المربع السحري الأكثر كمالاً

المربع السحري الأكثر كمالاً من الرتبة n هو مربع سحري يحتوي على الأرقام من 1 إلى ^n² مع خاصيتين إضافيتين:

1. كل مربع فرعي 2 × 2 مجموعه يساوي 2 s ، حيث s = n ² + 1 .
2. جميع أزواج الأعداد الصحيحة التي تبعد عن بعضها البعض بمقدار n /2 على طول القطر الرئيسي مجموعها يساوي s .

يوجد 384 تركيبة من هذا القبيل.

يمكن الحصول على مربعين سحريين مثاليين بحجم 12 × 12 عن طريق إضافة 1 إلى كل عنصر من عناصر:

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [1,] 64 92 81 94 48 77 67 63 50 61 83 78 [2,] 31 99 14 97 47 114 28 128 45 130 12 113 [3,] 24 132 41 134 8 117 27 103 10 101 43 118 [4,] 23 107 6 105 39 122 20 136 37 138 4 121 [5,] 16 140 33 142 0 125 19 111 2 109 35 126 [6,] 75 55 58 53 91 70 72 84 89 86 56 69 [7,] 76 80 93 82 60 65 79 51 62 49 95 66 [8,] 115 15 98 13 131 30 112 44 129 46 96 29 [9,] 116 40 133 42 100 25 119 11 102 9 135 26 [10,] 123 7 106 5 139 22 120 36 137 38 104 21 [11,] 124 32 141 34 108 17 127 3 110 1 143 18 [12,] 71 59 54 57 87 74 68 88 85 90 52 73

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [1,] 4 113 14 131 3 121 31 138 21 120 32 130 [2,] 136 33 126 15 137 25 109 8 119 26 108 16 [3,] 73 44 83 62 72 52 100 69 90 51 101 61 [4,] 64 105 54 87 65 97 37 80 47 98 36 88 [5,] 1 116 11 134 0 124 28 141 18 123 29 133 [6,] 103 66 93 48 104 58 76 41 86 59 75 49 [7,] 112 5 122 23 111 13 139 30 129 12 140 22 [8,] 34 135 24 117 35 127 7 110 17 128 6 118 [9,] 43 74 53 92 42 82 70 99 60 81 71 91 [10,] 106 63 96 45 107 55 79 38 89 56 78 46 [11,] 115 2 125 20 114 10 142 27 132 9 143 19 [12,] 67 102 57 84 68 94 40 77 50 95 39 85

جميع المربعات السحرية الأكثر كمالاً هي مربعات سحرية شاملة .

باستثناء الحالة البسيطة للمربع من الرتبة الأولى، فإن جميع المربعات السحرية الأكثر كمالًا هي من الرتبة 4n . في كتابهما، تقدم كاثلين أوليرينشو وديفيد إس. بري طريقةً لإنشاء وحصر جميع المربعات السحرية الأكثر كمالًا. كما يوضحان وجود تطابق تام بين المربعات القابلة للعكس والمربعات السحرية الأكثر كمالًا.

بالنسبة لـ n  =  36، هناك حوالي 2.7  ×  10 ⁴⁴ مربعًا سحريًا مثاليًا مختلفًا بشكل أساسي .

• كاثلين أوليرينشو، ديفيد إس. بري: المربعات السحرية القطرية الكاملة: بناؤها وحصرها ، ساوثيند أون سي  : معهد الرياضيات وتطبيقاتها، 1998، 186 صفحة، ISBN 0-905091-06-X
• تي في بادماكومار، نظرية الأعداد والمربعات السحرية ، دار سورا للنشر، مؤرشف في 25 فبراير 2010 على موقع Wayback Machine ، الهند، 2008، 128 صفحة، رقم ISBN 978-81-8449-321-4

• المربعات السحرية القوية من تأليف تي في بادماكومار
• OEIS : A051235  عدد المربعات السحرية القطرية الكاملة الأكثر اختلافًا جوهريًا من الرتبة 4n من الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة