طرق نيومان-نيومان

في الرياضيات، تُعرف طرق نيومان-نيومان بأنها مُهيئات لتجزئة المجال ، وقد سُميت بهذا الاسم لأنها تحل مسألة نيومان على كل مجال فرعي على جانبي الحد الفاصل بين المجالات الفرعية. ^{[ 1 ]} وكما هو الحال في جميع طرق تجزئة المجال، ولضمان عدم تزايد عدد التكرارات مع ازدياد عدد المجالات الفرعية، تتطلب طرق نيومان-نيومان حل مسألة تقريبية لتوفير اتصال شامل. وتُعد تجزئة المجال المتوازنة إحدى طرق نيومان-نيومان التي تستخدم نوعًا خاصًا من المسائل التقريبية.

وبشكل أكثر تحديدًا، لنفترض مجالًا Ω ، نرغب في حل معادلة بواسون عليه

$${\displaystyle -\Delta u=f,\qquad u|_{\partial \Omega }=0}$$

لبعض الدوال f . قسّم المجال إلى مجالين فرعيين غير متداخلين Ω1 و Ω2 بحدود مشتركة Γ _، ولتكن u1 و u2 قيم u في كل _{مجال فرعي. عند الحد الفاصل بين المجالين الفرعيين ،} يجب أن يحقق الحلان شروط التطابق _.

$${\displaystyle u_{1}=u_{2},\qquad \partial _{n_{1}}u_{1}=\partial _{n_{2}}u_{2}}$$

أين${\textstyle n_{i}}$يمثل متجه الوحدة العمودي على Γ في كل نطاق فرعي.

تتمثل إحدى الطرق التكرارية ذات التكرارات k = 0، 1، ... لتقريب كل u _i (حيث i = 1، 2 ) التي تحقق شروط المطابقة في حل مسائل ديريشليه أولاً.

$$\begin{aligned}-&\Delta u_{i}^{(k)}=f_{i}~~{\text{in}}~~\Omega _{i},\\[1.3ex]&\left.u_{i}^{(k)}\right|_{\partial \Omega }=0,\quad \left.u_{i}^{(k)}\right|_{\Gamma }=\lambda ^{(k)}\end{aligned}}}$$

بالنسبة لدالة ما λ ^{( k )} على Γ ، حيث λ ⁽⁰⁾ هي أي تخمين أولي غير مكلف. ثم نحل مسألتي نيومان

$$\begin{aligned}-&\Delta \psi _{i}^{(k)}=0~~{\text{in}}~\Omega _{i},\\[1.3ex]&\left.\psi _{i}^{(k)}\right|_{\partial \Omega }=0,\quad \left.\partial _{n_{i}}\psi _{i}^{(k)}\right|_{\Gamma }=\omega \left(\partial _{n_{1}}u_{1}^{(k)}+\partial _{n_{2}}u_{2}^{(k)}\right).\end{aligned}}}$$

ثم نحصل على التكرار التالي عن طريق التعيين

$${\displaystyle \lambda ^{(k+1)}=\lambda ^{(k)}-\omega \left(\theta _{1}\psi _{1}^{(k)}+\theta _{2}\psi _{2}^{(k)}\right)~~{\text{on}}~\Gamma }$$

لبعض المعلمات ω , θ ₁ و θ ₂ .

يمكن اعتبار هذا الإجراء بمثابة تكرار ريتشاردسون للحل التكراري للمعادلات الناشئة عن طريقة مكمل شور . ^{[ 2 ]}

يمكن تقسيم هذه العملية التكرارية المستمرة إلى عناصر منفصلة باستخدام طريقة العناصر المحدودة ، ثم حلها - بالتوازي - على الحاسوب. يُعدّ التوسع ليشمل المزيد من المجالات الفرعية أمرًا بسيطًا، ولكن استخدام هذه الطريقة كما هي مُحددة كمعالجة مسبقة لنظام مكمل شور لا يتناسب مع عدد المجالات الفرعية؛ ومن هنا تأتي الحاجة إلى حل تقريبي شامل.

• طريقة نيومان-ديريشلي