راديودروم

في الهندسة ، يُعرف مسار التتبع بأنه نوع محدد من مسارات المطاردة : وهو المسار الذي ترسمه نقطة تتحرك باستمرار نحو هدف يتحرك في خط مستقيم بسرعة ثابتة. يأتي المصطلح من الكلمة اللاتينية radius ( بمعنى شعاع أو محور ) والكلمة اليونانية dromos ( بمعنى جري أو مضمار سباق ) ، مما يعكس الطبيعة الشعاعية للحركة.

يُعدّ ما يُعرف بمنحنى الكلب المثال الكلاسيكي الأكثر شيوعًا ، وهو يصف مسار كلب يسبح عبر نهر باتجاه أرنب يتحرك على الضفة المقابلة. وبسبب التيار، يضطر الكلب إلى تعديل اتجاهه باستمرار، مما ينتج عنه مسار أطول وأكثر انحناءً. وقد وصف هذه الحالة لأول مرة عالم الرياضيات والهيدروغرافيا الفرنسي بيير بوجيه عام 1732.

تتميز مسارات المطاردة الراديوية عن مسارات المطاردة الأخرى بافتراض أن المطارد يتجه دائمًا مباشرة نحو الموقع الحالي للهدف، بينما يتحرك الهدف بسرعة ثابتة على طول مسار مستقيم.

نُعرّف نظام إحداثيات يكون أصله _عند موضع الكلب عند الزمن صفر، ومحوره _y في اتجاه حركة الأرنب بسرعة ثابتة Vt _. موضع الأرنب عند الزمن صفر هو ( Ax , Ay ) حيث Ax > 0 _، وعند الزمن t يكون

${\displaystyle (T_{x}\ ,\ T_{y})\ =\ (A_{x}\ ,\ A_{y}+V_{t}t)~.}$

1

يركض الكلب بسرعة ثابتة V _d باتجاه الموضع اللحظي للأرنب.

وبالتالي، فإن المعادلة التفاضلية التي تمثل حركة الكلب، ( x ( t ), y ( t )) ، هي

${\displaystyle {\dot {x}}=V_{d}\ {\frac {T_{x}-x}{\sqrt {(T_{x}-x)^{2}+(T_{y}-y)^{2}}}}}$

2

${\displaystyle {\dot {y}}=V_{d}\ {\frac {T_{y}-y}{\sqrt {(T_{x}-x)^{2}+(T_{y}-y)^{2}}}}~.}$

3

من الممكن الحصول على صيغة تحليلية مغلقة y = f ( x ) لحركة الكلب. من ( 2 ) و( 3 )، يتبين أن

${\displaystyle y'(x)={\frac {T_{y}-y}{T_{x}-x}}}$.

4

بضرب كلا الطرفين بـ${\displaystyle T_{x}-x}$وبأخذ المشتقة بالنسبة إلى x ، باستخدام ذلك

${\displaystyle {\frac {dT_{y}}{dx}}\ =\ {\frac {dT_{y}}{dt}}\ {\frac {dt}{dx}}\ =\ {\frac {V_{t}}{V_{d}}}\ {\sqrt {{y'}^{2}+1}}~,}$

5

يحصل المرء

${\displaystyle y''={\frac {V_{t}\ {\sqrt {1+{y'}^{2}}}}{V_{d}(A_{x}-x)}}}$

6

أو

${\displaystyle {\frac {y''}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}}={\frac {V_{t}}{V_{d}(A_{x}-x)}}~.}$

7

ومن هذه العلاقة، يتبين أن

${\displaystyle \sinh ^{-1}(y')=B-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}\ \ln(A_{x}-x)~,}$

8

حيث B هو ثابت التكامل المحدد بالقيمة الأولية لـ y ' عند الزمن صفر، y' (0) = sinh( B - ( Vt _/ Vd ₎ ln Ax ₎ ، أي

${\displaystyle B={\frac {V_{t}}{V_{d}}}\ \ln(A_{x})+\ln \left(y'(0)+{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right).}$

9

من ( 8 ) و( 9 )، يتبين بعد إجراء بعض الحسابات أن

${\displaystyle y'={\frac {1}{2}}\left[\left(y'(0)+{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}+\left(y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{\frac {V_{t}}{V_{d}}}\right]}$.

10

علاوة على ذلك، بما أن y (0) = 0 ، فإنه يترتب من ( 1 ) و( 4 ) أن

${\displaystyle y'(0)={\frac {A_{y}}{A_{x}}}}$.

11

إذا كان V _t ≠ V _d ، فإن العلاقة ( 10 ) تتكامل لتصبح

${\displaystyle y=C-{\frac {A_{x}}{2}}\left[{\frac {\left(y'(0)+{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}+{\frac {\left(y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\right],}$

12

حيث C هو ثابت التكامل. وبما أن y (0) = 0 ، فإن

${\displaystyle C={\frac {A_{x}}{2}}\left[{\frac {y'(0)+{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}}{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}+{\frac {y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\right]}$.

13

وبالتالي، فإن المعادلات ( 11 ) و( 12 ) و( 13 ) مجتمعة تشير إلى

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left\{{\frac {A_{y}+{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}}{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\left[1-\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}\right]+{\frac {A_{y}-{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\left[1-\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}\right]\right\}}$.

14

إذا كانت V _t = V _d ، فإن العلاقة ( 10 ) تعطي، بدلاً من ذلك،

${\displaystyle y=C-{\frac {A_{x}}{2}}\left[\left(y'(0)+{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\ln \left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{2}\right]}$.

15

باستخدام y (0)=0 مرة أخرى، يترتب على ذلك أن

${\displaystyle C={\frac {A_{x}}{4}}\left(y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right).}$

16

وبالتالي، فإن المعادلات ( 11 ) و( 15 ) و( 16 ) تشير مجتمعة إلى أن

${\displaystyle y={\frac {1}{4}}\left(A_{y}-{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}\right)\left[1-\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{2}\right]-{\frac {1}{2}}\left(A_{y}+{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}\right)\ln \left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)}$.

17

إذا كانت V _t < V _d ، فإنه يتبع من ( 14 ) أن

${\displaystyle \lim _{x\to A_{x}}y(x)={\frac {1}{2}}\left({\frac {A_{y}+{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}}{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}+{\frac {A_{y}-{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\right).}$

18

إذا كانت V _t ≥ V _d ، فإنه من ( 14 ) و( 17 ) يكون لدينا أن${\displaystyle \lim _{x\to A_{x}}y(x)=\infty }$وهذا يعني أن الأرنب لن يُقبض عليه أبداً، مهما بدأت المطاردة.

• مشكلة الفئران
• مكعب تشيرنهاوزن ، حالة خاصة من الراديو دروم يتحرك فيها المطارد بسرعة ضعف سرعة هدفه

• ناهين، بول ج. (2012)، المطاردات والهروب: رياضيات المطاردة والتهرب ، برينستون: مطبعة جامعة برينستون، ISBN 978-0-691-12514-5.
• جوميز تيكسيرا ، فرانسيسكو (1909)، Imprensa da universidade (ed.)، Traité des Courbes Spéciales Remarquables ، المجلد.  2، كويمبرا، ص.  255{{citation}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )