طريقة العناصر المحدودة

المعادلات التفاضلية
نِطَاق
الحقول العلوم الطبيعية هندسة علم الفلك الفيزياء كيمياء علم الأحياء الجيولوجيا الرياضيات التطبيقية ميكانيكا المتصل نظرية الفوضى الأنظمة الديناميكية العلوم الاجتماعية الاقتصاد ديناميكيات السكان قائمة المعادلات التفاضلية المسماة
تصنيف
أنواع عادي جزئي التفاضلية الجبرية التكامل التفاضلي كسري خطي غير خطي حسب نوع المتغير المتغيرات التابعة والمستقلة مستقل مقترن / غير مقترن بالضبط متجانس  / غير متجانس سمات طلب المشغل تدوين
العلاقة مع العمليات الفرق (التناظرية المنفصلة) عشوائي التحليل الجزئي العشوائي تأخير
حل
الوجود والتفرد نظرية بيكارد-ليندلوف نظرية وجود بيانو نظرية الوجود لكاراثيودوري نظرية كوشي-كواليفسكي
المواضيع العامة الظروف الأولية قيم الحدود ديريتشليت نيومان روبن مشكلة كوشي ورونسكيان صورة المرحلة ليابونوف  / الاستقرار المقارب  / الأسي معدل التقارب  الحلول المتسلسلة / المتكاملة التكامل العددي دالة دلتا ديراك
طرق الحل تقتيش طريقة الخصائص أويلر صيغة الاستجابة الأسية الفرق المحدود  ( كرانك-نيكلسون ) عنصر محدود عنصر لانهائي حجم محدود جاليركين بتروف-جاليركين وظيفة جرين عامل التكامل التحويلات التكاملية نظرية الاضطراب رونجي-كوتا فصل المتغيرات معاملات غير محددة تباين المعلمات
الناس
قائمة إسحاق نيوتن جوتفريد لايبنتز جاكوب برنولي ليونارد أويلر جوزيف لويس لاجرانج Józef Maria Hoene-Wroński Joseph Fourier Augustin-Louis Cauchy George Green Carl David Tolmé Runge Martin Kutta Rudolf Lipschitz Ernst Lindelöf Émile Picard Phyllis Nicolson John Crank
v t e

طريقة العناصر المحدودة ( FEM ) هي طريقة شائعة لحل المعادلات التفاضلية عدديًا والتي تنشأ في الهندسة والنمذجة الرياضية . تشمل مجالات الاهتمام النموذجية للمشاكل المجالات التقليدية للتحليل البنيوي ، ونقل الحرارة ، وتدفق السوائل ، ونقل الكتلة، والإمكانات الكهرومغناطيسية . تُستخدم أجهزة الكمبيوتر عادةً لإجراء الحسابات المطلوبة. باستخدام أجهزة الكمبيوتر الفائقة السرعة ، يمكن تحقيق حلول أفضل، وغالبًا ما تكون مطلوبة لحل أكبر المشكلات وأكثرها تعقيدًا.

FEM هي طريقة عددية عامة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية في متغيرين أو ثلاثة متغيرات فضائية (أي بعض مشاكل القيمة الحدية ). هناك أيضًا دراسات حول استخدام FEM لحل المشكلات عالية الأبعاد. ^[1] لحل مشكلة ما، تقسم FEM نظامًا كبيرًا إلى أجزاء أصغر وأبسط تسمى العناصر المحدودة . يتم تحقيق ذلك من خلال تقسيم فضائي معين في أبعاد الفضاء، والذي يتم تنفيذه من خلال إنشاء شبكة من الكائن: المجال العددي للحل، والذي يحتوي على عدد محدود من النقاط. تؤدي صياغة طريقة العناصر المحدودة لمشكلة القيمة الحدية في النهاية إلى نظام من المعادلات الجبرية . تقرب الطريقة الدالة غير المعروفة على المجال. ^[2] يتم بعد ذلك تجميع المعادلات البسيطة التي تحاكي هذه العناصر المحدودة في نظام أكبر من المعادلات التي تحاكي المشكلة بأكملها. ثم تقرب FEM الحل عن طريق تقليل دالة الخطأ المرتبطة عبر حساب المتغيرات .

غالبًا ما يشار إلى دراسة أو تحليل ظاهرة باستخدام FEM باسم تحليل العناصر المحدودة ( FEA ).

إن تقسيم المجال بأكمله إلى أجزاء أبسط له العديد من المزايا: ^[3]

• تمثيل دقيق للهندسة المعقدة
• إدراج خصائص المواد المختلفة
• تمثيل سهل للحل الإجمالي
• التقاط التأثيرات المحلية.

يتضمن العمل النموذجي لهذه الطريقة ما يلي:

1. تقسيم مجال المشكلة إلى مجموعة من المجالات الفرعية، حيث يتم تمثيل كل مجال فرعي بمجموعة من معادلات العناصر للمشكلة الأصلية
2. إعادة الجمع بشكل منهجي لجميع مجموعات معادلات العناصر في نظام عالمي من المعادلات للحساب النهائي.

يحتوي النظام العالمي للمعادلات على تقنيات حل معروفة ويمكن حسابه من القيم الأولية للمشكلة الأصلية للحصول على إجابة عددية.

في الخطوة الأولى أعلاه، معادلات العناصر هي معادلات بسيطة تقرب محليًا المعادلات المعقدة الأصلية المراد دراستها، حيث تكون المعادلات الأصلية غالبًا معادلات تفاضلية جزئية (PDE). لشرح التقريب في هذه العملية، يتم تقديم طريقة العناصر المحدودة عادةً كحالة خاصة لطريقة جاليركين . العملية، باللغة الرياضية، هي إنشاء تكامل للناتج الداخلي للباقي ووظائف الوزن وتعيين التكامل إلى الصفر. بعبارات بسيطة، إنها إجراء يقلل من خطأ التقريب عن طريق ملاءمة وظائف التجربة في PDE. المتبقي هو الخطأ الناجم عن وظائف التجربة، ووظائف الوزن هي وظائف تقريب متعددة الحدود التي تتوقع المتبقي. تزيل العملية جميع المشتقات المكانية من PDE، وبالتالي تقريب PDE محليًا مع

• مجموعة من المعادلات الجبرية لمشاكل الحالة المستقرة ،
• مجموعة من المعادلات التفاضلية العادية للمشاكل العابرة .

هذه المجموعات من المعادلات هي معادلات عنصرية. وهي خطية إذا كان المعادلة التفاضلية الجزئية الأساسية خطية والعكس صحيح. يتم حل مجموعات المعادلات الجبرية التي تنشأ في مسائل الحالة المستقرة باستخدام طرق الجبر الخطي العددي . على النقيض من ذلك، يتم حل مجموعات المعادلات التفاضلية العادية التي تنشأ في المسائل العابرة عن طريق التكامل العددي باستخدام تقنيات قياسية مثل طريقة أويلر أو طريقة رونج-كوتا .

في الخطوة (2) أعلاه، يتم إنشاء نظام عالمي من المعادلات من معادلات العناصر عن طريق تحويل الإحداثيات من العقد المحلية للمجالات الفرعية إلى العقد العالمية للمجال. يتضمن هذا التحويل المكاني تعديلات التوجيه المناسبة كما يتم تطبيقها فيما يتعلق بنظام إحداثيات المرجع . غالبًا ما يتم تنفيذ العملية بواسطة برنامج FEM باستخدام بيانات الإحداثيات الناتجة عن المجالات الفرعية.

يُعرف التطبيق العملي لـ FEM باسم تحليل العناصر المحدودة (FEA). FEA كما يتم تطبيقه في الهندسة ، هو أداة حسابية لإجراء التحليل الهندسي . ويشمل استخدام تقنيات إنشاء الشبكة لتقسيم مشكلة معقدة إلى عناصر صغيرة، بالإضافة إلى استخدام برنامج مشفر بخوارزمية FEM. في تطبيق FEA، تكون المشكلة المعقدة عادةً نظامًا فيزيائيًا مع الفيزياء الأساسية مثل معادلة شعاع أويلر-بيرنولي ، أو معادلة الحرارة ، أو معادلات نافير-ستوكس المعبر عنها إما في معادلات تفاضلية جزئية أو معادلات تكاملية ، بينما تمثل العناصر الصغيرة المقسمة للمشكلة المعقدة مناطق مختلفة في النظام الفيزيائي.

يمكن استخدام تحليل العناصر المحدودة لتحليل المشكلات على المجالات المعقدة (مثل السيارات وخطوط أنابيب النفط) عندما يتغير المجال (كما هو الحال أثناء تفاعل الحالة الصلبة مع حدود متحركة)، أو عندما تختلف الدقة المطلوبة على المجال بأكمله، أو عندما يفتقر الحل إلى السلاسة. توفر عمليات محاكاة تحليل العناصر المحدودة موردًا قيمًا لأنها تزيل حالات متعددة من إنشاء واختبار النماذج الأولية المعقدة لمواقف عالية الدقة المختلفة. ^{[ بحاجة لمصدر ]} على سبيل المثال، في محاكاة الاصطدام الأمامي، من الممكن زيادة دقة التنبؤ في المناطق "المهمة" مثل مقدمة السيارة وتقليلها في مؤخرتها (وبالتالي تقليل تكلفة المحاكاة). سيكون مثال آخر في التنبؤ العددي بالطقس ، حيث يكون من المهم الحصول على تنبؤات دقيقة بشأن تطوير الظواهر غير الخطية للغاية (مثل الأعاصير المدارية في الغلاف الجوي، أو الدوامات في المحيط) بدلاً من المناطق الهادئة نسبيًا.

يمكن العثور على عرض واضح ومفصل وعملي لهذا النهج في الكتاب المدرسي "طريقة العناصر المحدودة للمهندسين" . ^[4]

في حين أنه من الصعب ذكر تاريخ اختراع طريقة العناصر المحدودة، إلا أن الطريقة نشأت من الحاجة إلى حل مشاكل المرونة المعقدة والتحليل الهيكلي في الهندسة المدنية والجوية . ^[5] يمكن إرجاع تطويرها إلى عمل ألكسندر هرينكوف ^[6] وريتشارد كورانت ^[7] في أوائل الأربعينيات. وكان رائد آخر هو يوانيس أرجيريس . في الاتحاد السوفيتي، عادة ما يرتبط تقديم التطبيق العملي للطريقة باسم ليونارد أوجانيسيان. ^[8] كما أعيد اكتشافها بشكل مستقل في الصين بواسطة فينج كانج في أواخر الخمسينيات وأوائل الستينيات، بناءً على حسابات بناء السدود، حيث أطلق عليها طريقة الفرق المحدود القائمة على مبدأ التباين . على الرغم من أن الأساليب المستخدمة من قبل هؤلاء الرواد مختلفة، إلا أنها تشترك في سمة أساسية واحدة: تقسيم الشبكة لمجال مستمر إلى مجموعة من المجالات الفرعية المنفصلة، ​​والتي تسمى عادةً عناصر.

يقوم عمل هرينكوف بتقسيم المجال باستخدام تشبيه شبكي ، بينما يقسم نهج كورانت المجال إلى مناطق فرعية مثلثية محدودة لحل معادلات التفاضل الجزئي الإهليلجية من الدرجة الثانية والتي تنشأ من مشكلة الالتواء في الأسطوانة . كانت مساهمة كورانت تطورية، حيث استندت إلى مجموعة كبيرة من النتائج السابقة للمعادلات التفاضلية الجزئية التي طورها اللورد رايلي ووالتر ريتز وبوريس جاليركين .

اكتسبت طريقة العناصر المحدودة زخمها الحقيقي في الستينيات والسبعينيات من القرن الماضي من خلال تطورات JH Argyris مع زملائه في جامعة شتوتغارت ، و RW Clough مع زملائه في جامعة كاليفورنيا بيركلي ، وOC Zienkiewicz مع زملائه Ernest Hinton و Bruce Irons ^[9] وآخرين في جامعة سوانسي ، و Philippe G. Ciarlet في جامعة باريس 6 و Richard Gallagher مع زملائه في جامعة كورنيل . تم توفير المزيد من الزخم في هذه السنوات من خلال برامج العناصر المحدودة مفتوحة المصدر المتاحة. رعت وكالة ناسا النسخة الأصلية من NASTRAN . جعلت جامعة كاليفورنيا بيركلي برامج العناصر المحدودة SAP IV ^[10] و OpenSees اللاحقة متاحة على نطاق واسع. في النرويج، طورت جمعية تصنيف السفن Det Norske Veritas (الآن DNV GL ) Sesam في عام 1969 لاستخدامها في تحليل السفن. ^[11] تم توفير أساس رياضي صارم لطريقة العناصر المحدودة في عام 1973 مع النشر الذي أجراه جيلبرت سترانج وجورج فيكس . ^[12] ومنذ ذلك الحين تم تعميم الطريقة للنمذجة العددية للأنظمة الفيزيائية في مجموعة واسعة من التخصصات الهندسية ، على سبيل المثال، الكهرومغناطيسية ، ونقل الحرارة ، وديناميكيات السوائل . ^{[13] [14]}

تتميز طريقة العناصر المحدودة بصيغة متغيرة ، واستراتيجية تقدير، وخوارزمية حل واحدة أو أكثر، وإجراءات ما بعد المعالجة.

ومن أمثلة الصياغة المتغيرة طريقة جاليركين ، وطريقة جاليركين المتقطعة، والطرق المختلطة، وما إلى ذلك.

يُفهم من استراتيجية التقسيم أنها تعني مجموعة محددة بوضوح من الإجراءات التي تغطي (أ) إنشاء شبكات العناصر المحدودة، (ب) تعريف دالة الأساس على العناصر المرجعية (وتسمى أيضًا وظائف الشكل)، و(ج) تعيين العناصر المرجعية على عناصر الشبكة. ومن أمثلة استراتيجيات التقسيم إصدار h، وإصدار p ، وإصدار hp ، و x-FEM ، والتحليل الهندسي المتساوي ، وما إلى ذلك. ولكل استراتيجية تقسيم مزايا وعيوب معينة. والمعيار المعقول في اختيار استراتيجية التقسيم هو تحقيق أداء مثالي تقريبًا لأوسع مجموعة من النماذج الرياضية في فئة نموذج معينة.

يمكن تصنيف خوارزميات الحلول العددية المختلفة إلى فئتين عريضتين؛ الحلول المباشرة والحلول التكرارية. تم تصميم هذه الخوارزميات لاستغلال ندرة المصفوفات التي تعتمد على اختيارات صياغة التباين واستراتيجية التقطيع.

تم تصميم إجراءات ما بعد المعالجة لاستخراج البيانات ذات الأهمية من حل العناصر المحدودة. لتلبية متطلبات التحقق من الحل، تحتاج معالجات ما بعد المعالجة إلى توفير تقدير خطأ لاحق من حيث الكميات ذات الأهمية. عندما تكون أخطاء التقريب أكبر مما يعتبر مقبولاً، فيجب تغيير التقدير إما من خلال عملية تكيفية آلية أو من خلال عمل المحلل. توفر بعض معالجات ما بعد المعالجة الفعالة للغاية تحقيق التقارب الفائق .

المشكلتان التاليتان توضحان طريقة العناصر المحدودة.

P1 هي مشكلة أحادية البعد حيث يتم إعطاء، وهي دالة غير معروفة لـ ، وهي المشتقة الثانية لـ بالنسبة إلى . $${\displaystyle {\text{ P1 }}:{\begin{cases}u''(x)=f(x){\text{ in }}(0,1),\\u(0)=u(1)=0,\end{cases}}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u''}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$

P2 هي مشكلة ثنائية الأبعاد ( مشكلة ديريتشليت ) $${\displaystyle {\text{P2 }}:{\begin{cases}u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=f(x,y)&{\text{ in }}\Omega ,\\u=0&{\text{ on }}\partial \Omega ,\end{cases}}}$$

حيث هي منطقة مفتوحة متصلة في المستوى تكون حدودها لطيفة (على سبيل المثال، متعدد الشعب السلس أو مضلع )، و و تشير إلى المشتقات الثانية بالنسبة إلى و ، على التوالي. ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle u_{xx}}$${\displaystyle u_{yy}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

يمكن حل المشكلة P1 مباشرةً عن طريق حساب المشتقات العكسية . ومع ذلك، فإن هذه الطريقة لحل مشكلة القيمة الحدية (BVP) لا تعمل إلا عندما يكون هناك بُعد مكاني واحد. ولا يمكن تعميمها على المشكلات ذات الأبعاد الأعلى أو المشكلات مثل . ولهذا السبب، سنطور طريقة العناصر المحدودة لـ P1 ونوضح تعميمها على P2. ${\displaystyle u+V''=f}$

سوف يتم شرحنا في خطوتين، تعكسان خطوتين أساسيتين يجب على المرء اتخاذهما لحل مشكلة القيمة الحدية (BVP) باستخدام FEM.

• في الخطوة الأولى، يتم إعادة صياغة BVP الأصلي في شكله الضعيف. وعادةً ما يتطلب هذا الإجراء القليل من الحسابات أو لا يتطلب أي حسابات على الإطلاق. ويتم التحويل يدويًا على الورق.
• الخطوة الثانية هي التقطيع، حيث يتم تقطيع الشكل الضعيف في فضاء محدود الأبعاد.

بعد هذه الخطوة الثانية، لدينا صيغ ملموسة لمشكلة خطية كبيرة ولكنها محدودة الأبعاد، حيث سيحل حلها تقريبًا BVP الأصلية. ثم يتم تنفيذ هذه المشكلة المحدودة الأبعاد على جهاز كمبيوتر .

الخطوة الأولى هي تحويل P1 و P2 إلى صيغهما الضعيفة المكافئة .

إذا تم حل P1، فعندئذٍ لأي دالة سلسة تلبي شروط حدود الإزاحة، أي عند و ، لدينا ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)v(x)\,dx=\int _{0}^{1}u''(x)v(x)\,dx.}$$

( 1 )

وعلى العكس من ذلك، إذا كان مع يفي بـ (1) لكل دالة سلسة ، فيمكن للمرء أن يثبت أن هذا سيحل P1. يكون الإثبات أسهل بالنسبة للقابلية للاشتقاق المستمر مرتين ( نظرية القيمة المتوسطة ) ولكن يمكن إثباته بمعنى توزيعي أيضًا. ${\displaystyle u}$${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

نقوم بتعريف عامل أو خريطة جديدة باستخدام التكامل بالأجزاء على الجانب الأيمن من (1): ${\displaystyle \phi (u,v)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,dx&=\int _{0}^{1}u''(x)v(x)\,dx\\&=u'(x)v(x)|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,dx\\&=-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,dx\equiv -\phi (u,v),\end{aligned}}}$

( 2 )

حيث استخدمنا الافتراض بأن . ${\displaystyle v(0)=v(1)=0}$

إذا قمنا بالتكامل بالأجزاء باستخدام أحد أشكال هويات جرين ، فسنرى أنه إذا تم حل P2، فيمكننا تحديد أي بواسطة ${\displaystyle u}$${\displaystyle \phi (u,v)}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle \int _{\Omega }fv\,ds=-\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,ds\equiv -\phi (u,v),}$$

حيث يشير إلى التدرج ويشير إلى حاصل الضرب النقطي في المستوى ثنائي الأبعاد. مرة أخرى يمكن تحويله إلى حاصل ضرب داخلي في فضاء مناسب لوظائف قابلة للاشتقاق من التي تكون صفرًا على . لقد افترضنا أيضًا أن (انظر فضاءات سوبوليف ). يمكن أيضًا إظهار وجود الحل وفرادته. ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle \,\!\phi }$${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega )}$

يمكننا أن نفكر بشكل فضفاض في أن تكون الدوال المستمرة تمامًا لـ التي تكون عند و (انظر فضاءات سوبوليف ). تكون مثل هذه الدوال قابلة للاشتقاق (بشكل ضعيف)، واتضح أن الخريطة الخطية الثنائية المتماثلة تحدد بعد ذلك حاصل ضرب داخلي يتحول إلى فضاء هيلبرت (الإثبات التفصيلي غير تافه). من ناحية أخرى، فإن الجانب الأيسر هو أيضًا حاصل ضرب داخلي، هذه المرة في فضاء Lp . يُظهر تطبيق نظرية تمثيل ريز لمساحات هيلبرت أن هناك حلًا فريدًا (2) وبالتالي، P1. هذا الحل هو قبليًا فقط عضو في ، ولكن باستخدام الانتظام الإهليلجي ، سيكون سلسًا إذا كان. ${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \!\,\phi }$${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)v(x)dx}$ ${\displaystyle L^{2}(0,1)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$${\displaystyle f}$

إن P1 وP2 جاهزان للتقسيم، مما يؤدي إلى مشكلة فرعية مشتركة (3). والفكرة الأساسية هي استبدال المشكلة الخطية اللانهائية الأبعاد:

أوجد مثل هذا${\displaystyle u\in H_{0}^{1}}$

${\displaystyle \forall v\in H_{0}^{1},\;-\phi (u,v)=\int fv}$

مع إصدار محدود الأبعاد:

أوجد مثل هذا${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle \forall v\in V,\;-\phi (u,v)=\int fv}$

( 3 )

حيث هي فضاء جزئي محدود الأبعاد لـ . هناك العديد من الخيارات الممكنة لـ (يؤدي أحد الاحتمالات إلى الطريقة الطيفية ). ومع ذلك، فإننا نأخذ كمساحة للوظائف الحدودية المتقطعة لطريقة العناصر المحدودة. ${\displaystyle V}$${\displaystyle H_{0}^{1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

نأخذ الفاصل ونختار قيم مع ونحددها بواسطة: ${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}<x_{n+1}=1}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle V=\{v:[0,1]\to \mathbb {R} \;:v{\text{ is continuous, }}v|_{[x_{k},x_{k+1}]}{\text{ is linear for }}k=0,\dots ,n{\text{, and }}v(0)=v(1)=0\}}$$

حيث نحدد و . لاحظ أن الدوال في ليست قابلة للاشتقاق وفقًا للتعريف الأولي لحساب التفاضل والتكامل. في الواقع، إذا كان المشتق لا يتم تعريفه عادةً عند أي ، . ومع ذلك، فإن المشتق موجود عند كل قيمة أخرى لـ ، ويمكن للمرء استخدام هذه المشتقة للتكامل بالأجزاء . ${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{n+1}=1}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle x=x_{k}}$${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$${\displaystyle x}$

نحتاج إلى أن نكون مجموعة من الدوال لـ . في الشكل الموجود على اليمين، قمنا بتوضيح مثلث لمنطقة مضلعة ذات 15 ضلعًا في المستوى (أدناه)، ودالة خطية متقطعة (أعلاه، بالألوان) لهذا المضلع والتي تكون خطية على كل مثلث من المثلثات؛ ستتكون المساحة من دوال خطية على كل مثلث من المثلثات المختارة. ${\displaystyle V}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle V}$

نأمل أنه مع ازدياد دقة الشبكة المثلثية الأساسية، فإن حل المشكلة المنفصلة (3) سوف يتقارب، بمعنى ما، مع حل مشكلة القيمة الحدية الأصلية P2. لقياس دقة الشبكة هذه، يتم فهرسة التثليث بواسطة معلمة ذات قيمة حقيقية والتي نعتبرها صغيرة جدًا. ستكون هذه المعلمة مرتبطة بأكبر حجم مثلث أو متوسطه في التثليث. مع تحسين التثليث، يجب أن تتغير مساحة الدوال الخطية المتقطعة أيضًا مع . لهذا السبب، غالبًا ما نقرأ بدلاً من في الأدبيات. نظرًا لأننا لا نجري مثل هذا التحليل، فلن نستخدم هذا الترميز. ${\displaystyle h>0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle h}$${\displaystyle V_{h}}$${\displaystyle V}$

لإكمال عملية التقسيم، يجب علينا اختيار أساس . في الحالة أحادية البعد، لكل نقطة تحكم سنختار الدالة الخطية المتقطعة التي تكون قيمتها عند وصفرًا عند كل ، أي، ${\displaystyle V}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{j},\;j\neq k}$$${\displaystyle v_{k}(x)={\begin{cases}{x-x_{k-1} \over x_{k}\,-x_{k-1}}&{\text{ if }}x\in [x_{k-1},x_{k}],\\{x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_{k}}&{\text{ if }}x\in [x_{k},x_{k+1}],\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}}$$

بالنسبة لـ ؛ هذا الأساس عبارة عن دالة خيمة مُزاحة ومُقاسة . بالنسبة للحالة ثنائية الأبعاد، نختار مرة أخرى دالة أساس واحدة لكل رأس من رؤوس مثلثات المنطقة المستوية . الدالة هي الدالة الوحيدة التي تكون قيمتها عند وصفرًا عند كل . ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{j},\;j\neq k}$

اعتمادًا على المؤلف، تشير كلمة "عنصر" في "طريقة العناصر المحدودة" إلى مثلثات المجال، أو دالة الأساس الخطية المتقطعة، أو كليهما. على سبيل المثال، قد يستبدل المؤلف المهتم بالمجالات المنحنية المثلثات ببدائل منحنية وبالتالي قد يصف العناصر بأنها منحنية الخطوط. من ناحية أخرى، يستبدل بعض المؤلفين "خطي متقطع" بـ "تربيعي متقطع" أو حتى "متعدد حدود متقطع". قد يقول المؤلف بعد ذلك "عنصر من الدرجة الأعلى" بدلاً من "متعدد حدود من الدرجة الأعلى". لا تقتصر طريقة العناصر المحدودة على المثلثات (رباعي السطوح في ثلاثي الأبعاد أو مجسمات بسيطة من الدرجة الأعلى في فضاءات متعددة الأبعاد). ومع ذلك، يمكن تعريفها على المجالات الفرعية الرباعية (سداسي السطوح، أو المنشورات، أو الأهرامات في ثلاثي الأبعاد، وما إلى ذلك). يمكن تعريف الأشكال ذات الدرجة الأعلى (العناصر المنحنية) بأشكال متعددة الحدود وحتى غير متعددة الحدود (مثل القطع الناقص أو الدائرة).

أمثلة على الطرق التي تستخدم وظائف أساس متعددة الحدود ذات درجة أعلى هي hp-FEM و spectral FEM .

تستخدم التطبيقات الأكثر تقدمًا (طرق العناصر المحدودة التكيفية) طريقة لتقييم جودة النتائج (بناءً على نظرية تقدير الخطأ) وتعديل الشبكة أثناء الحل بهدف تحقيق حل تقريبي ضمن حدود معينة من الحل الدقيق لمشكلة الاستمرارية. قد تستخدم تكيف الشبكة تقنيات مختلفة؛ والأكثر شيوعًا هي:

• العقد المتحركة (التكيف r)
• العناصر المكررة (وغير المكررة) (التكيف مع h)
• تغيير ترتيب الدوال الأساسية (التكيف p)
• مجموعات من العناصر المذكورة أعلاه ( القدرة على التكيف مع hp ).

الميزة الأساسية لهذا الاختيار للأساس هي أن المنتجات الداخلية و ستكون صفرًا لجميع . (المصفوفة التي تحتوي على الموقع تُعرف باسم مصفوفة جراميان .) في الحالة أحادية البعد، يكون دعم هو الفاصل . وبالتالي، فإن المتكاملات لـ و تكون صفرًا متطابقة كلما . $${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle =\int _{0}^{1}v_{j}v_{k}\,dx}$$$${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})=\int _{0}^{1}v_{j}'v_{k}'\,dx}$$${\displaystyle j,k}$${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$${\displaystyle (j,k)}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle [x_{k-1},x_{k+1}]}$${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})}$${\displaystyle |j-k|>1}$

وبالمثل، في الحالة المستوية، إذا لم يشتركا في حافة المثلث، فإن التكاملات و كلاهما يساوي صفرًا. ${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle x_{k}}$$${\displaystyle \int _{\Omega }v_{j}v_{k}\,ds}$$$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla v_{j}\cdot \nabla v_{k}\,ds}$$

إذا كتبنا ثم تصبح المشكلة (3)، مع الأخذ في الاعتبار أن ،${\displaystyle u(x)=\sum _{k=1}^{n}u_{k}v_{k}(x)}$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)}$${\displaystyle v(x)=v_{j}(x)}$${\displaystyle j=1,\dots ,n}$

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{n}u_{k}\phi (v_{k},v_{j})=\sum _{k=1}^{n}f_{k}\int v_{k}v_{j}dx}$ل${\displaystyle j=1,\dots ,n.}$

( 4 )

إذا أشرنا بـ و إلى متجهات العمود و ، وإذا تركنا و تكون مصفوفات تكون مدخلاتها هي و، فيمكننا إعادة صياغة (4) على النحو التالي ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{n})^{t}}$${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}}$$${\displaystyle L=(L_{ij})}$$$${\displaystyle M=(M_{ij})}$$$${\displaystyle L_{ij}=\phi (v_{i},v_{j})}$$$${\displaystyle M_{ij}=\int v_{i}v_{j}dx}$$

$${\displaystyle -L\mathbf {u} =M\mathbf {f} .}$$

( 5 )

ليس من الضروري أن نفترض . بالنسبة للدالة العامة ، تصبح المشكلة (3) مع for أبسط في الواقع، حيث لا يتم استخدام مصفوفة، ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle v(x)=v_{j}(x)}$${\displaystyle j=1,\dots ,n}$${\displaystyle M}$

$${\displaystyle -L\mathbf {u} =\mathbf {b} ,}$$

( 6 )

أين و ل . ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},\dots ,b_{n})^{t}}$${\displaystyle b_{j}=\int fv_{j}dx}$${\displaystyle j=1,\dots ,n}$

كما ناقشنا من قبل، فإن معظم مدخلات و تساوي صفرًا لأن الدوال الأساسية لها دعم صغير. لذا يتعين علينا الآن حل نظام خطي في المجهول حيث تكون معظم مدخلات المصفوفة ، التي نحتاج إلى عكسها، تساوي صفرًا. ${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle L}$

تُعرف مثل هذه المصفوفات باسم المصفوفات المتفرقة ، وهناك حلول فعّالة لمثل هذه المشكلات (أكثر كفاءة بكثير من عكس المصفوفة فعليًا). بالإضافة إلى ذلك، فهي متماثلة ومحددة بشكل إيجابي، لذا فإن تقنية مثل طريقة التدرج المترافق مفضلة. بالنسبة للمشكلات التي ليست كبيرة جدًا، لا تزال تحليلات LU المتفرقة وتحليلات Cholesky تعمل بشكل جيد. على سبيل المثال، يمكن أن يكون عامل الخط المائل العكسي في MATLAB (الذي يستخدم LU المتفرقة وCholesky المتفرقة وطرق التحليل إلى عوامل أخرى) كافيًا للشبكات ذات مائة ألف رأس. ${\displaystyle L}$

يشار إلى المصفوفة عادة باسم مصفوفة الصلابة ، في حين يطلق على المصفوفة اسم مصفوفة الكتلة . ${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$

بشكل عام، تتميز طريقة العناصر المحدودة بالعملية التالية.

• يتم اختيار شبكة لـ . في المعالجة السابقة، تتكون الشبكة من مثلثات، ولكن يمكن أيضًا استخدام المربعات أو المضلعات المنحنية.${\displaystyle \Omega }$
• بعد ذلك، يختار المرء الدوال الأساسية. لقد استخدمنا الدوال الأساسية الخطية المتقطعة في مناقشتنا، ولكن من الشائع استخدام الدوال الأساسية متعددة الحدود المتقطعة.

هناك اعتبار منفصل يتعلق بسلاسة الدوال الأساسية. بالنسبة لمسائل قيمة الحدود الإهليلجية من الدرجة الثانية ، فإن دالة الأساس متعددة الحدود التي تكون متصلة فقط تكفي (أي أن المشتقات غير متصلة). بالنسبة لمعادلات التفاضل الجزئية من الدرجة الأعلى، يجب استخدام دوال أساس أكثر سلاسة. على سبيل المثال، بالنسبة لمشكلة من الدرجة الرابعة مثل ، يمكن للمرء استخدام دوال أساس تربيعية متعددة الحدود تكون . ${\displaystyle u_{xxxx}+u_{yyyy}=f}$${\displaystyle C^{1}}$

هناك اعتبار آخر وهو العلاقة بين الفضاء ذي الأبعاد المحدودة ونظيره ذي الأبعاد اللانهائية في الأمثلة أعلاه . طريقة العنصر المطابق هي طريقة يكون فيها الفضاء فضاءً فرعيًا لفضاء العنصر للمشكلة المستمرة. والمثال أعلاه هو إحدى هذه الطرق. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط، نحصل على طريقة عنصر غير مطابق، ومن الأمثلة عليها مساحة الدوال الخطية المتقطعة على الشبكة، والتي تكون متصلة عند كل نقطة منتصف حافة. ​​ونظرًا لأن هذه الدوال غير متصلة بشكل عام على طول الحواف، فإن هذا الفضاء ذي الأبعاد المحدودة ليس فضاءً فرعيًا للفضاء الأصلي . ${\displaystyle V}$${\displaystyle H_{0}^{1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle H_{0}^{1}}$

عادةً، يكون لدى المرء خوارزمية لتقسيم شبكة معينة. إذا كانت الطريقة الأساسية لزيادة الدقة هي تقسيم الشبكة، فلدينا طريقة h ( عادةً ما يكون h هو قطر أكبر عنصر في الشبكة). بهذه الطريقة، إذا أظهر المرء أن الخطأ باستخدام شبكة محدد أعلاه بـ ، لبعض و ، فلدينا طريقة الترتيب p . بموجب فرضيات محددة (على سبيل المثال، إذا كان المجال محدبًا)، فإن طريقة الحدود القطعية من الترتيب سيكون لها خطأ من الترتيب . ${\displaystyle h}$${\displaystyle Ch^{p}}$${\displaystyle C<\infty }$${\displaystyle p>0}$${\displaystyle d}$${\displaystyle p=d+1}$

إذا قمنا بزيادة درجة كثيرات الحدود المستخدمة في دالة الأساس بدلاً من جعل h أصغر، فسنحصل على طريقة p . إذا قمنا بدمج هذين النوعين من التحسين، فسنحصل على طريقة hp ( hp-FEM ). في طريقة hp-FEM، يمكن أن تختلف درجات كثيرات الحدود من عنصر إلى آخر. تسمى الطرق ذات الترتيب العالي ذات p المنتظم الكبير بطرق العناصر المحدودة الطيفية ( SFEM ). لا ينبغي الخلط بينها وبين الطرق الطيفية .

بالنسبة لمعادلات التفاضل الجزئية المتجهة، قد تأخذ الدوال الأساسية قيمًا في . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

تجمع طريقة العناصر التطبيقية أو AEM ميزات كل من طريقة العناصر المحدودة (FEM) وطريقة العناصر المنفصلة (DEM).

قدم يانغ ولوي طريقة العناصر المحدودة المعززة، التي كان هدفها نمذجة الانقطاعات الضعيفة والقوية دون الحاجة إلى درجات مجال إضافية، كما ذكر PuM.

تم تطوير نهج القطع بالعناصر المحدودة في عام 2014. ^[15] ويتلخص النهج في "جعل عملية التقطيع مستقلة قدر الإمكان عن الوصف الهندسي وتقليل تعقيد إنشاء الشبكة، مع الاحتفاظ بدقة ومتانة طريقة العناصر المحدودة القياسية". ^[16]

تستخدم طريقة العناصر المحدودة المعممة (GFEM) مساحات محلية تتكون من وظائف، وليس بالضرورة حدوديات، تعكس المعلومات المتاحة عن الحل غير المعروف وبالتالي تضمن تقريب محلي جيد. ثم يتم استخدام قسم من الوحدة "لربط" هذه المساحات معًا لتشكيل مساحة فرعية تقريبية. وقد تم إثبات فعالية GFEM عند تطبيقها على مشاكل ذات مجالات ذات حدود معقدة، ومشاكل ذات مقاييس دقيقة، ومشاكل ذات طبقات حدودية. ^[17]

طريقة العناصر المحدودة المختلطة هي نوع من طرق العناصر المحدودة التي يتم فيها إدخال متغيرات مستقلة إضافية كمتغيرات عقدية أثناء تقسيم مشكلة المعادلة التفاضلية الجزئية.

يجمع hp-FEM بشكل تكيفي بين العناصر ذات الحجم المتغير h والدرجة الحدودية p لتحقيق معدلات تقارب سريعة وأسية بشكل استثنائي. ^[18]

يجمع hpk-FEM بشكل تكيفي بين العناصر ذات الحجم المتغير h ، والدرجة الحدودية للتقريبات المحلية p ، والقدرة التفاضلية العالمية للتقريبات المحلية ( k -1) لتحقيق أفضل معدلات التقارب.

طريقة العناصر المحدودة الممتدة (XFEM) هي تقنية عددية تعتمد على طريقة العناصر المحدودة المعممة (GFEM) وطريقة تقسيم الوحدة (PUM). وهي توسع طريقة العناصر المحدودة الكلاسيكية من خلال إثراء مساحة الحل لحلول المعادلات التفاضلية ذات الوظائف غير المستمرة. تعمل طرق العناصر المحدودة الممتدة على إثراء مساحة التقريب لإعادة إنتاج الميزة الصعبة المرتبطة بالمشكلة محل الاهتمام بشكل طبيعي: عدم الاستمرارية، والتفرد، وطبقة الحدود، وما إلى ذلك. وقد تبين أنه بالنسبة لبعض المشاكل، فإن تضمين ميزة المشكلة في مساحة التقريب يمكن أن يحسن بشكل كبير معدلات التقارب والدقة. وعلاوة على ذلك، فإن معالجة المشاكل المتعلقة بعدم الاستمرارية باستخدام XFEMs يقمع الحاجة إلى إنشاء شبكة وإعادة إنشاء أسطح عدم الاستمرارية، وبالتالي تخفيف التكاليف الحسابية وأخطاء الإسقاط المرتبطة بطرق العناصر المحدودة التقليدية على حساب تقييد عدم الاستمرارية بحواف الشبكة.

تطبق العديد من أكواد البحث هذه التقنية بدرجات مختلفة:

1. احصل على FEM++
2. إكس فيم++
3. أوبن إكس فيم++

تم تنفيذ XFEM أيضًا في أكواد مثل Altair Radios وASTER وMorfeo وAbaqus. ويتم اعتمادها بشكل متزايد بواسطة برامج العناصر المحدودة التجارية الأخرى، مع توفر عدد قليل من المكونات الإضافية وتنفيذات النواة الفعلية (ANSYS وSAMCEF وOOFELIE وما إلى ذلك).

جاء تقديم طريقة العناصر المحدودة الحدودية المتدرجة (SBFEM) من Song and Wolf (1997). ^[19] كانت طريقة SBFEM واحدة من أكثر المساهمات ربحية في مجال التحليل العددي لمشاكل ميكانيكا الكسر. إنها طريقة شبه تحليلية بدون حلول أساسية تجمع بين مزايا صيغ العناصر المحدودة والإجراءات وتقسيم العناصر الحدودية. ومع ذلك، على عكس طريقة العناصر الحدودية، لا يلزم وجود حل تفاضلي أساسي.

S-FEM، طرق العناصر المحدودة الملساء، هي فئة معينة من خوارزميات المحاكاة العددية لمحاكاة الظواهر الفيزيائية. تم تطويرها من خلال الجمع بين الطرق الخالية من الشبكة وطريقة العناصر المحدودة.

تجمع طرق العناصر الطيفية بين المرونة الهندسية للعناصر المحدودة والدقة الحادة للطرق الطيفية. الطرق الطيفية هي الحل التقريبي للمعادلات الجزئية ذات الشكل الضعيف استنادًا إلى المداخلات اللاغرانجية عالية الترتيب وتستخدم فقط مع قواعد التربيع معينة. ^[20]

تكرار لوبيجناك هو طريقة تكرارية في طرق العناصر المحدودة.

طريقة العناصر المحدودة لقياس اللدونة البلورية (CPFEM) هي أداة رقمية متقدمة طورها فرانز روترز. يمكن اعتبار المعادن مجموعات بلورية تتصرف بتباين الخواص تحت التشوه، مثل الإجهاد غير الطبيعي وتحديد موقع الانفعال. يمكن لطريقة العناصر المحدودة لقياس اللدونة البلورية (CPFEM)، استنادًا إلى معدل الانزلاق (معدل انفعال القص)، حساب الخلع واتجاه البلورة ومعلومات الملمس الأخرى للنظر في تباين الخواص البلورية أثناء الروتين. تم تطبيقها في الدراسة الرقمية لتشوه المواد وخشونة السطح والكسور وما إلى ذلك.

طريقة العناصر الافتراضية (VEM)، التي قدمها بيراو دا فيجا وآخرون (2013) ^[21] كامتداد لطرق الفروق المحدودة المحاكية (MFD)، هي تعميم لطريقة العناصر المحدودة القياسية لهندسة العناصر التعسفية. وهذا يسمح بقبول مضلعات عامة (أو متعددات السطوح في الأبعاد الثلاثية) غير منتظمة للغاية وغير محدبة الشكل. يشتق اسم افتراضي من حقيقة أن معرفة أساس دالة الشكل المحلية ليست مطلوبة، وفي الواقع، لا يتم حسابها صراحةً أبدًا.

بعض أنواع طرق العناصر المحدودة (الطرق المطابقة وغير المطابقة والطرق المختلطة للعناصر المحدودة) هي حالات خاصة لطريقة تقسيم التدرج (GDM). وبالتالي فإن خصائص التقارب لطريقة تقسيم التدرج، والتي تم تأسيسها لسلسلة من المشاكل (المشاكل الإهليلجية الخطية وغير الخطية، والمشاكل الخطية وغير الخطية والمكافئة المتدهورة)، تنطبق أيضًا على هذه الطرق المحددة لتقسيم العناصر المحدودة.

طريقة الفرق المحدودة (FDM) هي طريقة بديلة لتقريب حلول المعادلات التفاضلية الجزئية. الاختلافات بين FEM وFDM هي:

• الميزة الأكثر جاذبية في FEM هي قدرتها على التعامل مع الأشكال الهندسية المعقدة (والحدود) بسهولة نسبية. في حين أن FDM في شكله الأساسي يقتصر على التعامل مع الأشكال المستطيلة والتعديلات البسيطة عليها، فإن التعامل مع الأشكال الهندسية في FEM بسيط من الناحية النظرية. ^{[3] [22]}
• لا يتم استخدام FDM عادةً للأشكال الهندسية غير المنتظمة CAD ولكن في كثير من الأحيان للنماذج المستطيلة أو ذات الشكل الكتلي. ^[23]
• يسمح FEM عمومًا بتكيف شبكي أكثر مرونة من FDM. ^[22]
• الميزة الأكثر جاذبية للفروق المحدودة هي سهولة تنفيذها. ^[22]
• يمكن اعتبار FDM حالة خاصة من نهج FEM بعدة طرق. على سبيل المثال، FEM من الدرجة الأولى مطابق لـ FDM لمعادلة بواسون إذا تم تقسيم المشكلة بواسطة شبكة مستطيلة منتظمة مع تقسيم كل مستطيل إلى مثلثين.
• هناك أسباب تدعو إلى اعتبار الأساس الرياضي لتقريب العناصر المحدودة أكثر صحة، على سبيل المثال، لأن جودة التقريب بين نقاط الشبكة ضعيفة في FDM.
• غالبًا ما تكون جودة التقريب FEM أعلى من جودة تقريب FDM المقابل، ولكن هذا يعتمد بشكل كبير على المشكلة، ويمكن تقديم العديد من الأمثلة على العكس من ذلك.

بشكل عام، تعد طريقة FEM هي الطريقة المفضلة في جميع أنواع التحليل في ميكانيكا الإنشاءات (أي حل التشوهات والإجهادات في الأجسام الصلبة أو ديناميكيات الإنشاءات). وعلى النقيض من ذلك، تميل ديناميكيات الموائع الحسابية (CFD) إلى استخدام FDM أو طرق أخرى مثل طريقة الحجم المحدود (FVM). تتطلب مشاكل ديناميكيات الموائع الحسابية عادةً تقسيم المشكلة إلى عدد كبير من الخلايا/نقاط الشبكة (الملايين وأكثر). وبالتالي فإن تكلفة الحل تفضل التقريب الأبسط والأقل ترتيبًا داخل كل خلية. وينطبق هذا بشكل خاص على مشاكل "التدفق الخارجي"، مثل تدفق الهواء حول السيارة أو الطائرة أو محاكاة الطقس.

هناك طريقة أخرى تستخدم لتقريب الحلول لمعادلة تفاضلية جزئية وهي تحويل فورييه السريع (FFT)، حيث يتم تقريب الحل بواسطة سلسلة فورييه محسوبة باستخدام تحويل فورييه السريع. لتقريب الاستجابة الميكانيكية للمواد تحت الضغط، غالبًا ما يكون تحويل فورييه السريع أسرع بكثير، ^[24] ولكن قد تكون طريقة العناصر المحدودة أكثر دقة. ^[25] أحد الأمثلة على المزايا المتبادلة للطريقتين هو في محاكاة لف صفيحة من الألومنيوم (معدن FCC)، وسحب سلك من التنغستن (معدن BCC). لم يكن لهذه المحاكاة خوارزمية تحديث شكل متطورة لطريقة تحويل فورييه السريع. في كلتا الحالتين، كانت طريقة تحويل فورييه السريع أسرع من طريقة العناصر المحدودة بأكثر من 10 مرات، ولكن في محاكاة سحب الأسلاك، حيث كانت هناك تشوهات كبيرة في الحبوب ، كانت طريقة العناصر المحدودة أكثر دقة. في محاكاة لف الصفيحة، كانت نتائج الطريقتين متشابهة. ^[25] تتمتع FFT بميزة سرعة أكبر في الحالات التي يتم فيها تحديد الشروط الحدودية في إجهاد المواد ، وتفقد بعض كفاءتها في الحالات التي يتم فيها استخدام الإجهاد لتطبيق الشروط الحدودية، حيث تكون هناك حاجة إلى المزيد من التكرارات للطريقة. ^[26]

يمكن أيضًا دمج طرق FE وFFT في طريقة تعتمد على فوكسل (2) لمحاكاة التشوه في المواد، حيث تُستخدم طريقة FE للإجهاد والتشوه على نطاق واسع، وتُستخدم طريقة FFT على نطاق مجهري للتعامل مع تأثيرات النطاق المجهري على الاستجابة الميكانيكية. ^[27] على عكس FEM، فإن أوجه التشابه بين طرق FFT وطرق معالجة الصور تعني أنه يمكن إدخال صورة فعلية للبنية الدقيقة من المجهر إلى المُحلل للحصول على استجابة إجهاد أكثر دقة. إن استخدام صورة حقيقية مع FFT يتجنب تشبيك البنية الدقيقة، وهو أمر مطلوب عند استخدام محاكاة FEM للبنية الدقيقة، وقد يكون صعبًا. نظرًا لأن تقريبات فورييه دورية بطبيعتها، لا يمكن استخدام FFT إلا في حالات البنية الدقيقة الدورية، ولكن هذا شائع في المواد الحقيقية. ^[27] يمكن أيضًا دمج FFT مع طرق FEM باستخدام مكونات فورييه كأساس متغير لتقريب الحقول داخل عنصر، والتي يمكن أن تستفيد من سرعة المُحللات القائمة على FFT. ^[28]

تستخدم التخصصات المختلفة تحت مظلة تخصص الهندسة الميكانيكية (مثل الصناعات الجوية والميكانيكية الحيوية والسيارات) عادةً FEM المتكاملة في تصميم وتطوير منتجاتها. تتضمن العديد من حزم FEM الحديثة مكونات محددة مثل بيئات العمل الحرارية والكهرومغناطيسية والسوائل والهيكلية. في المحاكاة الهيكلية، تساعد FEM بشكل كبير في إنتاج تصورات الصلابة والقوة وتقليل الوزن والمواد والتكاليف. ^[29]

تسمح FEM بتصور تفصيلي لمكان انحناء أو التواء الهياكل، مما يشير إلى توزيع الضغوط والنزوح. توفر برامج FEM مجموعة واسعة من خيارات المحاكاة للتحكم في تعقيد النمذجة وتحليل النظام. وبالمثل، يمكن إدارة المستوى المطلوب من الدقة المطلوبة ومتطلبات الوقت الحسابي المرتبطة بها في وقت واحد لمعالجة معظم التطبيقات الهندسية. تسمح FEM ببناء التصميمات بالكامل وتنقيحها وتحسينها قبل تصنيع التصميم. الشبكة هي جزء لا يتجزأ من النموذج ويجب التحكم فيها بعناية لإعطاء أفضل النتائج. بشكل عام، كلما زاد عدد العناصر في الشبكة، زادت دقة حل المشكلة المنفصلة. ومع ذلك، هناك قيمة تتقارب عندها النتائج، ولا يؤدي تحسين الشبكة الإضافي إلى زيادة الدقة. ^[30]

لقد أدت أداة التصميم القوية هذه إلى تحسين كل من معيار التصميمات الهندسية ومنهجية عملية التصميم في العديد من التطبيقات الصناعية بشكل كبير. ^[32] أدى تقديم FEM إلى تقليل الوقت اللازم لنقل المنتجات من المفهوم إلى خط الإنتاج بشكل كبير. ^[32] تم تسريع الاختبار والتطوير بشكل أساسي من خلال تحسين تصميمات النماذج الأولية الأولية باستخدام FEM. ^[33] باختصار، تشمل فوائد FEM زيادة الدقة، وتحسين التصميم، وتحسين الرؤية في معلمات التصميم الحرجة، والنماذج الأولية الافتراضية، وعدد أقل من النماذج الأولية للأجهزة، ودورة تصميم أسرع وأقل تكلفة، وزيادة الإنتاجية، وزيادة الإيرادات. ^[32]

في تسعينيات القرن العشرين، تم اقتراح استخدام FEM في النمذجة العشوائية لحل نماذج الاحتمالات عدديًا ^[34] وفي وقت لاحق لتقييم الموثوقية. ^[35]

تُستخدم طريقة العناصر المحدودة على نطاق واسع لتقريب المعادلات التفاضلية التي تصف الأنظمة الفيزيائية. تحظى هذه الطريقة بشعبية كبيرة في مجتمع ديناميكا الموائع الحسابية ، وهناك العديد من التطبيقات لحل معادلات نافيير-ستوكس باستخدام طريقة العناصر المحدودة. ^{[36] [37] [38]} في الآونة الأخيرة، تزايد تطبيق طريقة العناصر المحدودة في أبحاث البلازما الحسابية. وقد تم اقتراح نتائج عددية واعدة باستخدام طريقة العناصر المحدودة في مجال المغناطيسية الهيدروديناميكية ، ومعادلة فلاسوف ، ومعادلة شرودنجر . ^{[39] [40]}

• جي. أليير وأ. كريج: التحليل العددي والتحسين: مقدمة في النمذجة الرياضية والمحاكاة العددية .
• KJ Bathe: الأساليب العددية في تحليل العناصر المحدودة ، برنتيس هول (1976).
• توماس جيه آر هيوز: طريقة العناصر المحدودة: التحليل الخطي والثابت والديناميكي للعناصر المحدودة، برنتيس هول (1987).
• ج. تشاسكالوفيك: طرق العناصر المحدودة للعلوم الهندسية ، دار نشر سبرينغر، (2008).
• إندري سولي : طرق العناصر المحدودة للمعادلات التفاضلية الجزئية.
• OC Zienkiewicz، RL Taylor، JZ Zhu: طريقة العناصر المحدودة: أساسها وأصولها ، Butterworth-Heinemann (2005).
• ن. أوتوسين، هـ. بيترسون: مقدمة إلى طريقة العناصر المحدودة، برنتيس هول (1992).
• سوزان سي. برينر، ل. ريدجواي سكوت: النظرية الرياضية لطرق العناصر المحدودة ، سبرينغر فيرلاغ نيويورك، ISBN 978-0-387-75933-3 (2008).
• زهدي، تي آي (2018) كتاب تمهيدي في العناصر المحدودة للمبتدئين - نسخة موسعة تتضمن اختبارات ومشاريع نموذجية. الطبعة الثانية https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-70428-9
• ليزيك ف. ديمكوفيتش: النظرية الرياضية للعناصر المحدودة ، SIAM، ISBN 978-1-61197-772-1 (2024).