شكل صفوف متدرجة

في الجبر الخطي ، تكون المصفوفة في شكل صفوف متدرجة إذا أمكن الحصول عليها كنتيجة لعملية حذف غاوس . يمكن تحويل أي مصفوفة إلى شكل صفوف متدرجة بتطبيق سلسلة من عمليات الصفوف الأولية . مصطلح " متدرجة " مشتق من الكلمة الفرنسية " échelon " (وتعني "مستوى" أو "درجة سلم")، ويشير إلى أن العناصر غير الصفرية في المصفوفة في شكل صفوف متدرجة تشبه درجات السلم.

بالنسبة للمصفوفات المربعة ، تكون المصفوفة المثلثية العليا ذات العناصر غير الصفرية على القطر الرئيسي في شكل صفوف متدرجة، والمصفوفة في شكل صفوف متدرجة تكون (ضعيفة) مثلثية عليا. وبالتالي، يمكن اعتبار شكل الصفوف المتدرجة تعميمًا للشكل المثلثي العلوي للمصفوفات المستطيلة.

تكون المصفوفة في شكل صفوف مختزل إذا كانت في شكل صفوف مختزل، مع خاصية إضافية تتمثل في أن أول عنصر غير صفري في كل صف يساوي${\displaystyle 1}$وهو العنصر الوحيد غير الصفري في عموده. يُعدّ الشكل المختزل للصفوف للمصفوفة فريدًا ولا يعتمد على تسلسل عمليات الصفوف الأولية المستخدمة للحصول عليه. يُطلق على نوع محدد من حذف غاوس الذي يحوّل المصفوفة إلى الشكل المختزل للصفوف أحيانًا اسم حذف غاوس-جوردان .

تكون المصفوفة في شكل عمودي متدرج إذا كانت منقولتها في شكل صفي متدرج. وبما أنه يمكن استنتاج جميع خصائص الأشكال العمودية المتدرجة مباشرةً من الخصائص المقابلة لها في الأشكال الصفية المتدرجة، فسيتم التركيز في بقية المقال على الأشكال الصفية المتدرجة فقط.

تكون المصفوفة في شكل صفوف متدرجة إذا

• جميع الصفوف التي تحتوي على صفر من المدخلات موجودة في الأسفل. ^{[ 1 ]}
• المدخل الرئيسي (أي المدخل الأيسر غير الصفري) لكل صف غير صفري، والذي يسمى المحور ، يقع على يمين المدخل الرئيسي لكل صف أعلى منه. ^{[ 2 ]}

تضيف بعض النصوص شرط أن يكون المعامل الرئيسي 1 ^{[ 3 ]} بينما تتطلب نصوص أخرى ذلك فقط في شكل الصف المختزل .

هذان الشرطان يعنيان أن جميع القيم في العمود أسفل المعامل الرئيسي هي أصفار. ^{[ 4 ]}

فيما يلي مثال على${\displaystyle 4\times 5}$المصفوفة في شكل صفوف متدرجة، ولكن ليس في شكل صفوف متدرجة مختزل:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\\0&0&0&0&0\end{array}}\right]}$

يمكن استنتاج العديد من خصائص المصفوفات بسهولة من شكلها الصفّي، مثل الرتبة والنواة .

تكون المصفوفة في شكل الصف المختزل (يسمى أيضًا شكل الصف القانوني ) إذا كانت تحقق الشروط التالية: ^{[ 5 ]}

• وهو على شكل صفوف متدرجة.
• القيمة الأولى في كل صف غير صفري هي 1 (وتسمى القيمة الأولى).
• كل عمود يحتوي على الرقم 1 في بدايته يحتوي على أصفار في جميع إدخالاته الأخرى.

إذا تحققت الشروط الأولى والثانية، فإن الشرط الأخير يعادل ما يلي:

• يحتوي كل عمود يبدأ بالرقم 1 على أصفار في جميع الإدخالات التي تسبق الرقم 1 .

على الرغم من أن المصفوفة قد يكون لها عدة أشكال متدرجة، إلا أن شكلها المتدرج المختزل فريد من نوعه. ^{[ 6 ]}

إذا كانت لدينا مصفوفة في شكل صفوف مختزلة، وقمنا بتبديل الأعمدة بحيث يكون العنصر الأول (1) من الصف i موجودًا في العمود i ، فسنحصل على مصفوفة بالشكل التالي:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&X\\0&0\end{pmatrix}},}$

حيث I هي مصفوفة الوحدة ذات البعد ${\displaystyle j}$بما أن رتبة X تساوي رتبة المصفوفة بأكملها، فإن X هي مصفوفة ذات${\displaystyle j}$صفوف و${\displaystyle nj}$الأعمدة، والصفران هما مصفوفتان صفريتان بحجم مناسب. بما أن تبديل الأعمدة ليس عملية صفية، فإن المصفوفة الناتجة غير متكافئة في ظل العمليات الصفية الأولية. في طريقة الحذف الغاوسي، يتوافق هذا مع تبديل المجاهيل في النظام الخطي الأصلي الذي يسمح بتمثيل خطي لفضاء الصف، حيث يكون الأول${\displaystyle j}$المعاملات غير مقيدة، والباقي${\displaystyle nj}$يتم تحديدها كمجموعات خطية من هذه.

يُقال إن نظام المعادلات الخطية مكتوبٌ بصيغة الصفوف المختزلة إذا كانت مصفوفته الموسعة مكتوبةً بصيغة الصفوف المختزلة. وبالمثل، يُقال إن نظام المعادلات الخطية مكتوبٌ بصيغة الصفوف المختزلة المختزلة أو بالصيغة القانونية إذا كانت مصفوفته الموسعة مكتوبةً بصيغة الصفوف المختزلة المختزلة.

يمكن اعتبار الصيغة القانونية حلاً صريحاً للنظام الخطي. في الواقع، يكون النظام غير متسق إذا وفقط إذا اختُزلت إحدى معادلات الصيغة القانونية إلى 0 = 1؛ أي إذا كان هناك 1 في بداية عمود الحدود الثابتة. ^{[ 7 ]} بخلاف ذلك، فإن إعادة تجميع جميع حدود المعادلات في الطرف الأيمن، باستثناء الحدود الرئيسية، يُعبّر عن المتغيرات المقابلة للمحاور كثوابت أو دوال خطية للمتغيرات الأخرى، إن وُجدت.

تُعدّ خوارزمية غاوس للحذف الخوارزمية الرئيسية لتحويل أي مصفوفة إلى مصفوفة في شكل صفوف متدرجة. ويُنتج أحد أنواعها، والذي يُسمى أحيانًا حذف غاوس-جوردان، شكل صفوف متدرجة مُختزل. ويتألف كلا الشكلين من سلسلة محدودة من عمليات الصفوف الأولية ؛ ويبلغ عدد عمليات الصفوف الأولية المطلوبة على الأكثر mn لمصفوفة من الرتبة m × n . ^{[ 8 ]} بالنسبة لمصفوفة معينة، على الرغم من أن شكل الصفوف المتدرجة ليس فريدًا، فإن جميع أشكال الصفوف المتدرجة، بما في ذلك شكل الصفوف المتدرجة المُختزل، لها نفس عدد الصفوف الصفرية وتقع نقاط الارتكاز في نفس المواضع. ^{[ 8 ]}

هذا مثال على مصفوفة في شكل صفوف مخفضة، مما يدل على أن الجزء الأيسر من المصفوفة ليس دائمًا مصفوفة وحدة :

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&a_{2}&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}$

بالنسبة للمصفوفة ذات المعاملات الصحيحة ، فإنّ الصيغة الطبيعية لهرميت هي صيغة صفية متدرجة يمكن حسابها دون إدخال أي مقام، وذلك باستخدام القسمة الإقليدية أو متطابقة بيزو . أما الصيغة المتدرجة المختزلة للمصفوفة ذات المدخلات الصحيحة، فتحتوي عادةً على مدخلات غير صحيحة، وذلك بسبب الحاجة إلى القسمة على معاملها الرئيسي في كل صف من صفوف الصيغة المتدرجة.

تنشأ عدم تفرّد شكل الصفوف المتدرجة للمصفوفة من حقيقة أن بعض عمليات الصفوف الأولية تحوّل مصفوفةً في شكل الصفوف المتدرجة إلى مصفوفة أخرى ( مكافئة ) في نفس الشكل. تشمل هذه العمليات ضرب صف في عدد قياسي غير صفري، وإضافة مضاعف قياسي للصف إلى أحد الصفوف التي تعلوه. على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}{\xrightarrow {\text{أضف الصف 2 إلى الصف 1}}}{\begin{bmatrix}1&4&6\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}$

في هذا المثال، يمكن الحصول على الشكل المختزل الفريد للصفوف عن طريق طرح ثلاثة أضعاف الصف الثاني من الصف الأول  :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}\xrightarrow {{\text{طرح 3}}\times {\text{(الصف 2) من الصف 1}}} {\begin{bmatrix}1&0&-22\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}$

الآن، حدد موقع الأعمدة التي تحتوي على المدخلات الأولى للصفوف المتتالية من a${\displaystyle k\times n}$مصفوفة${\displaystyle A}$في شكل صفوف متدرجة مخفضة (المحاور) كما${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$، مع

${\displaystyle 0<L_{1}\cdots <L_{j}\leq n,}$

أين${\displaystyle j\leq k}$يمثل بُعد فضاء الصفوف للمصفوفة. البيانات${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$سيُطلق عليه شكل${\displaystyle A}$والتي تضم مدخلات رئيسية غير صفرية ${\displaystyle \{A_{i,L_{i}}=1\}_{i=1,\dots ,j}}$، المدخلات في العمود${\displaystyle L_{i}}$تختفي العناصر التي تعلوها وتليها، وكذلك جميع العناصر التي تقع على يسارها ضمن نفس الصف، بالإضافة إلى جميع العناصر في${\displaystyle i}$الصف th لـ${\displaystyle i>j}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{i,L_{i}}=1\qquad &{\text{لـ }}i=1,\dots ,j,\\A_{l,L_{i}}=0\qquad &{\text{لـ }}l\neq i,\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{لـ }}l<L_{i},\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{لـ }}i>j\end{aligned}}.}$

بما أن جميع الإدخالات الأخرى هي عناصر عشوائية من الحقل الأساسي${\displaystyle K}$، المجموعة${\displaystyle A(k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$من جميع المصفوفات ذات الشكل المختزل المتدرج${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$هو فضاء K -affine ذو بُعد ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle {\text{dim}}(A(k,n,L_{1},\dots ,L_{j}))=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.}$

ولتوضيح ذلك، لاحظ أن من${\displaystyle nj}$المدخلات المحتملة للمصفوفة ضمن الأول${\displaystyle j}$صفوف،${\displaystyle j^{2}}$يتم تحديدها على النحو التالي${\displaystyle 0}$'رمل${\displaystyle 1}$لأنها موجودة في الأعمدة${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$يحتوي على المحاور. بالإضافة إلى ذلك ${\displaystyle \sum _{i=1}^{j}(L_{i}-1)}$يُشترط أيضاً أن يكونوا${\displaystyle 0}$لأنها تقع على يسار المحاور، ولكن من بين هذه،

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}i={\frac {1}{2}}j(j-1)}$

وهي موجودة أيضًا في الأعمدة${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$وبالتالي، فإن العدد الإجمالي للمدخلات غير الثابتة يساوي${\displaystyle 0}$أو${\displaystyle 1}$يكون

${\displaystyle nj-j^{2}+{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}+j=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.}$

• ليون، ستيفن ج. (2010)، لينش، ديردري؛ هوفمان، ويليام؛ سيلانو، كارولين (محررون)، الجبر الخطي مع التطبيقات (  الطبعة الثامنة)، بيرسون، ISBN 978-0-13-600929-0يُقال إن المصفوفة في شكل صفوف متدرجة (أ) إذا كان أول عنصر غير صفري في كل صف غير صفري يساوي 1. (ب) إذا لم يكن الصف k يتكون بالكامل من أصفار، فإن عدد العناصر الصفرية الأولى في الصف k يساوي 1.${\displaystyle k+1}$( iii ) إذا كانت هناك صفوف جميع عناصرها أصفار، فإنها تقع أسفل الصفوف التي تحتوي على عناصر غير صفرية ..
• ماير، كارل د. (2000)، تحليل المصفوفات والجبر الخطي التطبيقي ، سيام ، رقم ISBN 978-0-89871-454-8.

• شرح تفاعلي لنموذج صفوف إيشلون من إعداد الدكتورة كاردي تكنومو