مرشح المربعات الصغرى المتكرر

تُعدّ طريقة المربعات الصغرى المتكررة ( RLS ) خوارزمية ترشيح تكيفية تجد بشكل متكرر المعاملات التي تُقلّل دالة التكلفة الخطية الموزونة للمربعات الصغرى، والمرتبطة بإشارات الإدخال. يختلف هذا النهج عن خوارزميات أخرى، مثل طريقة المربعات الصغرى المتوسطة (LMS)، التي تهدف إلى تقليل متوسط ​​مربع الخطأ . في اشتقاق RLS، تُعتبر إشارات الإدخال حتمية ، بينما تُعتبر عشوائية في LMS والخوارزميات المشابهة . تتميز RLS، مقارنةً بمعظم منافسيها، بتقارب سريع للغاية. مع ذلك، تأتي هذه الميزة على حساب تعقيد حسابي كبير.

اكتشف جاوس طريقة المربعات الصغرى المتكررة (RLS) ، لكنها ظلت مهملة أو غير مستخدمة حتى عام 1950 عندما أعاد بلاكيت اكتشاف عمل جاوس الأصلي من عام 1821. بشكل عام، يمكن استخدام طريقة المربعات الصغرى المتكررة لحل أي مشكلة يمكن حلها باستخدام المرشحات التكيفية . على سبيل المثال، لنفترض أن إشارة${\displaystyle d(n)}$يتم إرسالها عبر قناة مليئة بالصدى والضوضاء مما يجعلها تُستقبل على أنها

${\displaystyle x(n)=\sum _{k=0}^{q}b_{n}(k)d(nk)+v(n)}$

أين${\displaystyle v(n)}$يمثل الضوضاء المضافة . والهدف من مرشح RLS هو استعادة الإشارة المطلوبة${\displaystyle d(n)}$باستخدام${\displaystyle p+1}$مرشح الأشعة تحت الحمراء البعيدة (FIR) - النقر ،${\displaystyle \mathbf {w} }$:

${\displaystyle d(n)\approx \sum _{k=0}^{p}w(k)x(nk)=\mathbf {w} ^{\mathit {T}}\mathbf {x} _{n}}$

أين${\displaystyle \mathbf {x} _{n}=[x(n)\quad x(n-1)\quad \ldots \quad x(np)]^{T}}$هو متجه العمود الذي يحتوي على${\displaystyle p+1}$أحدث عينات من${\displaystyle x(n)}$تقدير الإشارة المطلوبة المستعادة هو

${\displaystyle {\hat {d}}(n)=\sum _{k=0}^{p}w_{n}(k)x(nk)=\mathbf {w} _{n}^{\mathit {T}}\mathbf {x} _{n}}$

الهدف هو تقدير معلمات المرشح${\displaystyle \mathbf {w} }$وفي كل وقت${\displaystyle n}$نشير إلى التقدير الحالي باسم${\displaystyle \mathbf {w} _{n}}$وتقدير المربعات الصغرى المعدل بواسطة${\displaystyle \mathbf {w} _{n+1}}$. ${\displaystyle \mathbf {w} _{n}}$وهو أيضًا متجه عمودي، كما هو موضح أدناه، والمُنَقل ،${\displaystyle \mathbf {w} _{n}^{\mathit {T}}}$، هو متجه صف . حاصل ضرب المصفوفات${\displaystyle \mathbf {w} _{n}^{\mathit {T}}\mathbf {x} _{n}}$(وهو حاصل الضرب النقطي لـ${\displaystyle \mathbf {w} _{n}}$و${\displaystyle \mathbf {x} _{n}}$) يكون${\displaystyle {\hat {d}}(n)}$وهو قيمة عددية. يكون التقدير "جيدًا" إذا ${\displaystyle {\hat {d}}(n)-d(n)}$صغيرة في حجمها بمعنى المربعات الصغرى .

مع مرور الوقت، يُفضّل تجنّب إعادة تطبيق خوارزمية المربعات الصغرى بالكامل لإيجاد التقدير الجديد لـ${\displaystyle \mathbf {w} _{n+1}}$، من ناحية${\displaystyle \mathbf {w} _{n}}$.

تتمثل فائدة خوارزمية المربعات الصغرى المتكررة (RLS) في عدم الحاجة إلى عكس المصفوفات، مما يوفر تكلفة حسابية. ومن مزاياها الأخرى أنها توفر فهمًا بديهيًا لنتائج مثل مرشح كالمان .

تتمثل الفكرة وراء مرشحات RLS في تقليل دالة التكلفة${\displaystyle C}$عن طريق اختيار معاملات التصفية بشكل مناسب${\displaystyle \mathbf {w} _{n}}$ويتم تحديث الفلتر مع وصول البيانات الجديدة. إشارة الخطأ${\displaystyle e(n)}$والإشارة المطلوبة${\displaystyle d(n)}$يتم تعريفها في مخطط التغذية الراجعة السلبية أدناه:

يعتمد الخطأ ضمنيًا على معاملات التصفية من خلال التقدير${\displaystyle {\hat {d}}(n)}$:

${\displaystyle e(n)=d(n)-{\hat {d}}(n)}$

دالة الخطأ التربيعي الأدنى الموزون${\displaystyle C}$—دالة التكلفة التي نرغب في تقليلها—كونها دالة لـ${\displaystyle e(n)}$وبالتالي، يعتمد أيضًا على معاملات التصفية:

${\displaystyle C(\mathbf {w} _{n})=\sum _{i=0}^{n}\lambda ^{n-i}e^{2}(i)}$

أين${\displaystyle 0<\lambda \leq 1}$هو "عامل النسيان" الذي يعطي وزناً أقل بشكل كبير لعينات الأخطاء القديمة.

يتم تقليل دالة التكلفة عن طريق أخذ المشتقات الجزئية لجميع المدخلات${\displaystyle k}$متجه المعاملات${\displaystyle \mathbf {w} _{n}}$وتعيين النتائج إلى الصفر

${\displaystyle {\frac {\partial C(\mathbf {w} _{n})}{\partial w_{n}(k)}}=\sum _{i=0}^{n}2\lambda ^{n-i}e(i)\cdot {\frac {\partial e(i)}{\partial w_{n}(k)}}=-\sum _{i=0}^{n}2\lambda ^{n-i}e(i)\,x(i-k)=0\qquad k=0,1,\ldots ,p}$

ثم استبدل${\displaystyle e(n)}$مع تعريف إشارة الخطأ

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\lambda ^{n-i}\left[d(i)-\sum _{\ell =0}^{p}w_{n}(\ell )x(i-\ell )\right]x(i-k)=0\qquad k=0,1,\ldots ,p}$

بإعادة ترتيب المعادلة ينتج

${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{p}w_{n}(\ell )\left[\sum _{i=0}^{n}\lambda ^{n-i}\,x(i-\ell )x(i-k)\right]=\sum _{i=0}^{n}\lambda ^{n-i}d(i)x(i-k)\qquad k=0,1,\ldots ,p}$

يمكن التعبير عن هذا الشكل بدلالة المصفوفات

${\displaystyle \mathbf {R} _{x}(n)\,\mathbf {w} _{n}=\mathbf {r} _{dx}(n)}$

أين${\displaystyle \mathbf {R} _{x}(n)}$هي مصفوفة التغاير الموزون للعينة لـ${\displaystyle x(n)}$، و${\displaystyle \mathbf {r} _{dx}(n)}$وهو التقدير المكافئ للتغاير المتبادل بين${\displaystyle d(n)}$و${\displaystyle x(n)}$بناءً على هذا التعبير، نجد المعاملات التي تقلل دالة التكلفة كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {w} _{n}=\mathbf {R} _{x}^{-1}(n)\,\mathbf {r} _{dx}(n)}$

هذه هي النتيجة الرئيسية للمناقشة.

أسفرت المناقشة عن معادلة واحدة لتحديد متجه المعاملات الذي يقلل دالة التكلفة. في هذا القسم، نريد اشتقاق حل تكراري على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {w} _{n}=\mathbf {w} _{n-1}+\Delta \mathbf {w} _{n-1}}$

أين${\displaystyle \Delta \mathbf {w} _{n-1}}$هو عامل تصحيح في وقت${\displaystyle {n-1}}$نبدأ اشتقاق الخوارزمية التكرارية بالتعبير عن التغاير المتقاطع${\displaystyle \mathbf {r} _{dx}(n)}$من ناحية${\displaystyle \mathbf {r} _{dx}(n-1)}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{dx}(n)}$	${\displaystyle =\sum _{i=0}^{n}\lambda ^{n-i}d(i)\mathbf {x} (i)}$
	${\displaystyle =\sum _{i=0}^{n-1}\lambda ^{n-i}d(i)\mathbf {x} (i)+\lambda ^{0}d(n)\mathbf {x} (n)}$
	${\displaystyle =\lambda \mathbf {r} _{dx}(n-1)+d(n)\mathbf {x} (n)}$

أين${\displaystyle \mathbf {x} (i)}$هو${\displaystyle {p+1}}$متجه البيانات متعدد الأبعاد

${\displaystyle \mathbf {x} (i)=[x(i),x(i-1),\dots ,x(i-p)]^{T}}$

وبالمثل نعبر${\displaystyle \mathbf {R} _{x}(n)}$من ناحية${\displaystyle \mathbf {R} _{x}(n-1)}$بواسطة

${\displaystyle \mathbf {R} _{x}(n)}$	${\displaystyle =\sum _{i=0}^{n}\lambda ^{n-i}\mathbf {x} (i)\mathbf {x} ^{T}(i)}$
	${\displaystyle =\lambda \mathbf {R} _{x}(n-1)+\mathbf {x} (n)\mathbf {x} ^{T}(n)}$

من أجل توليد متجه المعاملات، نهتم بمعكوس مصفوفة التغاير الذاتي الحتمية. ولتحقيق هذه المهمة، تُعدّ متطابقة مصفوفة وودبري مفيدة.

${\displaystyle A}$	${\displaystyle =\lambda \mathbf {R} _{x}(n-1)}$يكون${\displaystyle (p+1)}$-بواسطة-${\displaystyle (p+1)}$
${\displaystyle U}$	${\displaystyle =\mathbf {x} (n)}$يكون${\displaystyle (p+1)}$-بمضاعفة-1 (متجه عمودي)
${\displaystyle V}$	${\displaystyle =\mathbf {x} ^{T}(n)}$هو 1×${\displaystyle (p+1)}$(متجه صفي)
${\displaystyle C}$	${\displaystyle =\mathbf {I} _{1}}$هي مصفوفة الوحدة 1×1

تتبع هوية مصفوفة وودبري

${\displaystyle \mathbf {R} _{x}^{-1}(n)}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left[\lambda \mathbf {R} _{x}(n-1)+\mathbf {x} (n)\mathbf {x} ^{T}(n)\right]^{-1}}$
	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{\lambda }}\left\lbrace \mathbf {R} _{x}^{-1}(n-1)-{\dfrac {\mathbf {R} _{x}^{-1}(n-1)\mathbf {x} (n)\mathbf {x} ^{T}(n)\mathbf {R} _{x}^{-1}(n-1)}{\lambda +\mathbf {x} ^{T}(n)\mathbf {R} _{x}^{-1}(n-1)\mathbf {x} (n)}}\right\rbrace }$
		${\displaystyle }$

تماشياً مع الأدبيات القياسية، نُعرّف

${\displaystyle \mathbf {P} (n)}$	${\displaystyle =\mathbf {R} _{x}^{-1}(n)}$
	${\displaystyle =\lambda ^{-1}\mathbf {P} (n-1)-\mathbf {g} (n)\mathbf {x} ^{T}(n)\lambda ^{-1}\mathbf {P} (n-1)}$

حيث متجه الكسب${\displaystyle g(n)}$يكون

${\displaystyle \mathbf {g} (n)}$	${\displaystyle =\lambda ^{-1}\mathbf {P} (n-1)\mathbf {x} (n)\left\{1+\mathbf {x} ^{T}(n)\lambda ^{-1}\mathbf {P} (n-1)\mathbf {x} (n)\right\}^{-1}}$
	${\displaystyle =\mathbf {P} (n-1)\mathbf {x} (n)\left\{\lambda +\mathbf {x} ^{T}(n)\mathbf {P} (n-1)\mathbf {x} (n)\right\}^{-1}}$

قبل أن ننتقل إلى الخطوة التالية، من الضروري أن نذكر${\displaystyle \mathbf {g} (n)}$إلى شكل آخر

${\displaystyle \mathbf {g} (n)\left\{1+\mathbf {x} ^{T}(n)\lambda ^{-1}\mathbf {P} (n-1)\mathbf {x} (n)\right\}}$	${\displaystyle =\lambda ^{-1}\mathbf {P} (n-1)\mathbf {x} (n)}$
${\displaystyle \mathbf {g} (n)+\mathbf {g} (n)\mathbf {x} ^{T}(n)\lambda ^{-1}\mathbf {P} (n-1)\mathbf {x} (n)}$	${\displaystyle =\lambda ^{-1}\mathbf {P} (n-1)\mathbf {x} (n)}$

بطرح الحد الثاني من الطرف الأيسر نحصل على

${\displaystyle \mathbf {g} (n)}$	${\displaystyle =\lambda ^{-1}\mathbf {P} (n-1)\mathbf {x} (n)-\mathbf {g} (n)\mathbf {x} ^{T}(n)\lambda ^{-1}\mathbf {P} (n-1)\mathbf {x} (n)}$
	${\displaystyle =\lambda ^{-1}\left[\mathbf {P} (n-1)-\mathbf {g} (n)\mathbf {x} ^{T}(n)\mathbf {P} (n-1)\right]\mathbf {x} (n)}$

مع التعريف التكراري لـ${\displaystyle \mathbf {P} (n)}$الشكل المطلوب يتبع

${\displaystyle \mathbf {g} (n)=\mathbf {P} (n)\mathbf {x} (n)}$

الآن نحن جاهزون لإكمال عملية التكرار. كما تم شرحه

${\displaystyle \mathbf {w} _{n}}$	${\displaystyle =\mathbf {P} (n)\,\mathbf {r} _{dx}(n)}$
	${\displaystyle =\lambda \mathbf {P} (n)\,\mathbf {r} _{dx}(n-1)+d(n)\mathbf {P} (n)\,\mathbf {x} (n)}$

وتنتج الخطوة الثانية من التعريف التكراري لـ${\displaystyle \mathbf {r} _{dx}(n)}$ثم نُدمج التعريف التكراري لـ${\displaystyle \mathbf {P} (n)}$بالإضافة إلى الشكل البديل لـ${\displaystyle \mathbf {g} (n)}$واحصل على

${\displaystyle \mathbf {w} _{n}}$	${\displaystyle =\lambda \left[\lambda ^{-1}\mathbf {P} (n-1)-\mathbf {g} (n)\mathbf {x} ^{T}(n)\lambda ^{-1}\mathbf {P} (n-1)\right]\mathbf {r} _{dx}(n-1)+d(n)\mathbf {g} (n)}$
	${\displaystyle =\mathbf {P} (n-1)\mathbf {r} _{dx}(n-1)-\mathbf {g} (n)\mathbf {x} ^{T}(n)\mathbf {P} (n-1)\mathbf {r} _{dx}(n-1)+d(n)\mathbf {g} (n)}$
	${\displaystyle =\mathbf {P} (n-1)\mathbf {r} _{dx}(n-1)+\mathbf {g} (n)\left[d(n)-\mathbf {x} ^{T}(n)\mathbf {P} (n-1)\mathbf {r} _{dx}(n-1)\right]}$

مع${\displaystyle \mathbf {w} _{n-1}=\mathbf {P} (n-1)\mathbf {r} _{dx}(n-1)}$نصل إلى معادلة التحديث

${\displaystyle \mathbf {w} _{n}}$	${\displaystyle =\mathbf {w} _{n-1}+\mathbf {g} (n)\left[d(n)-\mathbf {x} ^{T}(n)\mathbf {w} _{n-1}\right]}$
	${\displaystyle =\mathbf {w} _{n-1}+\mathbf {g} (n)\alpha (n)}$

أين${\displaystyle \alpha (n)=d(n)-\mathbf {x} ^{T}(n)\mathbf {w} _{n-1}}$ هذا هو الخطأ المسبق . قارن هذا بالخطأ اللاحق ؛ وهو الخطأ المحسوب بعد تحديث المرشح:

${\displaystyle e(n)=d(n)-\mathbf {x} ^{T}(n)\mathbf {w} _{n}}$

هذا يعني أننا وجدنا عامل التصحيح

${\displaystyle \Delta \mathbf {w} _{n-1}=\mathbf {g} (n)\alpha (n)}$

تشير هذه النتيجة المُرضية حدسياً إلى أن عامل التصحيح يتناسب طردياً مع كل من الخطأ ومتجه الكسب، الذي يتحكم في مقدار الحساسية المطلوبة، من خلال عامل الترجيح.${\displaystyle \lambda }$.

يمكن تلخيص خوارزمية RLS لمرشح RLS من الرتبة p على النحو التالي

حدود:	${\displaystyle p=}$طلب فلتر
	${\displaystyle \lambda =}$عامل النسيان
	${\displaystyle \delta =}$القيمة المراد تهيئتها${\displaystyle \mathbf {P} (0)}$
التهيئة:	${\displaystyle \mathbf {w} (0)=0}$،
	${\displaystyle x(k)=0,k=-p,\dots ,-1}$،
	${\displaystyle d(k)=0,k=-p,\dots ,-1}$
	${\displaystyle \mathbf {P} (0)=\delta I}$أين${\displaystyle I}$هي مصفوفة الوحدة من الرتبة${\displaystyle p+1}$
حساب:	ل${\displaystyle n=1,2,\dots }$
	${\displaystyle \mathbf {x} (n)=\left[{\begin{matrix}x(n)\\x(n-1)\\\vdots \\x(n-p)\end{matrix}}\right]}$
	${\displaystyle \alpha (n)=d(n)-\mathbf {x} ^{T}(n)\mathbf {w} (n-1)}$
	${\displaystyle \mathbf {g} (n)=\mathbf {P} (n-1)\mathbf {x} (n)\left\{\lambda +\mathbf {x} ^{T}(n)\mathbf {P} (n-1)\mathbf {x} (n)\right\}^{-1}}$
	${\displaystyle \mathbf {P} (n)=\lambda ^{-1}\mathbf {P} (n-1)-\mathbf {g} (n)\mathbf {x} ^{T}(n)\lambda ^{-1}\mathbf {P} (n-1)}$
	${\displaystyle \mathbf {w} (n)=\mathbf {w} (n-1)+\,\alpha (n)\mathbf {g} (n)}$.

التكرار لـ${\displaystyle P}$يتبع معادلة ريكاتي الجبرية ، وبالتالي يرسم أوجه تشابه مع مرشح كالمان . ^{[ 3 ]}

يرتبط مرشح المربعات الصغرى التكيفي المتكرر الشبكي بخوارزمية المربعات الصغرى المتكررة القياسية، إلا أنه يتطلب عمليات حسابية أقل (من الرتبة N ) . [ 4 ^{] ويوفر مزايا} إضافية مقارنةً بخوارزميات المربعات الصغرى التقليدية، مثل سرعة التقارب، والبنية المعيارية، وعدم التأثر بتغيرات انتشار القيم الذاتية لمصفوفة الارتباط المدخلة. تعتمد خوارزمية المربعات الصغرى المتكررة الشبكية الموصوفة على الأخطاء اللاحقة ، وتتضمن الشكل المعياري. ويشابه الاشتقاق خوارزمية المربعات الصغرى المتكررة القياسية، ويستند إلى تعريف${\displaystyle d(k)\,\!}$في حالة التنبؤ الأمامي، لدينا${\displaystyle d(k)=x(k)\,\!}$مع إشارة الإدخال${\displaystyle x(k-1)\,\!}$باعتبارها أحدث عينة. حالة التنبؤ العكسي هي${\displaystyle d(k)=x(k-i-1)\,\!}$، حيث يمثل i فهرس العينة في الماضي التي نريد التنبؤ بها، وإشارة الإدخال${\displaystyle x(k)\,\!}$وهي أحدث عينة. ^{[ 5 ]}

ملخص خوارزمية LRLS

يمكن تلخيص خوارزمية مرشح LRLS على النحو التالي

التهيئة:
	ل${\textstyle i=0,1,\ldots ,N}$
	${\displaystyle \delta (-1,i)=\delta _{D}(-1,i)=0\,\!}$(لو${\textstyle x(k)=0}$ل${\textstyle k<0}$)
	${\displaystyle \xi _{b_{\min }}^{d}(-1,i)=\xi _{f_{\min }}^{d}(-1,i)=\varepsilon }$
	${\displaystyle \gamma (-1,i)=1\,\!}$
	${\displaystyle e_{b}(-1,i)=0\,\!}$
	نهاية
حساب:
	ل${\textstyle k\geq 0}$
	${\displaystyle \gamma (k,0)=1\,\!}$
	${\displaystyle e_{b}(k,0)=e_{f}(k,0)=x(k)\,\!}$
	${\displaystyle \xi _{b_{\min }}^{d}(k,0)=\xi _{f_{\min }}^{d}(k,0)=x^{2}(k)+\lambda \xi _{f_{\min }}^{d}(k-1,0)\,\!}$
	${\displaystyle e(k,0)=d(k)\,\!}$
	ل${\textstyle i=0,1,\ldots ,N}$
	${\displaystyle \delta (k,i)=\lambda \delta (k-1,i)+{\frac {e_{b}(k-1,i)e_{f}(k,i)}{\gamma (k-1,i)}}}$
	${\displaystyle \gamma (k,i+1)=\gamma (k,i)-{\frac {e_{b}^{2}(k,i)}{\xi _{b_{\min }}^{d}(k,i)}}}$
	${\displaystyle \kappa _{b}(k,i)={\frac {\delta (k,i)}{\xi _{f_{\min }}^{d}(k,i)}}}$
	${\displaystyle \kappa _{f}(k,i)={\frac {\delta (k,i)}{\xi _{b_{\min }}^{d}(k-1,i)}}}$
	${\displaystyle e_{b}(k,i+1)=e_{b}(k-1,i)-\kappa _{b}(k,i)e_{f}(k,i)\,\!}$
	${\displaystyle e_{f}(k,i+1)=e_{f}(k,i)-\kappa _{f}(k,i)e_{b}(k-1,i)\,\!}$
	${\displaystyle \xi _{b_{\min }}^{d}(k,i+1)=\xi _{b_{\min }}^{d}(k-1,i)-\delta (k,i)\kappa _{b}(k,i)}$
	${\displaystyle \xi _{f_{\min }}^{d}(k,i+1)=\xi _{f_{\min }}^{d}(k,i)-\delta (k,i)\kappa _{f}(k,i)}$
	التصفية الأمامية
	${\displaystyle \delta _{D}(k,i)=\lambda \delta _{D}(k-1,i)+{\frac {e(k,i)e_{b}(k,i)}{\gamma (k,i)}}}$
	${\displaystyle v_{i}(k)={\frac {\delta _{D}(k,i)}{\xi _{b_{\min }}^{d}(k,i)}}}$
	${\displaystyle e(k,i+1)=e(k,i)-v_{i}(k)e_{b}(k,i)\,\!}$
	نهاية
	نهاية

يحتوي الشكل المُعَيَّر لخوارزمية المربعات الصغرى ذات الانحدار الخطي (LRLS) على عدد أقل من التكرارات والمتغيرات. ويمكن حسابه بتطبيق عملية تطبيع على المتغيرات الداخلية للخوارزمية، مما يحافظ على قيمها ضمن نطاق الواحد. لا يُستخدم هذا الشكل عادةً في التطبيقات الآنية نظرًا لكثرة عمليات القسمة والجذر التربيعي، مما يُؤدي إلى عبء حسابي كبير.

ملخص خوارزمية NLRLS

يمكن تلخيص خوارزمية مرشح NLRLS على النحو التالي

التهيئة:
	ل${\textstyle i=0,1,\ldots ,N.}$
	${\displaystyle {\overline {\delta }}(-1,i)=0\,\!}$(لو${\textstyle x(k)=d(k)=0}$ل${\textstyle k<0}$)
	${\displaystyle {\overline {\delta }}_{D}(-1,i)=0\,\!}$
	${\displaystyle {\overline {e}}_{b}(-1,i)=0\,\!}$
	نهاية
	${\displaystyle \sigma _{x}^{2}(-1)=\lambda \sigma _{d}^{2}(-1)=\varepsilon \,\!}$
حساب:
	ل${\textstyle k\geq 0}$
	${\displaystyle \sigma _{x}^{2}(k)=\lambda \sigma _{x}^{2}(k-1)+x^{2}(k)\,\!}$(طاقة إشارة الإدخال)
	${\displaystyle \sigma _{d}^{2}(k)=\lambda \sigma _{d}^{2}(k-1)+d^{2}(k)\,\!}$(طاقة الإشارة المرجعية)
	${\displaystyle {\overline {e}}_{b}(k,0)={\overline {e}}_{f}(k,0)={\frac {x(k)}{\sigma _{x}(k)}}\,\!}$
	${\displaystyle {\overline {e}}(k,0)={\frac {d(k)}{\sigma _{d}(k)}}\,\!}$
	ل${\textstyle i=0,1,\ldots ,N}$
	${\displaystyle {\overline {\delta }}(k,i)=\delta (k-1,i){\sqrt {(1-{\overline {e}}_{b}^{2}(k-1,i))(1-{\overline {e}}_{f}^{2}(k,i))}}+{\overline {e}}_{b}(k-1,i){\overline {e}}_{f}(k,i)}$
	${\displaystyle {\overline {e}}_{b}(k,i+1)={\frac {{\overline {e}}_{b}(k-1,i)-{\overline {\delta }}(k,i){\overline {e}}_{f}(k,i)}{\sqrt {(1-{\overline {\delta }}^{2}(k,i))(1-{\overline {e}}_{f}^{2}(k,i))}}}}$
	${\displaystyle {\overline {e}}_{f}(k,i+1)={\frac {{\overline {e}}_{f}(k,i)-{\overline {\delta }}(k,i){\overline {e}}_{b}(k-1,i)}{\sqrt {(1-{\overline {\delta }}^{2}(k,i))(1-{\overline {e}}_{b}^{2}(k-1,i))}}}}$
	مرشح التغذية الأمامية
	${\displaystyle {\overline {\delta }}_{D}(k,i)={\overline {\delta }}_{D}(k-1,i){\sqrt {(1-{\overline {e}}_{b}^{2}(k,i))(1-{\overline {e}}^{2}(k,i))}}+{\overline {e}}(k,i){\overline {e}}_{b}(k,i)}$
	${\displaystyle {\overline {e}}(k,i+1)={\frac {1}{\sqrt {(1-{\overline {e}}_{b}^{2}(k,i))(1-{\overline {\delta }}_{D}^{2}(k,i))}}}[{\overline {e}}(k,i)-{\overline {\delta }}_{D}(k,i){\overline {e}}_{b}(k,i)]}$
	نهاية
	نهاية

• مرشح تكيفي
• مرشح تكيفي للنواة
• مرشح المربعات الصغرى
• معادل إجباري صفري

• هايز، مونسون هـ. (1996). "9.4: المربعات الصغرى المتكررة". معالجة الإشارات الرقمية الإحصائية والنمذجة . وايلي. ص  541. ISBN 0-471-59431-8.
• سايمون هايكين، نظرية المرشحات التكيفية ، برنتيس هول، 2002، رقم ISBN 0-13-048434-2
• إم إتش إيه ديفيس، آر بي فينتر، النمذجة والتحكم العشوائي ، سبرينغر، 1985، رقم ISBN 0-412-16200-8
• ويفنغ ليو، خوسيه برينسيبي، وسيمون هايكين، الترشيح التكيفي باستخدام النواة: مقدمة شاملة ، جون وايلي، 2010، رقم ISBN 0-470-44753-2
• آر إل بلاكيت، بعض النظريات في المربعات الصغرى ، بيومتريكا، 1950، 37، 149-157، الرقم الدولي الموحد للدوريات 0006-3444 
• CFGauss، Theoria Combinationis Observatoryum erroribus minimis obnoxiae ، 1821، Werke، 4. غوتينج