قاسم كارتييه الفعال النسبي

في الهندسة الجبرية ، يُعرَّف قاسم كارتييه الفعال النسبي تقريبًا بأنه مجموعة من قواسم كارتييه الفعالة . وبشكل أدق، فإن قاسم كارتييه الفعال في مخطط X على حلقة R هو مخطط فرعي مغلق D من X يكون (1) مسطحًا على R و(2) حزمة مثالية .${\displaystyle I(D)}$تكون الحزمة D خالية محليًا من الرتبة الأولى (أي حزمة قابلة للعكس ). وبالمثل، فإن المخطط الفرعي المغلق D من X هو قاسم كارتييه فعال إذا كان هناك غطاء أفيني مفتوح${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}}$من X والقواسم غير الصفرية${\displaystyle f_{i}\in A_{i}}$بحيث يكون التقاطع${\displaystyle D\cap U_{i}}$يتم تحديده بواسطة المعادلة${\displaystyle f_{i}=0}$(وتسمى المعادلات المحلية) و${\displaystyle A/f_{i}A}$مسطحة على R بحيث تكون متوافقة.

ليكن L حزمة خطية على X وليكن s مقطعًا منها بحيث${\displaystyle s:{\mathcal {O}}_{X}\hookrightarrow L}$(بمعنى آخر، s هو${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$- عنصر منتظم لأي مجموعة جزئية مفتوحة U. )

اختر غطاءً مفتوحًا${\displaystyle \{U_{i}\}}$من X بحيث${\displaystyle L|_{U_{i}}\simeq {\mathcal {O}}_{X}|_{U_{i}}}$لكل i ، من خلال التشاكلات، يكون التقييد${\displaystyle s|_{U_{i}}}$يتوافق مع قاسم غير صفري${\displaystyle f_{i}}$ل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{i})}$والآن، عرّف المخطط الفرعي المغلق.${\displaystyle \{s=0\}}$من X (يسمى الموضع الصفري للقسم s ) بواسطة

${\displaystyle \{s=0\}\cap U_{i}=\{f_{i}=0\},}$

حيث يعني الجانب الأيمن المخطط الفرعي المغلق لـ${\displaystyle U_{i}}$مُعطى بواسطة الحزمة المثالية المُولَّدة بواسطة${\displaystyle f_{i}}$هذا محدد جيدًا (أي أنهم يتفقون على نقاط التداخل) لأن${\displaystyle f_{i}/f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$هو عنصر وحدة. وللسبب نفسه، فإن المخطط الفرعي المغلق${\displaystyle \{s=0\}}$وهو مستقل عن اختيار التبسيطات المحلية.

بصورة مكافئة، يمكن بناء الموضع الصفري لـ s كألياف لتشكل؛ أي، بالنظر إلى L على أنه الفضاء الكلي له، فإن المقطع s هو تشكل X لـ L : تشكل${\displaystyle s:X\to L}$بحيث يتبع ذلك s${\displaystyle L\to X}$هي الهوية. ثم${\displaystyle \{s=0\}}$يمكن بناؤها كحاصل ضرب الألياف لـ s والتضمين ذي المقطع الصفري${\displaystyle s_{0}:X\to L}$.

وأخيراً، عندما${\displaystyle \{s=0\}}$إذا كان D مسطحًا على المخطط الأساسي S ، فهو قاسم كارتييه فعال على X فوق S. علاوة على ذلك، يستنفد هذا البناء جميع قواسم كارتييه الفعالة على X كما يلي. ليكن D قاسم كارتييه فعالًا و${\displaystyle I(D)}$لنرمز إلى الحزمة المثالية لـ D. وبسبب خاصية الحرية المحلية، نأخذ${\displaystyle I(D)^{-1}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}-}$ل${\displaystyle 0\to I(D)\to {\mathcal {O}} _ {X}\to {\mathcal {O}} _ {D}\to 0}$يعطي التسلسل الدقيق

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to I(D)^{-1}\to I(D)^{-1}\otimes {\mathcal {O}}_{D}\to 0}$

على وجه الخصوص، 1 من${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$يمكن تحديدها من خلال قسم في${\displaystyle \Gamma (X,I(D)^{-1})}$، والتي نرمز إليها بـ${\displaystyle s_{D}}$.

والآن يمكننا تكرار الحجة السابقة مع${\displaystyle L=I(D)^{-1}}$بما أن D قاسم كارتييه فعال، فإن D يكون محليًا على الشكل التالي :${\displaystyle \{f=0\}}$على${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$لبعض القاسم غير الصفري f في A. التبسيط${\displaystyle L|_{U}=Af^{-1}{\overset {\sim }{\to }}A}$يُعطى بالضرب في f ؛ وعلى وجه الخصوص، 1 يُقابل f . ومن ثم، فإن الموضع الصفري لـ${\displaystyle s_{D}}$هو د .

• إذا كان D و D' قواسم كارتييه فعالة، فإن المجموع${\displaystyle D+D'}$يُعرَّف قاسم كارتييه الفعال محليًا على النحو التالي:${\displaystyle fg=0}$إذا كانت f و g تعطيان معادلات محلية لـ D و D' .
• إذا كان D قاسمًا فعالًا لكارتييه و${\displaystyle R\to R'}$إذا كان تشاكلاً حلقياً ، فإن${\displaystyle D\times _{R}R'}$يُعد قاسمًا فعالًا لكارتييه في${\displaystyle X\times _{R}R'}$.
• إذا كان D قاسمًا فعالًا لكارتييه و${\displaystyle f:X'\to X}$ثم تشاكل مسطح على R ،${\displaystyle D'=D\times _{X}X'}$هو قاسم كارتييه فعال في X' مع الحزمة المثالية${\displaystyle I(D')=f^{*}(I(D))}$.

بفرض وجود قاسم كارتييه فعال D ، توجد طريقتان متكافئتان لربط قاسم ويل${\displaystyle [D]}$إليه.

• كاتز، نيكولاس م .؛ مازور، باري (1985). المعاملات الحسابية للمنحنيات الإهليلجية . مطبعة جامعة برينستون . ISBN 0-691-08352-5.