قاعدة ماسون تميز وظائف النقل للأنظمة المترابطة بطريقة جبرية وتركيبية في نفس الوقت، مما يسمح بعبارات عامة وحسابات أخرى في نظرية الأنظمة الجبرية. وبينما تحدث العديد من المعكوسات أثناء الإزالة الغاوسية، فإن قاعدة ماسون تجمعها بشكل طبيعي في شبه معكوس واحد . الشكل العام هو

${\displaystyle {\frac {p}{1-q}},}$

حيث كما هو موضح أعلاه، هو مجموع حاصل ضرب الدورة، كل منها يقع عادةً في مثالية (على سبيل المثال، العوامل السببية البحتة). تشكل الكسور من هذا الشكل حلقة فرعية لحقل الدالة الكسرية . تنتقل هذه الملاحظة إلى الحالة غير التبادلية، ^[3] على الرغم من أنه يجب استبدال قاعدة ماسون نفسها بقاعدة ريجل . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle R(1+\langle L_{i}\rangle )^{-1}}$

• الرسم البياني لتدفق الإشارة
• قاعدة ريجلي

• بولتون، دبليو نيونس (1998). كتاب هندسة التحكم الجيبية . أكسفورد: نيونس.
• فان فالكينبورج، مين (1974). تحليل الشبكة (الطبعة الثالثة). إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول.