نظرية ريتشاردسون

في الرياضيات ، تثبت نظرية ريتشاردسون عدم إمكانية تحديد تساوي الأعداد الحقيقية المعرفة بتعبيرات تتضمن أعدادًا صحيحة ، π ،${\displaystyle \ln 2}$والدوال الأسية والجيبية . وقد تم إثبات ذلك في عام 1968 من قبل عالم الرياضيات وعالم الحاسوب دانيال ريتشاردسون من جامعة باث .

وبالتحديد، فإن فئة التعبيرات التي تنطبق عليها النظرية هي تلك المولدة بواسطة الأعداد النسبية، والعدد π ، والعدد${\displaystyle \ln 2}$المتغير${\displaystyle x}$، عمليات الجمع والطرح والضرب والتركيب ، ودوال الجيب والأس والقيمة المطلقة .

بالنسبة لبعض فئات التعبيرات التي يتم توليدها بواسطة عناصر أولية أخرى غير تلك الموجودة في نظرية ريتشاردسون، توجد خوارزميات يمكنها تحديد ما إذا كان التعبير يساوي صفرًا. ^{[ 1 ]}

يمكن صياغة نظرية ريتشاردسون على النحو التالي: ^{[ 2 ]} ليكن E مجموعة من التعبيرات التي تمثل${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$الدوال. لنفترض أن E تتضمن هذه التعبيرات:

• ${\displaystyle x}$(تمثيل دالة التطابق)
• ${\displaystyle e^{x}}$(تمثيل الدوال الأسية)
• ${\displaystyle \sin x}$(تمثيل دالة الجيب)
• جميع الأعداد النسبية،${\displaystyle \ln 2}$، و π (تمثل الدوال الثابتة التي تتجاهل مدخلاتها وتنتج الرقم المعطى كمخرج)

لنفترض أن المجموعة E مغلقة أيضًا تحت بعض العمليات القياسية. تحديدًا، لنفترض أنه إذا كانت A و B تنتميان إلى E ، فإن كل ما يلي ينتمي أيضًا إلى E :

• A + B (تمثل الجمع النقطي للدوال التي يمثلها A و B )
• أ - ب (تمثيل الطرح النقطي)
• AB (تمثيل الضرب النقطي)
• A ∘ B (تمثل تركيب الدوال الممثلة بواسطة A و B )

وبالتالي، فإن مسائل القرار التالية غير قابلة للحل:

• تحديد ما إذا كان التعبير A في E يمثل دالة غير سالبة في كل مكان
• إذا كان E يتضمن أيضًا التعبير${\displaystyle |x|}$(تمثيل دالة القيمة المطلقة)، تحديد ما إذا كان التعبير A في E يمثل دالة تساوي صفرًا في كل مكان
• إذا احتوت المجموعة E على تعبير B يمثل دالة ليس لها مشتقة أصلية ممثلة في E ، فحدد ما إذا كان التعبير A في E يمثل دالة يمكن تمثيل مشتقتها الأصلية في E. (مثال:${\displaystyle e^{ax^{2}}}$يكون لها دالة أصلية في الدوال الأولية إذا وفقط إذا${\displaystyle a=0}$).

بعد حل المسألة العاشرة لهيلبرت في عام 1970، لاحظ بي إف كافينيس أن استخدام${\displaystyle e^{x}}$و${\displaystyle \ln 2}$يمكن إزالته. ^{[ 3 ]} وأشار وانغ لاحقًا إلى أنه في ظل نفس الافتراضات التي بموجبها يكون السؤال عما إذا كان هناك${\displaystyle x}$مع${\displaystyle A(x)<0}$كان الأمر غير قابل للحل، مسألة ما إذا كان هناك${\displaystyle x}$مع${\displaystyle A(x)=0}$كانت أيضاً غير قابلة للحل. ^{[ 4 ]}

كما ألغى ميكلوس لاتشكوفيتش الحاجة إلى π وقلل من استخدام التركيب. ^{[ 5 ]} على وجه الخصوص، بالنظر إلى تعبير${\displaystyle A(x)}$في الحلقة المتولدة من الأعداد الصحيحة،${\displaystyle x}$،${\displaystyle \sin x^{n}}$، و${\displaystyle \sin(x\sin x^{n})}$(ل${\displaystyle n}$(تتراوح بين الأعداد الصحيحة الموجبة)، سواء مسألة ما إذا${\displaystyle A(x)>0}$بالنسبة للبعض${\displaystyle x}$وما إذا كان${\displaystyle A(x)=0}$بالنسبة للبعض${\displaystyle x}$لا يمكن حلها.

وعلى النقيض من ذلك، تنص نظرية تارسكي-سيدنبرغ على أن نظرية الرتبة الأولى للحقل الحقيقي قابلة للتقرير، لذلك لا يمكن إزالة دالة الجيب بالكامل.

• مشكلة الثابت – مشكلة تحديد ما إذا كان التعبير يساوي صفرًا 
• الدالة الأولية - نوع من الدوال الرياضية 
• مشكلة تارسكي في الجبر في المدرسة الثانوية – مشكلة رياضية 

• الأماكن القريبة : ويلف، هربرت س . زيلبرجر، دورون (1996). أ  =  ب . ايه كيه بيترز . ص.  212. ردمك 1-56881-063-6تمت أرشفة النسخة الأصلية بتاريخ 29-01-2006.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية ريتشاردسون" . عالم الرياضيات .