وظيفة التنقل

تشير وظيفة الملاحة عادةً إلى وظيفة الموقع والسرعة والتسارع والزمن، والتي تُستخدم لتخطيط مسارات الروبوت عبر البيئة. وبشكل عام، يهدف نظام الملاحة إلى إنشاء مسارات آمنة وممكنة تتجنب العوائق، مع تمكين الروبوت من الانتقال من وضع البداية إلى وضع الهدف.

تعتمد دوال الجهد على افتراض معرفة البيئة أو مساحة العمل. تُخصص للعوائق قيمة جهد عالية، بينما تُخصص لموقع الهدف قيمة جهد منخفضة. وللوصول إلى موقع الهدف، يحتاج الروبوت فقط إلى اتباع التدرج السالب للسطح.

يمكننا صياغة هذا المفهوم رياضياً على النحو التالي: ليكن${\displaystyle X}$ليكن فضاء الحالة لجميع التكوينات الممكنة للروبوت.${\displaystyle X_{g}\subset X}$تشير إلى منطقة الهدف في فضاء الحالة.

ثم دالة كامنة${\displaystyle \phi (x)}$تُسمى دالة الملاحة (الممكنة) إذا ^{[ 1 ]}

1. ${\displaystyle \phi (x)=0\ \forall x\in X_{g}}$
2. ${\displaystyle \phi (x)=\infty }$إذا وفقط إذا لم يكن هناك جدوى من${\displaystyle {X_{g}}}$يمكن الوصول إليه من${\displaystyle x}$.
3. لكل حالة يمكن الوصول إليها،${\displaystyle x\in X\setminus {X_{g}}}$يقوم المشغل المحلي بإنتاج حالة${\displaystyle x'}$والتي${\displaystyle \phi (x')<\phi (x)}$.

تُعدّ دالة الملاحة الاحتمالية امتدادًا لدالة الملاحة الكلاسيكية في سيناريوهات عشوائية ثابتة. تُعرَّف هذه الدالة باحتمالية الاصطدام المسموح بها، مما يحدّ من المخاطر أثناء الحركة. يُستبدل مجموع مينكوفسكي المستخدم في التعريف الكلاسيكي بعملية التفاف بين الأشكال الهندسية ودوال كثافة الاحتمال للمواقع. يُشار إلى موقع الهدف بـ${\displaystyle x_{d}}$، يتم تعريف وظيفة الملاحة الاحتمالية على النحو التالي: ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\varphi }(x)={\frac {\gamma _{d}(x)}{{\left[{\gamma _{d}^{K}(x)+\beta \left(x\right)}\right]}^{\frac {1}{K}}}}}$ أين${\displaystyle K}$هو ثابت محدد مسبقًا كما هو الحال في وظيفة الملاحة الكلاسيكية، مما يضمن طبيعة مورس للوظيفة.${\displaystyle \gamma _{d}(x)}$هي المسافة إلى الموقع المستهدف${\displaystyle {||x-{x_{d}}|{|^{2}}}}$، و${\displaystyle \beta \left(x\right)}$يأخذ في الاعتبار جميع العوائق، والتي تُعرَّف على النحو التالي: ${\displaystyle \beta \left(x\right)=\prod \limits _{i=0}^{N_{o}}{{\beta _{i}}\left(x\right)}}$ أين${\displaystyle \beta _{i}(x)}$يعتمد ذلك على احتمالية حدوث تصادم في الموقع${\displaystyle x}$إن احتمال حدوث تصادم محدود بقيمة محددة مسبقًا${\displaystyle \Delta }$، معنى: ${\displaystyle \beta _{i}(x)=\Delta -p^{i}\left(x\right)}$ و، ${\displaystyle \beta _{0}(x)=-\Delta +p^{0}\left(x\right)}$

أين${\displaystyle p^{i}(x)}$هي احتمالية الاصطدام بالعائق رقم i. خريطة${\displaystyle \varphi }$يُقال إنها دالة ملاحة احتمالية إذا استوفت الشروط التالية:

1. إنها وظيفة ملاحة.
2. إن احتمال حدوث تصادم محدود باحتمال محدد مسبقًا${\displaystyle \Delta }$.

في حين أنه يكفي في بعض التطبيقات وجود دالة ملاحة قابلة للتطبيق، فإنه في كثير من الحالات يكون من المرغوب فيه وجود دالة ملاحة مثالية بالنسبة لدالة تكلفة معينة.${\displaystyle J}$. عند صياغتها كمسألة تحكم أمثل ، يمكننا كتابة

${\displaystyle {\text{minimize }}J(x_{1:T},u_{1:T})=\int \limits _{T}L(x_{t},u_{t},t)dt}$

${\displaystyle {\text{subject to }}{\dot {x_{t}}}=f(x_{t},u_{t})}$

وبذلك${\displaystyle x}$هي الدولة،${\displaystyle u}$هو عنصر التحكم الذي يجب تطبيقه،${\displaystyle L}$هو تكلفة في حالة معينة${\displaystyle x}$إذا طبقنا عنصر تحكم${\displaystyle u}$، و${\displaystyle f}$ينمذج ديناميكيات الانتقال للنظام.

بتطبيق مبدأ بيلمان للأمثلية، تُعرَّف دالة التكلفة المثلى للذهاب على النحو التالي:

${\displaystyle \displaystyle \phi (x_{t})=\min _{u_{t}\in U(x_{t})}{\Big \{}L(x_{t},u_{t})+\phi (f(x_{t},u_{t})){\Big \}}}$

بالإضافة إلى البديهيات المحددة أعلاه، يمكننا تعريف دالة الملاحة المثلى على النحو التالي:

1. ${\displaystyle \phi (x)=0\ \forall x\in X_{g}}$
2. ${\displaystyle \phi (x)=\infty }$إذا وفقط إذا لم يكن هناك جدوى من${\displaystyle {X_{G}}}$يمكن الوصول إليه من${\displaystyle x}$.
3. لكل حالة يمكن الوصول إليها،${\displaystyle x\in X\setminus {X_{G}}}$يقوم المشغل المحلي بإنتاج حالة${\displaystyle x'}$والتي${\displaystyle \phi (x')<\phi (x)}$.
4. ${\displaystyle \displaystyle \phi (x_{t})=\min _{u_{t}\in U(x_{t})}{\Big \{}L(x_{t},u_{t})+\phi (f(x_{t},u_{t})){\Big \}}}$

حتى وإن كانت وظيفة الملاحة مثالاً على التحكم التفاعلي، فإنه يمكن استخدامها أيضاً في مسائل التحكم الأمثل التي تشمل قدرات التخطيط. ^{[ 3 ]}

إذا افترضنا أن ديناميكيات انتقال النظام أو دالة التكلفة تخضع للضوضاء، فسنحصل على مسألة تحكم أمثل عشوائي بتكلفة${\displaystyle J(x_{t},u_{t})}$والديناميكيات${\displaystyle f}$في مجال التعلم المعزز، يتم استبدال التكلفة بدالة مكافأة .${\displaystyle R(x_{t},u_{t})}$والديناميكيات من خلال احتمالات الانتقال${\displaystyle P(x_{t+1}|x_{t},u_{t})}$.

• نظرية التحكم
• التحكم الأمثل
• التحكم في الروبوت
• تخطيط الحركة
• التعلم المعزز

مصادر

• لافال، ستيفن م. (2006)، خوارزميات التخطيط (  الطبعة الأولى)، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-86205-9
• لوموند، جان بول (1998)، تخطيط حركة الروبوت والتحكم بها (الطبعة الأولى  )، سبرينغر، رقم ISBN 3-540-76219-1

• NFsim : مجموعة أدوات MATLAB لتخطيط الحركة باستخدام وظائف الملاحة.