مشكلة ريمان

مسألة ريمان ، نسبةً إلى برنارد ريمان ، هي مسألة قيمة ابتدائية محددة تتألف من معادلة حفظ بالإضافة إلى بيانات ابتدائية ثابتة جزئيًا ، ولها انقطاع واحد في مجال الدراسة. تُعدّ مسألة ريمان مفيدة جدًا لفهم معادلات مثل معادلات حفظ أويلر، لأن جميع الخصائص، كالصدمات وموجات التخلخل، تظهر كخصائص مميزة في الحل. كما أنها تُعطي حلًا دقيقًا لبعض المعادلات غير الخطية المعقدة، مثل معادلات أويلر .

في التحليل العددي ، تظهر مسائل ريمان بشكل طبيعي في طرق الحجم المحدود لحل معادلات قانون الحفظ نظرًا لانفصال الشبكة. ولذلك، تُستخدم هذه الطرق على نطاق واسع في ديناميكا الموائع الحسابية ومحاكاة الديناميكا المغناطيسية المائية الحسابية . في هذه المجالات، تُحسب مسائل ريمان باستخدام خوارزميات حل ريمان .

كمثال بسيط، نقوم بدراسة خصائص مسألة ريمان أحادية البعد في ديناميكا الغازات (تورو، إليوتيريو ف. (1999). حلول ريمان والأساليب العددية لديناميكا الموائع، صفحة 44، مثال 2.5)

تُعطى الشروط الابتدائية بواسطة

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}{\text{ لـ }}x\leq 0\qquad {\text{و}}\qquad {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}{\text{ لـ }}x>0}$

حيث x  =  0 يفصل بين حالتين مختلفتين، جنبًا إلى جنب مع معادلات ديناميكا الغاز الخطية (انظر ديناميكا الغاز للاشتقاق).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial x}}&=0\\[8pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}&=0\end{aligned}}}$

حيث يمكننا أن نفترض دون فقدان للعمومية${\displaystyle a\geq 0}$يمكننا الآن إعادة كتابة المعادلات أعلاه بصيغة محافظة:

${\displaystyle U_{t}+A\cdot U_{x}=0}$:

أين

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&\rho _{0}\\{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}&0\end{bmatrix}}}$

ويشير الدليل إلى المشتقة الجزئية بالنسبة للمتغير المقابل (أي x أو t).

القيم الذاتية للنظام هي خصائص النظام ${\displaystyle \lambda _{1}=-a,\lambda _{2}=a}$تُعطي هذه المعادلات سرعة انتشار الموجات في الوسط، بما في ذلك سرعة أي انقطاع، وهي سرعة الصوت في هذه الحالة. أما المتجهات الذاتية المقابلة فهي

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(1)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} ^{(2)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}.}$

عن طريق تحليل الحالة اليسرى${\displaystyle u_{L}}$من حيث المتجهات الذاتية، نحصل على بعض${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$

${\displaystyle U_{L}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}=\alpha _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}.}$

الآن يمكننا حل المعادلة${\displaystyle \alpha _{1}}$و${\displaystyle \alpha _{2}}$:

$\displaystyle \begin{aligned}\alpha_1 = \frac{a\rho_L - \rho_0u_L}{2a\rho_0}\\[8pt]\alpha_2 = \frac{a\rho_L + \rho_0u_L}{2a\rho_0}} \end{aligned}}}$

وبالمثل

${\displaystyle U_{R}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\beta _{2}\mathbf {e} ^{(2)}}$

ل

$\displaystyle \begin{aligned}\beta_1 = \frac{a\rho_R - \rho_0u_R}{2a\rho_0}\\[8pt]\beta_2 = \frac{a\rho_R + \rho_0u_R}{2a\rho_0}} \end{aligned}}}$

باستخدام هذا، في المجال الواقع بين الخاصيتين${\displaystyle t=|x|/a}$، فنحصل على الحل الثابت النهائي:

${\displaystyle U_{*}={\begin{bmatrix}\rho _{*}\\u_{*}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}}$

والحل (الثابت جزئيًا) في المجال بأكمله${\displaystyle t>0}$:

${\displaystyle U(t,x)={\begin{bmatrix}\rho (t,x)\\u(t,x)\end{bmatrix}}={\begin{cases}U_{L},&0<t\leq -x/a\\U_{*},&0\leq |x|/a<t\\U_{R},&0<t\leq x/a\end{cases}}}$

على الرغم من بساطة هذا المثال، إلا أنه يُظهر الخصائص الأساسية. والأهم من ذلك، أن هذه الخصائص تُقسّم الحل إلى ثلاثة مجالات. سرعة انتشار هاتين المعادلتين تُعادل سرعة انتشار الصوت.

تُحدد الخاصية الأسرع شرط كوران-فريدريش-ليفي (CFL)، الذي يفرض قيدًا على الحد الأقصى للخطوة الزمنية التي تكون عندها الطريقة العددية الصريحة مستقرة. وبشكل عام، كلما زاد عدد معادلات الحفظ المستخدمة، زاد عدد الخصائص المتضمنة.

• تورو، إليوتيريو ف. (1999). حلول ريمان والأساليب العددية لديناميكا الموائع . برلين: سبرينغر فيرلاغ. ISBN 3-540-65966-8.
• ليفيك، راندال ج. (2004). طرق الحجم المحدود للمسائل الزائدية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-81087-6.

• ديناميكا الموائع الحسابية
• الديناميكا المغناطيسية المائية الحاسوبية
• محلل ريمان