التشكل الصحيح

في الهندسة الجبرية ، يعتبر التشكل الصحيح بين المخططات نظيرًا للخريطة الصحيحة بين الفضاءات التحليلية المعقدة .

يُطلق بعض المؤلفين على الصنف المناسب اسم صنف معين في مجال معين.${\displaystyle k}$تنوع كامل . على سبيل المثال، كل تنوع إسقاطي على حقل${\displaystyle k}$مناسب فوق${\displaystyle k}$مخطط${\displaystyle X}$يكون النوع المحدود على الأعداد المركبة (على سبيل المثال، مجموعة متنوعة) مناسبًا على C إذا وفقط إذا كان الفضاء${\displaystyle X}$( ج ) النقاط المعقدة ذات الطوبولوجيا الكلاسيكية (الإقليدية) تكون مضغوطة وهاوسدورف .

الغمر المغلق يكون مناسباً. يكون التشاكل منتهياً إذا وفقط إذا كان مناسباً وشبه منتهٍ .

التشكل​${\displaystyle f:X\to Y}$يُطلق على مجموعة من المخططات اسم " مغلقة عالميًا" إذا كان لكل مخطط${\displaystyle Z}$مع التشكل${\displaystyle Z\to Y}$، الإسقاط الناتج عن منتج الألياف

${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$

هي خريطة مغلقة للفضاءات الطوبولوجية الأساسية . يُطلق على تشاكل المخططات اسم "تشاكل المخططات الصحيح" إذا كان منفصلاً ، ومن نوع محدود ، ومغلقًا بشكل شامل ([EGA] II، 5.4.1ويقول أحدهم أيضاً أن${\displaystyle X}$مناسب فوق${\displaystyle Y}$. على وجه الخصوص، مجموعة متنوعة${\displaystyle X}$فوق حقل${\displaystyle k}$يقال إنه مناسب على${\displaystyle k}$إذا كان التشاكل${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} (k)}$هذا مناسب.

لأي عدد طبيعي n ، يكون الفضاء الإسقاطي P  n على حلقة تبديلية R فضاءً مناسبًا على R. التشكلات الإسقاطية مناسبة، ولكن ليس كل التشكلات المناسبة إسقاطية. على سبيل المثال، يوجد صنف عقدي مناسب أملس ذو بُعد 3 ليس إسقاطيًا على C. [ 1 ] الأصناف الأفينية ذات البُعد الموجب على حقل k ليست مناسبة أبدًا على k . بشكل عام، يجب أن يكون التشكل الأفيني المناسب للمخططات منتهيًا. [ 2 ] على سبيل المثال، من السهل ملاحظة أن الخط الأفيني A 1 على حقل k ليس مناسبًا على k ، لأن التشكل A 1 → Spec( k ) ليس مغلقًا كليًا. في الواقع، التشكل المسحوب للخلف

${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}\times _{k}\mathbb {A} ^{1}\to \mathbb {A} ^{1}}$

⁽ المعطى بواسطة ( x , y ) ↦ y ) ليس مغلقًا، لأن صورة المجموعة المغلقة xy = 1 في A1 × A1 ⁼ A2 هي ^A1 − 0 ^، وهي ليست مغلقة في A1 ^.

فيما يلي، ليكن f : X → Y تشاكلاً للمخططات.

• تركيب اثنين من التشاكلات الصحيحة هو تركيب صحيح.
• أي تغيير أساسي لتشكل صحيح f : X → Y هو تشكل صحيح. أي، إذا كان g : Z → Y أي تشكل للمخططات، فإن التشكل الناتج X × Y Z → Z هو تشكل صحيح.
• الخاصية الصحيحة هي خاصية محلية على القاعدة (في طوبولوجيا زاريسكي ). أي، إذا كانت Y مغطاة ببعض المخططات الفرعية المفتوحة Y i وكان تقييد f على جميع f −1 (Y i ) صحيحًا، فإن f كذلك .
• وبشكل أدق، فإنّ خاصية التناسب محلية على القاعدة في طوبولوجيا fpqc . على سبيل المثال، إذا كان X مخططًا على حقل k و E امتدادًا حقليًا لـ k ، فإن X يكون مناسبًا على k إذا وفقط إذا كان تغيير القاعدة X ∈ E مناسبًا على E. [ 3 ]
• الغمر المغلق مناسب.
• وبشكل أعم، فإن التشكلات المنتهية هي تشكلات حقيقية. وهذا نتيجة لنظرية الصعود .
• بحسب ديلين ، يكون تشاكل المخططات منتهيًا إذا وفقط إذا كان صحيحًا وشبه منتهٍ. [ 4 ] وقد أثبت غروتينديك ذلك إذا كان التشاكل f : X → Y محليًا ذا عرض منتهٍ ، وهو ما يتبع من الافتراضات الأخرى إذا كان Y نوثيريًا . [ 5 ]
• بالنسبة لـ X على مخطط S ، و Y منفصل على S ، فإن صورة أي تشاكل X → Y على S هي مجموعة جزئية مغلقة من Y. [ 6 ] وهذا مماثل لنظرية في الطوبولوجيا تنص على أن صورة تطبيق متصل من فضاء متراص إلى فضاء هاوسدورف هي مجموعة جزئية مغلقة.
• تنص نظرية تحليل شتاين على أنه يمكن تحليل أي تشاكل مناسب إلى مخطط نوثري محليًا إلى X → Z → Y ، حيث X → Z مناسب وشامل وله ألياف متصلة هندسيًا، و Z → Y محدود. [ 7 ]
• تنصّ مبرهنة تشاو على أن التشكلات الصحيحة ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالتشكلات الإسقاطية . إحدى صيغها هي: إذا كان X تشكلًا صحيحًا على مخطط شبه متراص Y، وكان لـ X عدد محدود فقط من المكونات غير القابلة للاختزال (وهو أمر تلقائي بالنسبة لـ Y النويثري)، فإنه يوجد تشكل إسقاطي شامل g : W → X بحيث يكون W إسقاطيًا على Y. علاوة على ذلك، يمكن ترتيب أن يكون g تماثلًا على مجموعة جزئية مفتوحة كثيفة U من X ، وأن يكون g⁻¹ ( U ) كثيفًا في W. كما يمكن ترتيب أن يكون W عددًا صحيحًا إذا كان X عددًا صحيحًا. [ 8 ]
• تنص نظرية ناغاتا للتكثيف ، كما عممها ديلين، على أن التشاكل المنفصل من النوع المحدود بين المخططات شبه المدمجة وشبه المنفصلة يحلل إلى غمر مفتوح متبوع بتشاكل مناسب. [ 9 ]
• تحافظ التشاكلات الصحيحة بين المخططات النويثرية المحلية على الحزم المتماسكة ، بمعنى أن الصور المباشرة العليا R if *  ( F ) (وخاصة الصورة المباشرة f * ( F )) لحزمة متماسكة F تكون متماسكة (EGA III، 3.2.1). (وبالمثل، بالنسبة لخريطة صحيحة بين فضاءات تحليلية معقدة، أظهر غراورت وريمرت أن الصور المباشرة العليا تحافظ على الحزم التحليلية المتماسكة). كحالة خاصة جدًا: حلقة الدوال المنتظمة على مخطط صحيح X فوق حقل k لها بُعد محدود كفضاء متجهي k . في المقابل، حلقة الدوال المنتظمة على الخط الأفيني فوق k هي حلقة كثيرات الحدود k [ x ]، والتي ليس لها بُعد محدود كفضاء متجهي k .
• وهناك أيضًا بيان أقوى قليلاً لهذا: ( EGA III ، 3.2.4) let${\displaystyle f\colon X\to S}$ليكن تشاكلاً من النوع المحدود، و S نوثرية محلياً و${\displaystyle F}$أ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-وحدة. إذا كان دعم F مناسبًا على S ، فإنه لكل${\displaystyle i\geq 0}$الصورة المباشرة الأعلى${\displaystyle R^{i}f_{*}F}$متماسك.
• بالنسبة لمخطط X من النوع المحدود على الأعداد المركبة، فإن مجموعة النقاط المركبة X ( C ) هي فضاء تحليلي مركب ، باستخدام الطوبولوجيا الكلاسيكية (الإقليدية). بالنسبة لـ X و Y منفصلتين ومن النوع المحدود على C ، يكون التشكل f : X → Y على C صحيحًا إذا وفقط إذا كان التطبيق المستمر f : X ( C ) → Y ( C ) صحيحًا بمعنى أن الصورة العكسية لكل مجموعة مضغوطة تكون مضغوطة. [ 10 ]
• إذا كانت f : X → Y و g : Y → Z بحيث تكون gf دالة جزئية و g دالة منفصلة، ​​فإن f دالة جزئية. ويمكن إثبات ذلك بسهولة باستخدام المعيار التالي، على سبيل المثال.

يوجد معيار بديهي للغاية للمطابقة يعود إلى شيڤالي . يُطلق عليه عادةً معيار التقييم للمطابقة . ليكن f : X → Y تشاكلًا من النوع المحدود للمخططات النويثرية . يكون f مطابقًا إذا وفقط إذا كان لكل حلقات التقييم المنفصلة R ذات حقل كسري K ، ولكل نقطة x ∈ X ( K ) ذات قيم K والتي تُسقط على نقطة f ( x ) معرفة على R ، يوجد رفع وحيد لـ x إلى${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$(EGA II، 7.3.8). وبشكل أعم، يكون التشكل شبه المنفصل f : X → Y من النوع المحدود (ملاحظة: يشمل النوع المحدود شبه المتراص) لأي مخططين X و Y صحيحًا إذا وفقط إذا كان لكل حلقات التقييم R ذات حقل كسري K ، ولكل نقطة x ∈ X ( K ) ذات قيم K والتي تُسقط على نقطة f ( x ) معرفة على R ، يوجد رفع وحيد لـ x إلى${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$(مشروع Stacks، الوسوم 01KF و01KY). مع ملاحظة أن Spec K هي النقطة العامة لـ Spec R وأن حلقات التقييم المنفصلة هي تحديدًا الحلقات المحلية المنتظمة أحادية البعد، يمكن إعادة صياغة المعيار: بالنظر إلى منحنى منتظم على Y (يتوافق مع التشكل s : Spec R → Y ) وبالنظر إلى رفع النقطة العامة لهذا المنحنى إلى X ، فإن f تكون مناسبة إذا وفقط إذا كانت هناك طريقة واحدة فقط لإكمال المنحنى.

وبالمثل، يتم فصل f إذا وفقط إذا كان في كل مخطط من هذا القبيل، يوجد مصعد واحد على الأكثر${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$.

على سبيل المثال، بالنظر إلى معيار التقييم، يصبح من السهل التحقق من أن الفضاء الإسقاطي P n فضاءٌ مناسبٌ على حقل (أو حتى على Z ). ببساطة، نلاحظ أنه بالنسبة لحلقة تقييم منفصلة R ذات حقل كسري K ، فإن كل نقطة K [ x 0 , ..., x n  ] في الفضاء الإسقاطي تأتي من نقطة R ، وذلك عن طريق تغيير مقياس الإحداثيات بحيث تقع جميعها في R ويكون واحد منها على الأقل وحدة في R.

يترك${\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}$ليكن f تشاكلاً بين مخططات شكلية نوثرية محلية . نقول إن f دالة صحيحة أو${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$مناسب فوق​${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$إذا كان (أ) f تشاكلًا إضافيًا (أي، يحول مثالي التعريف إلى مثالي التعريف) و (ب) الخريطة المستحثة${\displaystyle f_{0}\colon X_{0}\to S_{0}}$مناسب، حيث${\displaystyle X_{0}=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}/I),S_{0}=({\mathfrak {S}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {S}}/K),I=f^{*}(K){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$و K هو التعريف المثالي لـ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$( EGA III ، 3.4.1) التعريف مستقل عن اختيار K.

على سبيل المثال، إذا كان _g : Y → Z تشاكلًا صحيحًا للمخططات النويثرية المحلية، _وZ₀ مجموعة جزئية مغلقة من Z ، و Y₀ مجموعة جزئية مغلقة من Y بحيث يكون g ( Y₀ ) ⊂ _{Z₀ ،} فإن التشاكل${\displaystyle {\widehat {g}}\colon Y_{/Y_{0}}\to Z_{/Z_{0}}}$يُعدّ الإكمال الرسمي تشاكلاً مناسباً للمخططات الرسمية.

أثبت غروتينديك نظرية التماسك في هذا السياق. أي، ليكن${\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}$ليكن تشاكلاً صحيحاً للمخططات الشكلية النويثرية المحلية. إذا كانت F حزمة متماسكة على${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ثم الصور المباشرة الأعلى${\displaystyle R^{i}f_{*}F}$متماسكة. ^{[ 11 ]}

• نظرية تغيير القاعدة الصحيحة
• تحليل شتاين
• أنبوب ليمّا

• SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental، 1960–1961 (Étale covers and the basic group)، ملاحظات محاضرة في الرياضيات 224، 1971
• كونراد، برايان (2007)، "ملاحظات ديلين حول تكثيفات ناجاتا" (ملف PDF) ، مجلة جمعية رامانوجان الرياضية ، 22 : 205-257 ، MR 2356346 
• الأماكن القريبة : ديودوني ، جان (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques class de morphismes" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5 – 222. دوى : 10.1007 / bf02699291 . السيد 0217084 . ، القسم 5.3. (تعريف الملاءمة)، القسم 7.3. (المعيار التقييمي للملاءمة)
• الأماكن القريبة : ديودوني ، جان (1961). "Elements de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première Partie" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 11 : 5 – 167. دوى : 10.1007 / bf02684274 . السيد 0217085 . 
• الأماكن القريبة : ديودوني ، جان (1966). "Élements de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième Partie" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 28 : 5 – 255. دوى : 10.1007/bf02684343 . السيد 0217086 . ، القسم 15.7. (تعميمات لمعايير التقييم لا تقتصر بالضرورة على المخططات النويثرية)
• الأماكن القريبة : ديودوني ، جان (1967). "Élements de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas، Quatrième Partie" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5 – 361. دوى : 10.1007 / bf02732123 . السيد 0238860 . 
• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 
• ليو، تشينغ (2002)، الهندسة الجبرية والمنحنيات الحسابية ، أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد ، ISBN 9780191547805، MR 1917232 

• في. آي. دانيلوف (2001) [1994]، "التشكل الصحيح" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• مؤلفو مشروع ستاكس ، مشروع ستاكس