نظرية التشتت متعددة الموشورات

قدّم إسحاق نيوتن أول وصف لمصفوفات الموشورات المتعددة، وتشتت الموشورات المتعددة، في كتابه "البصريات" ، كما قدّم الموشورات كموسعات للشعاع. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} وقدّم ديفيد بريستر موسعات أزواج الموشورات عام 1813. ^{[ 4 ]} وقدّم ماكس بورن وإميل وولف وصفًا رياضيًا حديثًا لتشتت الموشور الواحد عام 1959. ^{[ 5 ]} وقدّم إف جيه دوارتي وبايبر ^{[ 6 ] [ 7 ]} نظرية تشتت الموشورات المتعددة المعممة عام 1982.

تم تقديم الوصف الرياضي المعمم لتشتت الموشورات المتعددة، كدالة لزاوية السقوط، وهندسة الموشور، ومعامل انكسار الموشور ، وعدد الموشورات، كأداة تصميم لمذبذبات ليزر محززة متعددة الموشورات بواسطة دوارتي وبايبر، ^{[ 6 ] [ 7 ]} وهو معطاة بواسطة

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{2,m}}{\partial \lambda }}=H_{2,m}{\frac {\partial n_{m}}{\partial \lambda }}+(k_{1,m}k_{2,m})^{-1}{\bigg (}H_{1,m}{\frac {\partial n_{m}}{\partial \lambda }}\pm \ {\frac {\partial \phi _{2,(m-1)}}{\partial \lambda }}{\bigg )}}$$

والتي يمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي

$${\displaystyle \nabla _{\lambda }\phi _{2,m}=H_{2,m}\nabla _{\lambda }n_{m}+(k_{1,m}k_{2,m})^{-1}{\bigg (}H_{1,m}\nabla _{\lambda }n_{m}\pm \nabla _{\lambda }\phi _{2,(m-1)}{\bigg )}}$$

استخدام

$${\displaystyle \nabla _{\lambda }={\frac {\partial }{\partial \lambda }}}$$

أيضًا،

$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1,m}={\frac {\cos \psi _{1,m}}{\cos \phi _{1,m}}}&\qquad k_{2,m}={\frac {\cos \phi _{2,m}}{\cos \psi _{2,m}}}\\[8pt]H_{1,m}={\frac {\tan \phi _{1,m}}{n_{m}}}&\qquad H_{2,m}={\frac {\tan \phi _{2,m}}{n_{m}}}\end{aligned}}}$$

هنا،${\displaystyle \phi _{1,m}}$هي زاوية السقوط عند المنشور رقم m ، و${\displaystyle \psi _{1,m}}$زاوية الانكسار المقابلة لها. وبالمثل،${\displaystyle \phi _{2,m}}$هي زاوية الخروج و${\displaystyle \psi _{2,m}}$زاوية الانكسار المقابلة. تُعطي المعادلتان الرئيسيتان التشتت من الدرجة الأولى لمصفوفة من m موشور عند سطح خروج الموشور رقم m . تشير علامة الجمع في الحد الثاني بين قوسين إلى تكوين تشتتي موجب، بينما تشير علامة الطرح إلى تكوين تعويضي. ^{[ 6 ] [ 7 ]} عوامل k هي امتدادات الحزمة المقابلة، وعوامل H هي كميات هندسية إضافية. كما يُلاحظ أن تشتت الموشور رقم m يعتمد على تشتت الموشور السابق ( m – 1) .

يمكن استخدام هذه المعادلات أيضًا لتحديد التشتت الزاوي في مصفوفات الموشورات، كما هو موضح في كتاب إسحاق نيوتن " البصريات "، وكما هو مستخدم في أجهزة القياس التشتتي مثل مطيافات الموشورات المتعددة. ويقدم دوارتي مراجعة شاملة حول موسعات الحزم الضوئية العملية متعددة الموشورات ونظرية التشتت الزاوي متعددة الموشورات، بما في ذلك معادلات صريحة وجاهزة للتطبيق (بأسلوب هندسي). ^{[ 9 ]}

في الآونة الأخيرة، تم توسيع نظرية التشتت المعممة متعددة الموشورات لتشمل الانكسار الموجب والسالب . ^{[ 10 ]} كما تم اشتقاق مشتقات الطور من الرتب العليا باستخدام منهج نيوتني تكراري. ^{[ 11 ]} يُمكّن هذا التوسع في النظرية من حساب المشتقة العليا من الرتبة N عبر إطار رياضي أنيق. تشمل التطبيقات تحسينات إضافية في تصميم ضواغط نبضات الموشورات والبصريات غير الخطية .

تشتت المنشور الأحادي

بالنسبة لمنشور معمّم واحد ( m = 1 )، فإن معادلة التشتت المعممة متعددة المنشورات تتبسط إلى ^{[ 5 ] [ 12 ]}

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{2,1}}{\partial \lambda }}={\frac {\sin \psi _{2,1}}{\cos \phi _{2,1}}}{\frac {\partial n_{1}}{\partial \lambda }}+{\frac {\cos \psi _{2,1}}{\cos \phi _{2,1}}}\tan \psi _{1,1}{\frac {\partial n_{1}}{\partial \lambda }}}$$

إذا كان الموشور المفرد موشورًا قائم الزاوية، وكان الشعاع يخرج عموديًا على سطح الخرج، أي${\displaystyle \phi _{2,m}}$وبما أن هذه المعادلة تساوي صفرًا، فإنها تختزل إلى ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{2,1}}{\partial \lambda }}=\tan \psi _{1,1}{\frac {\partial n_{1}}{\partial \lambda }}}$$

كان أول تطبيق لهذه النظرية هو تقييم عرض خط الليزر في مذبذبات الليزر ذات محززات الموشورات المتعددة. ^{[ 6 ]} يلعب التشتت الزاوي الكلي داخل التجويف دورًا مهمًا في تضييق عرض خط الليزر القابل للضبط النبضي من خلال المعادلة ^{[ 6 ] [ 9 ].}

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left({\partial \Theta \over \partial \lambda }\right)^{-1}}$

أين${\displaystyle \Delta \theta }$يمثل تباعد الشعاع ، بينما يمثل التشتت الزاوي الكلي داخل التجويف الكمية الموجودة بين قوسين (مرفوعة إلى -1). على الرغم من أن أصلها كلاسيكي، فقد تبين في عام 1992 أنه يمكن اشتقاق معادلة عرض خط تجويف الليزر هذه من مبادئ الكم التداخلية . ^{[ 13 ]}

في الحالة الخاصة لانعدام التشتت من موسع الحزمة متعدد الموشورات، يتم إعطاء عرض خط الليزر أحادي المرور بواسطة ^{[ 9 ] [ 12 ]}

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left(M{\partial \theta \over \partial \lambda }\right)^{-1}}$

حيث M هو تكبير الشعاع الذي يوفره موسع الشعاع والذي يضاعف التشتت الزاوي الذي توفره محززات الحيود. عمليًا، يمكن أن تصل قيمة M إلى 100-200. ^{[ 9 ] [ 12 ]}

عندما لا يساوي تشتت موسع الموشور المتعدد الصفر، فإن عرض الخط أحادي المرور يُعطى بواسطة ^{[ 6 ] [ 9 ]}

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left(M{\partial \theta \over \partial \lambda }+{\partial \phi _{2,m} \over \partial \lambda }\right)^{-1}}$

حيث يشير التفاضل الأول إلى التشتت الزاوي الناتج عن المحزز، ويشير التفاضل الثاني إلى التشتت الكلي الناتج عن موسع الحزمة متعدد الموشورات (المذكور في القسم أعلاه). ^{[ 9 ] [ 12 ]}

في عام 1987، تم توسيع نظرية التشتت الزاوي متعددة الموشورات لتوفير معادلات صريحة من الدرجة الثانية قابلة للتطبيق مباشرة على تصميم ضواغط النبضات الموشورية . ^{[ 14 ]} تنطبق نظرية التشتت المعممة متعددة الموشورات على ما يلي:

• موشورات الأصدقاء ^{[ 15 ] [ 16 ]}
• المجهر الليزري ، ^{[ 17 ] [ 18 ]}
• تصميم ليزر قابل للضبط ذو عرض خط ضيق ، ^{[ 19 ]}
• موسعات الحزمة المنشورية ^{[ 6 ] [ 7 ]}
• ضواغط موشورية لأشعة الليزر النبضية الفيمتوثانية . ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

• موسع الشعاع
• عرض خط الليزر
• مذبذب ليزر متعدد الموشورات

• ضغط النبضات باستخدام الموشور والموشورات المتعددة: دليل تعليمي