اتحاد منفصل

في الرياضيات ، الاتحاد المنفصل (أو الاتحاد المميز )${\displaystyle A\sqcup B}$المجموعة المكونة من عناصر المجموعتين A و B هي المجموعة التي تحمل اسم المجموعة التي تنتمي إليها، مع ترقيمها (فهرستها). لذا، يظهر العنصر الذي ينتمي إلى كل من A و B مرتين في الاتحاد المنفصل، بترقيمتين مختلفتين.

اتحاد منفصل لعائلة مفهرسة من المجموعات${\displaystyle (A_{i}:i\in I)}$هي مجموعة${\displaystyle A,}$يُشار إليه غالبًا بـ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i},}$مع حقنة من كل${\displaystyle A_{i}}$داخل${\displaystyle A,}$بحيث تشكل صور هذه الحقن تجزئة لـ${\displaystyle A}$(أي كل عنصر من عناصر${\displaystyle A}$ينتمي إلى إحدى هذه الصور فقط). الاتحاد المنفصل لمجموعة من المجموعات المنفصلة مثنى مثنى هو اتحادها .

في نظرية الفئات ، الاتحاد المنفصل هو ناتج مشترك لفئة المجموعات ، وبالتالي يُعرَّف حتى تقابل . في هذا السياق، يُستخدم الرمز${\textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$يُستخدم غالبًا.

الاتحاد المنفصل لمجموعتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$تُكتب باستخدام تدوين الوسط كما يلي:${\displaystyle A\sqcup B}$يستخدم بعض المؤلفين الترميز البديل${\displaystyle A\uplus B}$أو${\displaystyle A\operatorname {{\cup }\!\!\!{\cdot }\,} B}$(إلى جانب ما يقابله)${\textstyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$أو${\textstyle \operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i\in I}A_{i}}$).

تتمثل إحدى الطرق القياسية لبناء الاتحاد المنفصل في تعريف${\displaystyle A}$باعتبارها مجموعة الأزواج المرتبة${\displaystyle (x,i)}$بحيث${\displaystyle x\in A_{i},}$والحقنة${\displaystyle A_{i}\to A}$مثل${\displaystyle x\mapsto (x,i).}$

ضع في اعتبارك المجموعات${\displaystyle A_{0}=\{5,6,7\}}$و${\displaystyle A_{1}=\{5,6\}.}$من الممكن فهرسة عناصر المجموعة وفقًا لأصل المجموعة عن طريق تكوين المجموعات المرتبطة ${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(5,1),(6,1)\},\\\end{aligned}}}$

حيث يتطابق العنصر الثاني في كل زوج مع الدليل السفلي لمجموعة الأصل (على سبيل المثال،${\displaystyle 0}$في${\displaystyle (5,0)}$يطابق الرمز السفلي في${\displaystyle A_{0},}$إلخ). الاتحاد المنفصل${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}}$ويمكن حسابها على النحو التالي: $${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)\}.}$$

بصورة رسمية، دع${\displaystyle \left(A_{i}:i\in I\right)}$لتكن عائلة مفهرسة من المجموعات المفهرسة بواسطة${\displaystyle I.}$الاتحاد المنفصل لهذه العائلة هو المجموعة $${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$ عناصر الاتحاد المنفصل هي أزواج مرتبة${\displaystyle (x,i).}$هنا${\displaystyle i}$يُستخدم كمؤشر مساعد يشير إلى أي${\displaystyle A_{i}}$العنصر${\displaystyle x}$جاء من.

كل مجموعة${\displaystyle A_{i}}$متماثل قانونيًا مع المجموعة $${\displaystyle A_{i}^{*}=\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$ من خلال هذا التشاكل، يمكن للمرء أن يعتبر أن${\displaystyle A_{i}}$مضمنة بشكل أساسي في الاتحاد المنفصل. لـ${\displaystyle i\neq j,}$المجموعات${\displaystyle A_{i}^{*}}$و${\displaystyle A_{j}^{*}}$تكون المجموعات منفصلة حتى لو${\displaystyle A_{i}}$و${\displaystyle A_{j}}$ليست كذلك.

في الحالة القصوى حيث كل من${\displaystyle A_{i}}$يساوي مجموعة ثابتة${\displaystyle A}$لكل${\displaystyle i\in I,}$الاتحاد المنفصل هو حاصل الضرب الديكارتي لـ${\displaystyle A}$و${\displaystyle I}$: $${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.}$$

في بعض الأحيان، يكون التدوين $${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$$ يُستخدم للدلالة على الاتحاد المنفصل لمجموعة من المجموعات، أو الترميز${\displaystyle A+B}$يُشير هذا الرمز إلى الاتحاد المنفصل لمجموعتين. ويُقصد به الإشارة إلى أن عدد عناصر الاتحاد المنفصل يساوي مجموع أعداد عناصر المجموعة. قارن هذا بالرمز المستخدم في الضرب الديكارتي لمجموعة من المجموعات.

في لغة نظرية الفئات ، يُعدّ الاتحاد المنفصل هو الضرب المشترك في فئة المجموعات . ولذلك، فهو يحقق الخاصية الشاملة المرتبطة به . وهذا يعني أيضاً أن الاتحاد المنفصل هو الثنائي الفئوي لعملية الضرب الديكارتي . انظر الضرب المشترك لمزيد من التفاصيل.

لأغراض عديدة، لا يُعدّ اختيار الفهرس المساعد المحدد أمرًا مهمًا، وفي تبسيط مفرط للرموز ، يمكن التعامل مع العائلة المفهرسة ببساطة على أنها مجموعة من المجموعات. في هذه الحالة${\displaystyle A_{i}^{*}}$يُشار إليه على أنه نسخة من${\displaystyle A_{i}}$والترميز${\displaystyle {\underset {A\in C}{\,\,\bigcup \nolimits ^{*}\!}}A}$يُستخدم أحيانًا.

في نظرية الفئات، يُعرَّف الاتحاد المنفصل بأنه ناتج مشترك في فئة المجموعات.

وبناءً على ذلك، يُعرَّف الاتحاد المنفصل حتى التشاكل، والتعريف المذكور أعلاه ليس سوى أحد تجليات الضرب المشترك، من بين تجليات أخرى. عندما تكون المجموعات منفصلة مثنى مثنى، فإن الاتحاد المعتاد هو تجلي آخر للضرب المشترك. وهذا ما يبرر التعريف الثاني المذكور في المقدمة.

هذا الجانب التصنيفي للاتحاد المنفصل يفسر لماذا${\displaystyle \coprod }$يُستخدم بشكل متكرر، بدلاً من${\displaystyle \bigsqcup ,}$للدلالة على الناتج المشترك .

• المنتج المشترك – البناء القائم على نظرية الفئات 
• النهاية المباشرة – حالة خاصة من النهاية المشتركة في نظرية الفئات 
• الاتحاد المنفصل (في علم الطوبولوجيا) – مصطلح رياضي 
• الاتحاد المنفصل للرسوم البيانية – عملية ثنائية تجمع بين مجموعتي الرؤوس والحواف لرسمين بيانيين 
• التقاطع (نظرية المجموعات) - مجموعة العناصر المشتركة بين جميع بعض المجموعات 
• قائمة هويات المجموعات وعلاقاتها – معادلات لتراكيب المجموعات 
• تقسيم المجموعة – طرق رياضية لتجميع عناصر المجموعة 
• نوع الجمع – بنية بيانات الاتحاد مع حالات مفروضة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• الفرق المتناظر – العناصر الموجودة في مجموعة واحدة فقط من المجموعتين 
• الاتحاد المُوسوم – بنية بيانات الاتحاد مع الحالات المفروضة 
• الاتحاد (علوم الحاسوب) - نوع بيانات يسمح بقيم تنتمي إلى أنواع بيانات متعددة مختلفة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لوجهات إعادة التوجيه 

• لانغ، سيرج (2004)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الرابعة المصححة،  الطبعة الثالثة المنقحة)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ص  60، ISBN 978-0-387-95385-4
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الاتحاد المنفصل" . عالم الرياضيات .