القيمة الرئيسية

في الرياضيات، وتحديدًا في التحليل المركب ، غالبًا ما تتمتع الدالة متعددة القيم بخاصية أن رسمها البياني، بالقرب من كل نقطة تقريبًا، هو اتحاد منفصل لرسم بياني واحد أو عدة رسوم بيانية لدوال ملساء ، والتي تسمىفروع الدوال متعددة القيم. في حالة الدوال التحليلية المركبة، يمكن تمديد هذه الفروع لتشمل الدوال الملساء المعرفة في كامل المستوى المركب باستثناء عدد محدود من النقاط، والتي تساوي قيمة واحدة من قيم الدالة متعددة القيم في مجالها. غالبًا ماالفرعإلى قيمة محددة لهذا الفرع الأقصى.

الفرع الرئيسي لدالة متعددة المتغيرات هو أحد هذه الفروع القصوى التي يتم اختيارها مرة واحدة فقط. عادةً، يكون الفرع الرئيسي هو الفرع الذي يأخذ قيمة حقيقية للقيم الموجبة الصغيرة للمتغير.

القيمة الرئيسية هي القيمة عند نقطة معينة من الدالة المعرفة بالفرع الرئيسي. في كثير من الحالات، تُفرَّق القيمة الرئيسية عند نقطة معينة من دالة متعددة القيم عن القيم الأخرى بكونها القيمة التي يكون لمتغيرها أصغر قيمة مطلقة، وإذا وُجدت قيمتان من هذا النوع، فإن القيمة الرئيسية هي التي يكون لجزءها الحقيقي الموجب.

يُعطى مثال بسيط على ذلك من خلال دالة الجذر التربيعي : لكل عدد مركب غير صفري جذران تربيعيان. القيمة الأساسية للجذر التربيعي لعدد حقيقي موجب هي الجذر التربيعي الموجب الذي يُرمز له بـ ⁠${\displaystyle {\sqrt {x}}}$الجذر التربيعي الرئيسي لعدد مركب غير حقيقي هو العدد الذي تقع وسيطته في الفترة${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$، والجذر التربيعي الرئيسي لعدد حقيقي سالب${\displaystyle -x}$هو​​${\displaystyle i{\sqrt {x}}}$⁠ .

لنفترض دالة اللوغاريتم المركب log z . تُعرَّف هذه الدالة بأنها العدد المركب w الذي يحقق الشرط التالي:

${\displaystyle e^{w}=z.}$

لنفترض الآن، على سبيل المثال، أننا نريد إيجاد لوغاريتم i . هذا يعني أننا نريد حل المعادلة التالية:

${\displaystyle e^{w}=i}$

ل${\displaystyle w}$القيمة${\displaystyle i\pi /2}$هذا حل.

ومع ذلك، توجد حلول أخرى، ويتضح ذلك من خلال النظر في موقع i في المستوى المركب، وبالتحديد حجته.${\displaystyle \arg i}$يمكننا الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة${\displaystyle \pi /2}$راديان من 1 للوصول إلى i في البداية، ولكن إذا قمنا بالتدوير أكثر من ذلك${\displaystyle 2\pi }$نصل إلى النقطة i مرة أخرى. لذا، يمكننا أن نستنتج أن${\displaystyle i(\pi /2+2\pi )}$يُعدّ هذا أيضًا حلاً لـ log i . ويتضح أنه يمكننا إضافة أي مضاعف لـ${\displaystyle 2\pi }$إلى حلنا الأولي للحصول على جميع قيم log i .

لكن لهذا الأمر نتيجة قد تكون مفاجئة عند مقارنتها بالدوال ذات القيم الحقيقية: إن لوغاريتم i ليس له قيمة محددة. أما بالنسبة للوغاريتم z ، فلدينا

${\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right)=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \ z+2\pi k\right)}$

بالنسبة لعدد صحيح k ، حيث Arg z هو الوسيط (الرئيسي) لـ z المعرّف بأنه يقع في الفترة${\displaystyle (-\pi ,\ \pi ]}$تحدد كل قيمة لـ k ما يُعرف بالفرع ( أو الورقة )، وهو مُكوّن أحادي القيمة من دالة اللوغاريتم متعددة القيم. عندما يكون التركيز على فرع واحد، يُستخدم أحيانًا قطع الفرع ؛ في هذه الحالة، يتم إزالة الأعداد الحقيقية غير الموجبة من مجال الدالة واستبعادها.${\displaystyle \pi }$كقيمة محتملة لـ Arg z . مع هذا القطع الفرعي، تكون الدالة ذات الفرع الواحد متصلة وتحليلية في كل مكان في مجالها.

يُعرف الفرع المقابل لـ k = 0 بالفرع الرئيسي ، وعلى طول هذا الفرع، تُعرف القيم التي تأخذها الدالة بالقيم الرئيسية .

بشكل عام، إذا كانت الدالة f ( z ) متعددة القيم، يُشار إلى الفرع الرئيسي للدالة f بالرمز التالي:

${\displaystyle \mathrm {pv} \,f(z)}$

بحيث يكون pv f ( z ) أحادي القيمة بالنسبة لـ z في مجال f .

القيم الرئيسية للدوال القياسية

يمكن أن تكون الدوال الأولية ذات القيم المركبة متعددة القيم في بعض المجالات. ويمكن الحصول على القيمة الرئيسية لبعض هذه الدوال عن طريق تحليلها إلى دوال أبسط، حيث يسهل الحصول على القيمة الرئيسية للدوال البسيطة.

دالة اللوغاريتم

لقد قمنا بدراسة دالة اللوغاريتم أعلاه، أي

${\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right).}$

الآن، فإن arg z متعدد القيم بطبيعته. غالبًا ما يُعرَّف وسيط عدد مركب ما بأنه يقع بين${\displaystyle -\pi }$(حصري) و${\displaystyle \pi }$(شاملة)، لذا نعتبر هذه القيمة الرئيسية للوسيط، ونكتب دالة الوسيط على هذا الفرع Arg z (مع الحرف الكبير A في البداية). باستخدام Arg z بدلاً من arg z ، نحصل على القيمة الرئيسية للوغاريتم، ونكتب ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mathrm {pv} \log {z}=\mathrm {Log} \,z=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \,z\right).}$

الجذر التربيعي

بالنسبة للأعداد المركبة${\displaystyle z=re^{i\phi }\,}$القيمة الأساسية للجذر التربيعي هي:

${\displaystyle \mathrm {pv} {\sqrt {z}}=\exp \left({\frac {\mathrm {pv} \log z}{2}}\right)={\sqrt {r}}\,e^{i\phi /2}}$

مع الحجة${\displaystyle -\pi <\phi \leq \pi .}$ أحيانًا يتم إدخال قطع فرعي بحيث لا تكون الأعداد الحقيقية السالبة ضمن مجال دالة الجذر التربيعي، مما يلغي إمكانية أن${\displaystyle \phi =\pi .}$

الدوال المثلثية العكسية والدوال الزائدية العكسية

يمكن تعريف الدوال المثلثية العكسية ( arcsin ، arccos ، arctan ، إلخ) والدوال الزائدية العكسية ( arsinh ، arcosh ، artanh ، إلخ) بدلالة اللوغاريتمات، ويمكن تعريف قيمها الرئيسية بدلالة القيم الرئيسية للوغاريتم.

حجة معقدة

يمكن تعريف القيمة الرئيسية لحقل العدد المركب المقاس بالراديان على النحو التالي:

• القيم في النطاق${\displaystyle [0,2\pi )}$
• القيم في النطاق${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

على سبيل المثال، تتضمن العديد من أنظمة الحوسبة دالة atan2( y , x ) . ستكون قيمة atan2(imaginary_part( z ), real_part( z )) ضمن الفترة [0, 1].${\displaystyle (-\pi ,\pi ].}$ بالمقارنة، فإن atan y / x عادة ما يكون في${\displaystyle ({\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}].}$

• الفرع الرئيسي
• نقطة تفرع