الاستقلال المضاعف

في نظرية الأعداد ، يُقال إن عددين صحيحين موجبين a و b مستقلان ضربيًا ^{[ 1 ]} إذا كانت قوتهما الصحيحة المشتركة الوحيدة هي  1. أي، بالنسبة للأعداد الصحيحة n و m ،${\displaystyle a^{n}=b^{m}}$يشير إلى${\displaystyle n=m=0}$يُقال إن عددين صحيحين غير مستقلين ضربياً مرتبطان ضربياً.

على سبيل المثال، العددان 36 و216 مرتبطان ضربياً لأن${\displaystyle 36^{3}=(6^{2})^{3}=(6^{3})^{2}=216^{2}}$، بينما 2 و 3 مستقلان ضربياً.

إن الاستقلال الضربي يسمح ببعض الخصائص الأخرى. يكون المتغيران a و b مستقلين ضربيًا إذا وفقط إذا${\displaystyle \log(a)/\log(b)}$هو عدد غير نسبي. هذه الخاصية صحيحة بغض النظر عن أساس اللوغاريتم .

يترك${\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$و${\displaystyle b=q_{1}^{\beta _{1}}q_{2}^{\beta _{2}}\cdots q_{l}^{\beta _{l}}}$لتكن التمثيلات القانونية لـ a و b . يكون العددان الصحيحان a و b مرتبطين ضربيًا إذا وفقط إذا كان k  = l . ${\displaystyle p_{i}=q_{i}}$و${\displaystyle {\frac {\alpha _{i}}{\beta _{i}}}={\frac {\alpha _{j}}{\beta _{j}}}}$ لكل i و j . 

تُعرّف حسابات بوشي في الأساسين a و b نفس المجموعات إذا وفقط إذا كان a و b مرتبطين ضربيًا.

ليكن a و b عددين صحيحين مرتبطين ضربيًا، أي أنه يوجد عددان n و m أكبر من 1 بحيث${\displaystyle a^{n}=b^{m}}$الأعداد الصحيحة c التي يكون طول تمثيلها في النظام العددي a على الأكثر m هي نفسها الأعداد الصحيحة التي يكون طول تمثيلها في النظام العددي b على الأكثر n . وهذا يعني أنه يمكن حساب تمثيل عدد ما في النظام العددي b ، بمعلومية تمثيله في النظام العددي a ، عن طريق تحويل سلاسل متتالية من m رقمًا في النظام العددي a إلى سلاسل متتالية من n رقمًا في النظام العددي b .

^{[ 2 ]}