تركيب الدوال

في الرياضيات ، عامل التركيب${\displaystyle \circ }$يأخذ وظيفتين ،${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$، وتعيد دالة جديدة${\displaystyle f\circ g}$عندما تكون الدالة المركبة${\displaystyle f\circ g}$(تُنطق "${\displaystyle f}$ل${\displaystyle g}$يتم تقييم ") عند المدخل${\displaystyle x}$والنتيجة هي${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}$أي الوظيفة${\displaystyle f}$يتم تطبيقه بعد تطبيق${\displaystyle g}$ل${\displaystyle x}$[ ^{1 ]​}

يُعد تركيب الدوال حالة خاصة من تركيب العلاقات ، ويُشار إليه أحيانًا أيضًا بـ${\displaystyle \circ }$ونتيجة لذلك، فإن جميع خصائص تركيب العلاقات تنطبق على تركيب الدوال، ^{[ 2 ]} مثل التجميعية .

• تركيب الدوال على مجموعة منتهية : إذا كانت f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} و g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} ، فإن g ∘ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} ، كما هو موضح في الشكل.
• تركيب الدوال على مجموعة غير منتهية : إذا كانت الدالة f : R → R (حيث R هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ) معطاة بالصيغة f ( x ) = 2x + 4 والدالة g : R → R معطاة بالصيغة g ( x ) = x³ ^، فإن:
  ( f ∘ g )( x ) = f ( g ( x )) = f ( x³ ) = ^2x³ + ⁴ ، و
  ( g ∘ f )( x ) = g ( f ( x )) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) ³ .
• إذا كان ارتفاع الطائرة في الوقت t هو a ( t ) ، وكان ضغط الهواء عند الارتفاع x هو p ( x ) ، فإن ( p ∘ a )( t ) هو الضغط حول الطائرة في الوقت t .  
• يمكن تركيب الدوال المعرفة على مجموعات منتهية والتي تغير ترتيب عناصرها مثل التباديل على نفس المجموعة، وهذا ما يسمى بتركيب التباديل.

تركيب الدوال هو دائمًا خاصية تجميعية ، وهي خاصية موروثة من تركيب العلاقات . ^{[ 2 ]} أي، إذا كانت الدوال f و g و h قابلة للتركيب، فإن f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h . ^{[ 3 ]} ولأن الأقواس لا تُغير النتيجة، فإنها تُحذف عادةً.

بالمعنى الدقيق، يكون تركيب g ∘ f ذا معنى فقط إذا كان المجال المقابل لـ f يساوي مجال g ؛ أما بالمعنى الأوسع، فيكفي أن يكون الأول مجموعة جزئية غير فعلية من الثاني. ^{[ ملاحظة 1 ]} علاوة على ذلك، من الملائم غالبًا تقييد مجال f ضمنيًا ، بحيث لا تُنتج f إلا قيمًا تقع ضمن مجال g . على سبيل المثال، تركيب g ∘ f للدالتين f : R → (−∞,+9] ^{المعرفة} بـ f ( x ) = 9 − x² و g : [0,+∞) → R المعرفة بـ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$يمكن تعريفها على الفترة [−3,+3] .

يُقال إن الدالتين g و f تتبادلان إذا كان g ∘ f = f ∘ g . التبادلية خاصية مميزة، لا تتحقق إلا في دوال معينة، وغالبًا في ظروف خاصة. على سبيل المثال، | x | + 3 = | x + 3 | فقط عندما x ≥ 0. يوضح الشكل مثالًا آخر.

تركيب الدوال الأحادية (التقابلية) يكون دائمًا أحاديًا. وبالمثل، فإن تركيب الدوال الشاملة يكون دائمًا شاملًا. ويترتب على ذلك أن تركيب دالتين تقابليتين هو أيضًا تقابل. الدالة العكسية للتركيب (بافتراض قابليتها للعكس) لها الخاصية التالية : ( f ∘ g ) ^⁻¹ = g⁻¹ ^∘ f⁻¹ ^{. [ 4 ]}

يمكن إيجاد مشتقات التركيبات التي تتضمن دوال قابلة للتفاضل باستخدام قاعدة السلسلة . أما المشتقات العليا لهذه الدوال فتُعطى بصيغة فا دي برونو . ^{[ 3 ]}

يُوصف تركيب الدوال أحيانًا بأنه نوع من الضرب على فضاء الدوال، ولكنه يختلف تمامًا في خصائصه عن الضرب النقطي للدوال (على سبيل المثال، التركيب ليس تبديليًا ). ^{[ 5 ]}

لنفترض أن لدينا دالتين (أو أكثر) f : X → X و g : X → X لهما نفس المجال والمجال المقابل؛ تُسمى هذه الدوال عادةً بالتحويلات . عندئذٍ ، يمكننا تكوين سلاسل من التحويلات المركبة، مثل f ∘ f ∘ g ∘ f . تتميز هذه السلاسل بالبنية الجبرية للمونويد ، وتُسمى مونويد التحويل أو (نادرًا جدًا) مونويد التركيب . بشكل عام، قد تتمتع مونويدات التحويل ببنية معقدة للغاية. ومن الأمثلة البارزة على ذلك منحنى دي رام . تُسمى مجموعة جميع الدوال f : X → X بشبه زمرة التحويل الكاملة ^{[ 6 ]} أو شبه الزمرة المتناظرة ^{[ 7 ]} على X. (يمكن في الواقع تعريف شبه زمرتين اعتمادًا على كيفية تعريف عملية شبه الزمرة كتركيب يساري أو يميني للدوال. ^{[ 8 ]} ) 

إذا كانت التحويلات المعطاة تقابلية (وبالتالي قابلة للعكس)، فإن مجموعة جميع التركيبات الممكنة لهذه الدوال تشكل مجموعة تحويل (تُعرف أيضًا باسم مجموعة التبديل )؛ ويقول المرء أن المجموعة مولدة بواسطة هذه الدوال.

تشكل مجموعة جميع الدوال التقابلية f : X → X (وتُسمى التبديلات ) زمرةً بالنسبة لتركيب الدوال. هذه هي الزمرة المتناظرة ، وتُسمى أحيانًا زمرة التركيب . تنصّ مبرهنة كايلي ، وهي نتيجة أساسية في نظرية الزمر، على أن أي زمرة هي في الواقع زمرة جزئية من زمرة متناظرة ( حتى التشاكل). ^{[ 9 ]}

في شبه المجموعة المتناظرة (لجميع التحويلات) نجد أيضًا مفهومًا أضعف وغير فريد للمعكوس (يسمى المعكوس الزائف) لأن شبه المجموعة المتناظرة هي شبه مجموعة منتظمة . ^{[ 10 ]}

إذا كان Y ⊆ X ، فإن${\displaystyle f:X\to Y}$قد يُركّب مع نفسه؛ ويُشار إلى ذلك أحيانًا بـ${\displaystyle f^{2}}$. إنه:

${\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)}$

${\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x)}$

${\displaystyle (f\circ f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(f(x))))=f^{4}(x)}$

بشكل أعم، لأي عدد طبيعي n ≥ 2 ، يمكن تعريف القوة الوظيفية من الرتبة n استقرائيًا بالعلاقة f ⁿ = f ∘ f ^{n −1} = f ^{n −1} ∘ f ، وهو ترميز قدمه هانز هاينريش بورمان ^{[ 11 ] [ 12 ]} وجون فريدريك ويليام هيرشل . ^{[ 13 ] [ 11 ] [ 14 ] [ 12 ]} يُطلق على التركيب المتكرر لهذه الدالة مع نفسها اسم تكرار الدالة .

• بحسب الاصطلاح، يتم تعريف f ⁰ على أنها دالة التطابق على مجال f ، id _X.
• إذا كان Y = X و f : X → X تقبل دالة عكسية f ⁻¹ ، فإن القوى الوظيفية السالبة f ^{− n} تُعرَّف لـ n > 0 على أنها القوة المنفية للدالة العكسية: f ^{− n} = ( f ⁻¹ ) ⁿ . ^{[ 13 ] [ 11 ] [ 12 ]}

إذا ^كانت قيم الدالة f تنتمي إلى حلقة (خاصةً إذا كانت f حقيقية أو مركبة )، فهناك احتمال للالتباس، إذ يمكن أن يُمثل fⁿ أيضًا حاصل الضرب n للدالة f ، مثل f² ( x ) = f ⁽ x ) · f ( x ) . ^{[ 12} ] بالنسبة للدوال المثلثية، يُقصد عادةً المعنى الأخير، على الأقل للأسس الموجبة. ^{[ 12 ]} على سبيل المثال، في حساب المثلثات ، يُمثل هذا الرمز العلوي عملية الأسس القياسية ^عند استخدامه مع الدوال المثلثية : 

خطيئة ² ( x ) = خطيئة( x ) · خطيئة( x ) .

ومع ذلك، بالنسبة للأسس السالبة (خاصة -1 )، فإنها تشير عادة إلى الدالة العكسية، على سبيل المثال، tan ⁻¹ = arctan ≠ 1/tan .

في بعض الحالات، عندما يكون للمعادلة g ∘ g = f حل وحيد g بالنسبة لدالة معينة f ، يمكن تعريف تلك الدالة على أنها الجذر التربيعي الوظيفي لـ f ، ثم تُكتب على النحو التالي g = f ^1/2 .

وبشكل أكثر عمومية، عندما يكون للمعادلة g ⁿ = f حل وحيد لبعض الأعداد الطبيعية n > 0 ، فإن f ^{m / n} يمكن تعريفها على أنها g ^m .

في ظل قيود إضافية، يمكن تعميم هذه الفكرة بحيث يصبح عدد التكرارات متغيرًا متصلًا؛ وفي هذه الحالة، يُطلق على هذا النظام اسم التدفق ، ويتم تحديده من خلال حلول معادلة شرودر . وتظهر الدوال والتدفقات المتكررة بشكل طبيعي في دراسة الأشكال الكسورية والأنظمة الديناميكية .

لتجنب الالتباس، يختار بعض علماء الرياضيات استخدام الرمز ∘ للدلالة على المعنى التركيبي، فيكتبون f ^{∘ n} ( x ) للدلالة على التكرار النوني للدالة f ( x ) ، كما في المثال f ^∘3 ( x ) بمعنى f ( f ( f ( x ))) . وللغرض نفسه، استخدم بنيامين بيرس f ^{[ n ]} ( x ) ^{[ 15 ] [ 12 ]،} بينما اقترح ألفريد برينغشيم وجولز مولك ⁿ f ( x ) بدلاً من ذلك. ^{[ 16 ] [ 12 ] [ nb 2 ]}

يحذف العديد من علماء الرياضيات، وخاصة في نظرية الزمر ، رمز التركيب، ويكتبون gf بدلاً من g ∘ f . ^{[ 17 ]}

خلال منتصف القرن العشرين، اعتمد بعض علماء الرياضيات الترميز اللاحق ، فكتبوا xf للدالة f ( x ) و ( xf ) g للدالة g ( f ( x )) . ^{[ 18 ]} قد يكون هذا الترميز أكثر طبيعية من الترميز السابق في كثير من الحالات، كما هو الحال في الجبر الخطي عندما يكون x متجهًا صفيًا ، و f و g مصفوفتين ، ويتم التركيب بضرب المصفوفات . يُعد الترتيب مهمًا لأن تركيب الدوال ليس بالضرورة تبديليًا. إن تطبيق التحويلات المتتالية وتركيبها من اليمين يتوافق مع تسلسل القراءة من اليسار إلى اليمين.

قد يكتب علماء الرياضيات الذين يستخدمون الترميز اللاحق " fg "، أي تطبيق f أولًا ثم تطبيق g ، بما يتوافق مع ترتيب ظهور الرموز في الترميز اللاحق، مما يجعل الترميز " fg " غامضًا. وقد يكتب علماء الحاسوب " f  ; g " لهذا الغرض، ^{[ 19 ]} وبالتالي يزيلون الغموض عن ترتيب التركيب. ولتمييز عامل التركيب الأيسر عن الفاصلة المنقوطة النصية، يُستخدم الرمز ⨾ في ترميز Z لتركيب العلاقات الأيسر . ^{[ 20 ]} وبما أن جميع الدوال هي علاقات ثنائية ، فمن الصحيح استخدام الفاصلة المنقوطة [السميكة] لتركيب الدوال أيضًا (انظر مقالة تركيب العلاقات لمزيد من التفاصيل حول هذا الترميز).

بالنظر إلى دالة g ، يُعرَّف عامل التركيب C _g بأنه العامل الذي يُحوِّل الدوال إلى دوال أخرى كما يلي: $${\displaystyle C_{g}f=f\circ g.}$$تُدرس عوامل التركيب في مجال نظرية العوامل .

يظهر تركيب الدوال بشكل أو بآخر في العديد من لغات البرمجة .

التركيب الجزئي ممكن للدوال متعددة المتغيرات . تُسمى الدالة الناتجة عن استبدال أحد وسائط الدالة f، وهو xᵢ _، بالدالة g ، في بعض سياقات هندسة الحاسوب، ويُرمز لها _بـ f | _{xᵢ = g}$${\displaystyle f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$$

عندما يكون g ثابتًا بسيطًا b ، فإن التركيب يتحول إلى تقييم (جزئي)، وتُعرف نتيجته أيضًا باسم التقييد أو العامل المساعد . ^{[ 21 ]}

$${\displaystyle f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$$

بشكل عام، قد يتضمن تركيب الدوال متعددة المتغيرات عدة دوال أخرى كمعاملات، كما هو الحال في تعريف الدالة التكرارية الأولية . إذا كانت لدينا دالة f ، وهي دالة من الرتبة n ، و n دالة من الرتبة m _، g₁ , ..., gₙ _، فإن تركيب f مع g₁ _, ..., gₙ هو دالة من الرتبة m _.$${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m})).}$$

يُطلق على هذا أحيانًا اسم التركيب المعمم أو التراكب للدالة f مع g₁ ، ...، gₙ _. ^{[ 22 ]} يمكن استخلاص التركيب الجزئي في وسيط واحد فقط، المذكور سابقًا، من هذا المخطط الأكثر عمومية عن طريق تحديد جميع دوال الوسائط، باستثناء دالة واحدة، كدوال إسقاط مختارة بعناية . _{هنا ،} يمكن اعتبار g₁، ...، gₙ دالة متجهة/مرتبة واحدة في هذا المخطط المعمم ، وفي هذه الحالة _، يُعد هذا هو التعريف القياسي لتركيب الدوال. ^{[ 23 ]}

تُسمى مجموعة العمليات المنتهية على مجموعة أساسية X بـ "الاستنساخ " إذا احتوت على جميع الإسقاطات وكانت مغلقة تحت التركيب المعمم. يحتوي الاستنساخ عمومًا على عمليات ذات رتب مختلفة . ^{[ 22 ]} كما يجد مفهوم التبادل تعميمًا مثيرًا للاهتمام في حالة المتغيرات المتعددة؛ يُقال إن الدالة f ذات الرتبة n تتبادل مع الدالة g ذات الرتبة m إذا كانت f تشاكلًا يحافظ على g ، والعكس صحيح، أي: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm})).}$$

العملية الأحادية تتبادل دائمًا مع نفسها، ولكن هذا ليس بالضرورة هو الحال بالنسبة للعملية الثنائية (أو ذات عدد معاملات أعلى). تُسمى العملية الثنائية (أو ذات عدد معاملات أعلى) التي تتبادل مع نفسها بالعملية الوسطية أو الإنتروبية . ^{[ 22 ]}

يمكن تعميم التركيب ليشمل أي علاقات ثنائية . إذا كانت R ⊆ X × Y و S ⊆ Y × Z علاقتين ثنائيتين، فإن تركيبهما يساوي

${\displaystyle R\circ S=\{(x,z)\in X\times Z:(\exists y\in Y)((x,y)\in R\,\land \,(y,z)\in S)\}}$.

باعتبار الدالة حالة خاصة من العلاقة الثنائية (أي العلاقات الوظيفية )، فإن تركيب الدوال يحقق تعريف تركيب العلاقات. وقد استُخدمت دائرة صغيرة R ∘ S لتمثيل تركيب العلاقات والدوال في صيغة الوسط. عند استخدامها لتمثيل تركيب الدوال${\displaystyle (g\circ f)(x)\ =\ g(f(x))}$ ومع ذلك، تم عكس تسلسل النص لتوضيح تسلسلات العمليات المختلفة وفقًا لذلك.

يتم تعريف التركيب بنفس الطريقة بالنسبة للدوال الجزئية ، ونظرية كايلي لها نظير يسمى نظرية فاغنر-بريستون . ^{[ 24 ]}

تُعدّ فئة المجموعات التي تُمثّل الدوال فيها تشاكلات الفئة النموذجية . في الواقع، تُستلهم بديهيات الفئة من خصائص (وتعريف) تركيب الدوال. ^{[ 25 ]} تُعمّم البنى الناتجة عن التركيب وتُصاغ بديهياتها في نظرية الفئات باستخدام مفهوم التشاكل كبديل نظري للدوال . ينطبق الترتيب المعكوس للتركيب في الصيغة ( f ∘ g ) ^⁻¹ = ( g⁻¹ ^∘ f⁻¹ ⁾ على تركيب العلاقات باستخدام العلاقات العكسية ، وبالتالي في نظرية الزمر . تُشكّل هذه البنى فئات الخنجر .

يبدأ الأساس القياسي للرياضيات بالمجموعات وعناصرها . من الممكن البدء بشكل مختلف، من خلال وضع بديهيات ليس لعناصر المجموعات، بل للدوال التي تربط بينها. ويمكن تحقيق ذلك باستخدام لغة التصنيفات والبنى الكلية.

... غالبًا ما يمكن استبدال علاقة الانتماء للمجموعات بعملية التركيب للدوال. وهذا يُفضي إلى أساس بديل للرياضيات قائم على الفئات، وتحديدًا على فئة جميع الدوال. تتسم الرياضيات بديناميكيتها، إذ تتعامل مع تحويلات الكائنات إلى كائنات أخرى من النوع نفسه. تُشكل هذه التحويلات ( كالدوال ) فئات، ولذا فإنّ المنهج القائم على الفئات يتوافق تمامًا مع هدف تنظيم الرياضيات وفهمها. وهذا، في الحقيقة، ما ينبغي أن يكون هدف فلسفة الرياضيات السليمة.

- ساوندرز ماك لين ، الرياضيات: الشكل والوظيفة ^{[ 26 ]}

يُشفّر رمز التركيب ∘ على النحو التالي: U+2218 ∘ RING OPERATOR ( & compfn;, & SmallCircle; ) ؛ راجع مقالة رمز الدرجة للاطلاع على أحرف يونيكود ذات المظهر المماثل. في TeX ، يُكتب على النحو التالي : .\circ

• مخطط شبكة العنكبوت – تقنية بيانية للتكوين الوظيفي
• المنطق التوافقي
• حلقة التركيب ، وهي صياغة بديهية رسمية لعملية التركيب
• التدفق (الرياضيات)
• تركيب الدوال (علوم الحاسوب)
• دالة المتغير العشوائي ، توزيع دالة المتغير العشوائي
• التفكيك الوظيفي
• الجذر التربيعي الوظيفي
• المعادلة الوظيفية
• دالة من الرتبة العليا
• تركيبات لا نهائية من الدوال التحليلية
• دالة متكررة
• حساب التفاضل والتكامل لامدا

• "الدالة المركبة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• " تركيب الدوال " بقلم بروس أتوود، مشروع عروض وولفرام ، 2007.