بروبت

يُعد برنامج PROPT ^{[ 1 ]} MATLAB Optimal Control Software منصة من الجيل الجديد لحل مشاكل التحكم الأمثل التطبيقي (مع صياغة ODE أو DAE ) ومشاكل تقدير المعلمات .

تم تطوير المنصة بواسطة الفائز في مسابقة برمجة MATLAB، بير روتكويست في عام 2008. ويدعم الإصدار الأحدث المتغيرات الثنائية والأعداد الصحيحة بالإضافة إلى وحدة تحجيم تلقائية.

PROPT هو محرك متكامل للنمذجة والتجميع والحل، مبني على فئة النمذجة TomSym ، لتوليد مسائل التحكم الأمثل شديدة التعقيد. يستخدم PROPT طريقة التجميع الطيفي الزائف (مع نقاط غاوس أو تشيبيشيف) لحل مسائل التحكم الأمثل. هذا يعني أن الحل يأخذ شكل متعدد الحدود ، ويحقق هذا المتعدد الحدود معادلة التفاضل الجبرية وقيود المسار عند نقاط التجميع.

بشكل عام، يحتوي PROPT على الوظائف الرئيسية التالية:

• حساب المصفوفات الثابتة المستخدمة في التفاضل والتكامل لكثيرات الحدود المستخدمة لتقريب حل مشكلة تحسين المسار .
• تحويل المصدر لتحويل التعبيرات التي يقدمها المستخدم إلى كود MATLAB لدالة التكلفة${\displaystyle f}$ووظيفة القيد${\displaystyle c}$والتي يتم تمريرها إلى محلل البرمجة غير الخطية في برنامج TOMLAB . تقوم حزمة تحويل المصدر TomSym تلقائيًا بإنشاء المشتقات من الرتبة الأولى والثانية.
• وظائف لرسم وحساب مجموعة متنوعة من المعلومات لحل المشكلة.
• الكشف التلقائي عن ما يلي:
  • الهدف الخطي والتربيعي.
  • حدود بسيطة، وقيود خطية وغير خطية.
  • تعبيرات غير مُحسَّنة.
• دعم متكامل لمشاكل التحكم الأمثل غير السلسة ^{[ 2 ]} (الهجينة).
• وحدة نمطية للتحجيم التلقائي للمشاكل المعقدة المتعلقة بالمساحة.
• دعم المتغيرات الثنائية والأعداد الصحيحة، وعناصر التحكم أو الحالات.

يستخدم نظام PROPT محرك تحويل المصدر الرمزي TomSym لنمذجة مسائل التحكم الأمثل. ومن الممكن تعريف المتغيرات المستقلة ، والدوال التابعة، والكميات العددية، والمعاملات الثابتة.

toms tf toms t p = tomPhase ( 'p' , t , 0 , tf , 30 ); x0 = { tf == 20 }; cbox = { 10 <= tf <= 40 };تومز z1 cbox = { cbox ; 0 <= z1 <= 500 }; س0 = { س0 ; z1 == 0 };ki0 = [ 1e3 ; 1e7 ; 10 ; 1e-3 ];

tomStates x1 x0 = { icollocate ({ x1 == 0 })};TomControls u1 cbox = { - 2 <= رصف ( u1 ) <= 1 }; س0 = { س0 ; تجميع ( u1 == - 0.01 )});

cbnd = initial ( x1 == 1 ); % نقطة البداية لـ x1 cbnd = final ( x1 == 1 ); % نقطة النهاية لـ x1 cbnd = final ( x2 == 2 ); % نقطة النهاية لـ x2 pathc = collocate ( x3 >= 0.5 ); % قيد المسار لـ x3 intc = { integrate ( x2 ) == 1 }; % قيد التكامل لـ x2 cbnd = final ( x3 >= 0.5 ); % قيد الحدث النهائي لـ x3 cbnd = initial ( x1 <= 2.0 ); % قيد الحدث الابتدائي x1

مذبذب فان دير بول ^{[ 3 ]}

التقليل:

${\displaystyle {\begin{matrix}J_{x,t}&=&x_{3}(t_{f})\\\end{matrix}}}$

رهناً بما يلي:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx_{1}}{dt}}=(1-x_{2}^{2})*x_{1}-x_{2}+u\\{\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{1}\\{\frac {dx_{3}}{dt}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+u^{2}\\x(t_{0})=[0\ 1\ 0]\\t_{f}=5\\-0.3\leq u\leq 1.0\\\end{cases}}}$

لحل المشكلة باستخدام PROPT، يمكن استخدام الكود التالي (مع 60 نقطة تجميع):

toms t p = tomPhase ( 'p' , t , 0 , 5 , 60 ); setPhase ( p );tomStates x1 x2 x3 tomControls u٪ التخمين الأولي x0 = { icollocate ({ x1 == 0 ; x2 == 1 ; x3 == 0 }) colocate ( u == - 0.01 )};% قيود الصندوق cbox = { - 10 <= icollocate ( x1 ) <= 10 - 10 <= icollocate ( x2 ) <= 10 - 10 <= icollocate ( x3 ) <= 10 - 0.3 <= collocate ( u ) <= 1 };% قيود الحدود cbnd = initial ({ x1 == 0 ; x2 == 1 ; x3 == 0 });المعادلات التفاضلية العادية وقيود المسار ceq = collocate ({ dot ( x1 ) == ( 1 - x2 .^ 2 ) .* x1 - x2 + u dot ( x2 ) == x1 ; dot ( x3 ) == x1 .^ 2 + x2 .^ 2 + u .^ 2 });الهدف % الهدف = النهائي ( x3 );% حل المشكلة options = struct ; options . name = 'Van Der Pol' ; solution = ezsolve ( objective , { cbox , cbnd , ceq }, x0 , options );

صاروخ أحادي البعد ^{[ 4 ]} ذو زمن نهاية حر وانزياح طور غير محدد

التقليل:

${\displaystyle {\begin{matrix}J_{x,t}&=&tCut\\\end{matrix}}}$

رهناً بما يلي:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx_{1}}{dt}}=x_{2}\\{\frac {dx_{2}}{dt}}=a-g\ (0<t<=tCut)\\{\frac {dx_{2}}{dt}}=-g\ (tCut<t<t_{f})\\x(t_{0})=[0\ 0]\\g=1\\a=2\\x_{1}(t_{f})=100\\\end{cases}}}$

يتم حل المشكلة باستخدام PROPT عن طريق إنشاء مرحلتين وربطهما:

toms t toms tCut tp2 p1 = tomPhase ( 'p1' , t , 0 , tCut , 20 ); p2 = tomPhase ( 'p2' , t , tCut , tp2 , 20 );tf = tCut + tp2 ;x1p1 = tomState ( p1 , 'x1p1' ); x2p1 = tomState ( p1 , 'x2p1' ); x1p2 = tomState ( p2 , 'x1p2' ); x2p2 = tomState ( p2 , 'x2p2' );% التخمين الأولي x0 = { tCut == 10 tf == 15 icollocate ( p1 ,{ x1p1 == 50 * tCut / 10 ; x2p1 == 0 ;}) icollocate ( p2 ,{ x1p2 == 50 + 50 * t / 100 ; x2p2 == 0 ;})};% قيود الصندوق cbox = { 1 <= tCut <= tf - 0.00001 tf <= 100 0 <= icollocate ( p1 , x1p1 ) 0 <= icollocate ( p1 , x2p1 ) 0 <= icollocate ( p2 , x1p2 ) 0 <= icollocate ( p2 , x2p2 )};% قيود الحدود cbnd = { initial ( p1 ,{ x1p1 == 0 ; x2p1 == 0 ;}) final ( p2 , x1p2 == 100 )};المعادلات التفاضلية العادية وقيود المسار a = 2 ; g = 1 ; ceq = { collocate ( p1 ,{ dot ( p1 , x1p1 ) == x2p1 dot ( p1 , x2p1 ) == a - g }) collocate ( p2 ,{ dot ( p2 , x1p2 ) == x2p2 dot ( p2 , x2p2 ) == - g })};الهدف % الهدف = tCut ؛% مرحلة الربط link = { final ( p1 , x1p1 ) == initial ( p2 , x1p2 ) final ( p1 , x2p1 ) == initial ( p2 , x2p2 )};%% حل المشكلة options = struct ; options . name = 'One Dim Rocket' ; constr = { cbox , cbnd , ceq , link }; solution = ezsolve ( objective , constr , x0 , options );

مشكلة تقدير المعلمات ^{[ 5 ]}

التقليل:

${\displaystyle {\begin{matrix}J_{p}&=&\sum _{i=1,2,3,5}{(x_{1}(t_{i})-x_{1}^{m}(t_{i}))^{2}}\\\end{matrix}}}$

رهناً بما يلي:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx_{1}}{dt}}=x_{2}\\{\frac {dx_{2}}{dt}}=1-2*x_{2}-x_{1}\\x_{0}=[p_{1}\ p_{2}]\\t_{i}=[1\ 2\ 3\ 5]\\x_{1}^{m}(t_{i})=[0.264\ 0.594\ 0.801\ 0.959]\\|p_{1:2}|<=1.5\\\end{cases}}}$

في الكود أدناه، تم حل المشكلة باستخدام شبكة دقيقة (10 نقاط تجميع). ثم تم تحسين هذا الحل باستخدام 40 نقطة تجميع.

toms t p1 p2 x1meas = [ 0.264 ; 0.594 ; 0.801 ; 0.959 ]; tmeas = [ 1 ; 2 ; 3 ; 5 ];% قيود الصندوق cbox = { - 1.5 <= p1 <= 1.5 - 1.5 <= p2 <= 1.5 };%% حل المسألة، باستخدام عدد متزايد من نقاط التجميع لـ n = [ 10 40 ] p = tomPhase ( 'p' , t , 0 , 6 , n ); setPhase ( p ); tomStates x1 x2% التخمين الأولي إذا كان n == 10 x0 = { p1 == 0 ; p2 == 0 }; وإلا x0 = { p1 == p1opt ; p2 == p2opt icollocate ({ x1 == x1opt ; x2 == x2opt })}; end% قيود الحدود cbnd = initial ({ x1 == p1 ; x2 == p2 });المعادلات التفاضلية العادية وقيود المسار : x1err = sum (( atPoints ( tmeas , x1 ) - x1meas ) .^ 2 ); ceq = collocate ({ dot ( x1 ) == x2 ; dot ( x2 ) == 1 - 2 * x2 - x1 });الهدف % الهدف = x1err ;%% حل المشكلة options = struct ; options . name = 'Parameter Estimation' ; options . solver = 'snopt' ; solution = ezsolve ( objective , { cbox , cbnd , ceq }, x0 , options );% القيم المثلى لـ x و p كنقطة بداية x1opt = subs ( x1 , solution ); x2opt = subs ( x2 , solution ); p1opt = subs ( p1 , solution ); p2opt = subs ( p2 , solution ); end

• التحكم في المسار الديناميكي الهوائي ^{[ 6 ]}
• التحكم بضربة واحدة ^{[ 7 ]}
• الهندسة الكيميائية ^{[ 8 ]}
• الأنظمة الديناميكية ^{[ 9 ]}
• التحكم الأمثل العام
• التحكم الخطي واسع النطاق ^{[ 10 ]}
• التحكم في النظام متعدد المراحل ^{[ 11 ]}
• تصميم الهندسة الميكانيكية ^{[ 12 ]}
• التحكم غير القابل للتفاضل ^{[ 13 ]}
• تقدير المعلمات للأنظمة الديناميكية ^{[ 14 ]}
• تحكم فردي

• TOMLAB - مطور وموزع البرنامج.
• TomSym - محرك تحويل المصدر المستخدم في البرمجيات.
• PROPT - الصفحة الرئيسية لـ PROPT.
• SNOPT - المُحلِّل الافتراضي المستخدم في PROPT.