معادلة ريكاتي الجبرية

معادلة ريكاتي الجبرية هي نوع من المعادلات غير الخطية التي تنشأ في سياق مشاكل التحكم الأمثل ذات الأفق اللانهائي في الوقت المستمر أو الوقت المتقطع .

تتشابه معادلة ريكاتي الجبرية النموذجية مع إحدى المعادلات التالية:

معادلة ريكاتي الجبرية للزمن المستمر (CARE):

$${\displaystyle A^{\top }P+PA-PBR^{-1}B^{\top }P+Q=0}$$

أو معادلة ريكاتي الجبرية المنفصلة زمنياً (DARE):

$${\displaystyle P=A^{\top }PA-(A^{\top }PB)(R+B^{\top }PB)^{-1}(B^{\top }PA)+Q.}$$

P هي المصفوفة المتناظرة المجهولة من الرتبة n × n و A و B و Q و R هي مصفوفات معاملات حقيقية معروفة ، مع كون Q و R متناظرتين.

على الرغم من أن هذه المعادلة يمكن أن يكون لها العديد من الحلول بشكل عام، إلا أنه عادة ما يتم تحديد أننا نريد الحصول على الحل المستقر الفريد، إذا كان هذا الحل موجودًا.

يُطلق على هذه المعادلات اسم ريكاتي نسبةً إلى علاقتها بمعادلة ريكاتي التفاضلية . في الواقع، يتم التحقق من صحة معادلة ريكاتي الجبرية ذات القيم المصفوفية (CARE) من خلال الحلول الثابتة زمنيًا لهذه المعادلة. أما بالنسبة لمعادلة ريكاتي الجبرية ذات الزمن المتقطع (DARE)، فيتم التحقق من صحتها من خلال الحلول الثابتة زمنيًا لمعادلة ريكاتي التفاضلية ذات القيم المصفوفية (وهي نظير معادلة ريكاتي التفاضلية في سياق LQR ذي الزمن المتقطع).

في مسائل التحكم الأمثل ذات الأفق الزمني اللانهائي ، يهتم الباحث بقيمة متغير معين في أي وقت في المستقبل، وعليه اختيار قيمة مثلى لهذا المتغير في الوقت الحالي، مع العلم أنه سيتصرف على النحو الأمثل في جميع الأوقات المستقبلية. يمكن إيجاد القيم المثلى الحالية لمتغيرات التحكم في المسألة في أي وقت باستخدام حل معادلة ريكاتي والملاحظات الحالية على متغيرات الحالة المتغيرة. في حالة وجود متغيرات حالة ومتغيرات تحكم متعددة، تصبح معادلة ريكاتي معادلة مصفوفية .

تحدد معادلة ريكاتي الجبرية حل مسألة منظم التربيع الخطي الثابت زمنيًا ذي الأفق اللانهائي (LQR)، وكذلك حل مسألة التحكم الغاوسي التربيعي الثابت زمنيًا ذي الأفق اللانهائي (LQG). هاتان المسألتان من أهم المسائل الأساسية في نظرية التحكم .

تتمثل المواصفات النموذجية لمسألة التحكم الخطي التربيعي في الزمن المتقطع في تقليل

$${\displaystyle \sum _{t=1}^{T}(x_{t}^{\top }Qx_{t}+u_{t}^{\top }Ru_{t})}$$

رهناً بمعادلة الحالة

$${\displaystyle x_{t}=Ax_{t-1}+Bu_{t-1},}$$

حيث x هو متجه n × 1 لمتغيرات الحالة، و u هو متجه k × 1 لمتغيرات التحكم، و A هي مصفوفة انتقال الحالة n × n ، و B هي مصفوفة n × k لمضاعفات التحكم، و Q ( n × n ) هي مصفوفة تكلفة الحالة شبه الموجبة المتناظرة ، و R ( k × k ) هي مصفوفة تكلفة التحكم الموجبة المتناظرة.

يمكن استخدام الاستقراء العكسي في الزمن للحصول على حل التحكم الأمثل في كل وقت، ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle u_{t}^{*}=-(B^{\top }P_{t+1}B+R)^{-1}(B^{\top }P_{t+1}A)x_{t},}$$

مع مصفوفة التكلفة المتناظرة الموجبة المحددة P التي تتطور عكسيًا في الزمن من P _T = Q وفقًا لـ

$${\displaystyle P_{t-1}=Q+A^{\top }P_{t}AA^{\top }P_{t}B(B^{\top }P_{t}B+R)^{-1}B^{\top }P_{t}A,\,}$$

وهي ما تُعرف بمعادلة ريكاتي الديناميكية ذات الزمن المتقطع لهذه المسألة. ويمكن إيجاد خصائص الحالة المستقرة لـ P ، ذات الصلة بمسألة الأفق اللانهائي حيث يؤول T إلى اللانهاية، عن طريق تكرار المعادلة الديناميكية مرارًا وتكرارًا حتى تتقارب؛ ثم يتم تحديد خصائص P عن طريق حذف مؤشرات الزمن من المعادلة الديناميكية.

عادةً ما تحاول برامج حل المعادلات إيجاد الحل الوحيد المُستقر، إن وُجد. يُعتبر الحل مُستقرًا إذا كان استخدامه للتحكم في نظام LQR المرتبط به يُؤدي إلى استقرار النظام ذي الحلقة المغلقة.

بالنسبة للرعاية، فإن التحكم هو $${\displaystyle K=R^{-1}B^{\top }P}$$ ومصفوفة نقل الحالة ذات الحلقة المغلقة هي $${\displaystyle A-BK=A-BR^{-1}B^{\top }P}$$ والتي تكون مستقرة إذا وفقط إذا كانت جميع قيمها الذاتية لها جزء حقيقي سالب تمامًا.

بالنسبة لاختبار DARE، فإن التحكم هو $${\displaystyle K=(R+B^{\top }PB)^{-1}B^{\top }PA}$$ ومصفوفة نقل الحالة ذات الحلقة المغلقة هي $${\displaystyle A-BK=AB(R+B^{\top }PB)^{-1}B^{\top }PA}$$ والتي تكون مستقرة إذا وفقط إذا كانت جميع قيمها الذاتية تقع داخل دائرة الوحدة في المستوى المركب .

يمكن إيجاد حل لمعادلة ريكاتي الجبرية عن طريق تحليل المصفوفات أو عن طريق تكرار معادلة ريكاتي. في حالة الزمن المتقطع، يمكن الحصول على أحد أنواع التكرار باستخدام معادلة ريكاتي الديناميكية التي تظهر في مسألة الأفق الزمني المحدود: في هذا النوع الأخير من المسائل، يكون كل تكرار لقيمة المصفوفة ذا صلة بالاختيار الأمثل في كل فترة زمنية تقع على مسافة زمنية محدودة من الفترة الزمنية النهائية، وإذا تم تكرارها إلى ما لا نهاية في الزمن، فإنها تتقارب إلى المصفوفة المحددة ذات الصلة بالاختيار الأمثل لفترة زمنية لا نهائية قبل الفترة النهائية - أي عندما يكون الأفق الزمني لا نهائيًا.

من الممكن أيضًا إيجاد الحل من خلال إيجاد تحليل القيم الذاتية لنظام أكبر. بالنسبة لـ CARE، نُعرّف مصفوفة هاميلتون.$${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}A&-BR^{-1}B^{\top }\\-Q&-A^{\top }\end{pmatrix}}}$$ بما أن Z مصفوفة هاميلتونية، فإذا لم يكن لها أي قيم ذاتية على المحور التخيلي، فإن نصف قيمها الذاتية بالضبط لها جزء حقيقي سالب. إذا رمزنا للمصفوفة 2n × n التي تشكل أعمدتها أساسًا للفضاء الجزئي المقابل، باستخدام ترميز المصفوفات الكتلية، بـ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}U_{1,1}\\U_{2,1}\end{pmatrix}}}$$ ثم $${\displaystyle P=U_{2,1}U_{1,1}^{-1}}$$ هو حل لمعادلة ريكاتي؛ علاوة على ذلك، فإن القيم الذاتية لـ${\displaystyle A-BR^{-1}B^{\top }P}$هي القيم الذاتية لـ Z ذات الجزء الحقيقي السالب.

بالنسبة لـ DARE، عندما تكون A قابلة للعكس، فإننا نُعرّف المصفوفة التبادلية$${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}A+BR^{-1}B^{\top }(A^{-1})^{\top }Q&-BR^{-1}B^{\top }(A^{-1})^{\top }\\-(A^{-1})^{\top }Q&(A^{-1})^{\top }\end{pmatrix}}}$$ بما أن Z متماثلة، فإذا لم يكن لها أي قيم ذاتية على دائرة الوحدة، فإن نصف قيمها الذاتية تقع داخل دائرة الوحدة. إذا رمزنا للمصفوفة 2n × n التي تشكل أعمدتها أساسًا للفضاء الجزئي المقابل، باستخدام ترميز المصفوفات الكتلية، بـ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}U_{1,1}\\U_{2,1}\end{pmatrix}}}$$ حيث ينتج U _1,1 و U _2,1 من عملية التفكيك ^{[ 2 ]}$${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}U_{1,1}&U_{1,2}\\U_{2,1}&U_{2,2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Lambda _{1,1}&\Lambda _{1,2}\\0&\Lambda _{2,2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1,1}^{\top }&U_{2,1}^{\top }\\U_{1,2}^{\top }&U_{2,2}^{\top }\end{pmatrix}}}$$ ثم $${\displaystyle P=U_{2,1}U_{1,1}^{-1}}$$ هو حل لمعادلة ريكاتي؛ علاوة على ذلك، فإن القيم الذاتية لـ${\displaystyle AB(R+B^{\top }PB)^{-1}B^{\top }PA}$هي القيم الذاتية لـ Z التي تقع داخل دائرة الوحدة.

• معادلة ليابونوف
• تحلل شور
• معادلة سيلفستر

• بيتر لانكستر؛ ليبا رودمان (1995)، معادلات ريكاتي الجبرية ، مطبعة جامعة أكسفورد ، ص  504، ISBN 0-19-853795-6
• آلان ج. لاوب، "طريقة شور لحل معادلات ريكاتي الجبرية" ، مختبر المعلومات وأنظمة القرار، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (التقرير LIDS-R-859).

• أداة حل CARE هي مساعدة من صندوق أدوات التحكم في MATLAB.
• أداة حل DARE المساعدة في صندوق أدوات التحكم MATLAB.
• برنامج حل CARE عبر الإنترنت للمصفوفات ذات الأحجام العشوائية.
• حلول Python CARE و DARE.
• دالة في برنامج Mathematica لحل معادلة ريكاتي الجبرية ذات الزمن المستمر.
• دالة Mathematica لحل معادلة ريكاتي الجبرية ذات الزمن المتقطع.