الجذر

في نظام العد الموضعي ، يُعرف الأساس ( أو الجذر ) بأنه عدد الأرقام الفريدة ، بما في ذلك الصفر، المستخدمة لتمثيل الأعداد. على سبيل المثال، في الأنظمة العشرية (وهي الأنظمة الأكثر شيوعًا اليوم)، يكون الأساس هو عشرة . 

في أي نظام عد موضعي قياسي، يُكتب العدد عادةً على الصورة ( س ) _ص، حيث س هي سلسلة الأرقام و ص هو أساسها . في النظام العشري، يُفترض عادةً وجود الرقم السفلي ويُحذف (مع الأقواس المحيطة به )، لأنه الطريقة الأكثر شيوعًا للتعبير عن القيمة . على سبيل المثال، (100) ₁₀ يُكافئ 100 (النظام العشري مُضمّن في الأخير) ويمثل العدد مئة، بينما (100) ₂ (في النظام الثنائي ذي الأساس 2) يمثل العدد أربعة. ^{[ 1 ]}

تقوم أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية بمعالجة وتخزين المعلومات بأبسط طريقة، على شكل بتات من الشفرة الثنائية ، والتي أساسها 2.

كلمة Radix هي كلمة لاتينية تعني "الجذر". ويمكن اعتبار الجذر مرادفًا للقاعدة ، بالمعنى الحسابي.

عمومًا، في نظام ذي أساس ^{b (حيث b > 1)، يُمثل سلسلة الأرقام d1 ... dn العدد d1bn−1 + d2bn−} 2 + _... + _dnb0 ، حيث 0 ≤ d1 < b _. [ ¹ ] على _عكس ^النظام العشري ، _أو ذي الأساس ¹⁰ ، الذي _يحتوي ^{على خانة الآحاد} ، وخانة العشرات، وخانة المئات، وهكذا، فإن النظام ذي الأساس b ^{يحتوي على} خانة ^الآحاد ، ثم خانة b1s، ثم خانة ^b2s ، وهكذا . ^[ 2 ^]

على سبيل المثال، إذا كانت b = 12، فإن سلسلة من الأرقام مثل 59A (حيث يمثل الحرف "A" قيمة عشرة) ستمثل القيمة 5 × 12 ² + 9 × 12 ¹ + 10 × 12 ⁰ = 838 في النظام العشري.

تشمل أنظمة الأرقام الشائعة الاستخدام ما يلي:

يُستخدم النظامان الثماني والسداسي عشري بكثرة في الحوسبة لسهولة استخدامهما كاختصار للنظام الثنائي. كل رقم سداسي عشري يُقابله تسلسل من أربعة أرقام ثنائية، لأن 16 هو القوة الرابعة للعدد 2؛ على سبيل المثال، العدد السداسي عشري 78 ₁₆ يُقابله العدد الثنائي 111 1000 _2. وبالمثل، كل رقم ثماني يُقابله تسلسل فريد من ثلاثة أرقام ثنائية، لأن 8 هو مكعب العدد 2.

هذا التمثيل فريد. ليكن b عددًا صحيحًا موجبًا أكبر من 1. عندئذٍ، يمكن التعبير عن كل عدد صحيح موجب a بشكل فريد على الصورة التالية:

${\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}$

حيث m عدد صحيح غير سالب، و r أعداد صحيحة بحيث

0 < r _m < b و 0 ≤ r _i < b لـ i = 0، 1، ...، m − 1. ^{[ 4 ]}

الجذور عادةً ما تكون أعدادًا طبيعية . مع ذلك، توجد أنظمة موضعية أخرى ممكنة، على سبيل المثال، نظام النسبة الذهبية (الذي أساسه عدد جبري غير صحيح )، ^{[ 5 ]} ونظام الأساس السالب (الذي أساسه سالب). ^{[ 6 ]} يسمح نظام الأساس السالب بتمثيل الأعداد السالبة دون استخدام علامة الطرح. على سبيل المثال، إذا كان b = −10، فإن سلسلة من الأرقام مثل 19 تُشير إلى العدد العشري 1 × (−10) ¹ + 9 × (−10) ⁰ = −1.

تُستخدم أنظمة عد مختلفة، خاصةً في مجال الحوسبة. من أنظمة العد الشائعة: 10 ( العشري )، 2 ( الثنائي )، 8 ( الثماني )، و16 ( الست عشري ). يمكن للبايت المكون من 8 بتات أن يُمثل قيمًا من 0 إلى 255، وغالبًا ما تُكتب هذه القيم بأصفار بادئة في النظام ذي الأساس 2 أو 8 أو 16 للحصول على نفس الطول. ^{[ 7 ]}

يمثل الصف الأول في الجداول الأساس المكتوب بالنظام العشري.

• العمليات الحسابية ذات الفاصلة العائمة
• جذر مختلط
• متعدد الحدود
• اقتصاد راديكس
• فرز الجذر
• أنظمة الأرقام الموضعية غير القياسية
• قائمة أنظمة الأرقام

• مكوي، نيل هـ. (1968)، مقدمة في الجبر الحديث، طبعة منقحة ، بوسطن: ألين وبيكون ، رقم مكتبة الكونغرس 68015225 

• مدخل MathWorld على القاعدة