التعلم الحلقي مع تبادل مفاتيح الأخطاء

في علم التشفير ، تُعدّ خوارزمية تبادل المفاتيح العامة خوارزمية تشفير تسمح لطرفين بإنشاء مفتاح سري ومشاركته، ليتمكنا من استخدامه لتشفير الرسائل بينهما. وتُعتبر خوارزمية تبادل المفاتيح مع التعلم الحلقي مع الأخطاء ( RLWE-KEX ) إحدى خوارزميات تبادل المفاتيح العامة الحديثة المصممة لتكون آمنة ضد أي خصم يمتلك حاسوبًا كموميًا . وهذا أمر بالغ الأهمية لأن بعض خوارزميات المفاتيح العامة المستخدمة حاليًا ستكون عرضة للاختراق بسهولة بواسطة الحاسوب الكمومي في حال تطبيقه. وتُصنّف خوارزمية RLWE -KEX ضمن مجموعة من خوارزميات التشفير ما بعد الكمومية التي تعتمد على صعوبة حلّ مسائل رياضية معينة تتعلق بالشبكات . وعلى عكس خوارزميات التشفير القديمة القائمة على الشبكات، فإن خوارزمية RLWE -KEX قابلة للاختزال بشكل قاطع إلى مسألة صعبة معروفة في الشبكات.

منذ ثمانينيات القرن الماضي، اعتمد أمن تبادل مفاتيح التشفير والتوقيعات الرقمية عبر الإنترنت بشكل أساسي على عدد محدود من خوارزميات المفتاح العام . ويستند أمن هذه الخوارزميات على عدد مماثل من المسائل الحسابية المعقدة في الحوسبة التقليدية. تتمثل هذه المسائل في صعوبة تحليل حاصل ضرب عددين أوليين مختارين بعناية ، وصعوبة حساب اللوغاريتمات المنفصلة في حقل منتهٍ مختار بعناية، وصعوبة حساب اللوغاريتمات المنفصلة في مجموعة منحنيات إهليلجية مختارة بعناية . يصعب حل هذه المسائل للغاية على الحاسوب التقليدي (وهو نوع الحاسوب الذي عرفه العالم منذ أربعينيات القرن الماضي وحتى اليوم)، ولكن يمكن حلها بسهولة نسبية بواسطة حاسوب كمومي صغير نسبيًا باستخدام ما بين 5 إلى 10 آلاف بت من الذاكرة فقط. يسود التفاؤل في صناعة الحوسبة بأن الحواسيب الكمومية واسعة النطاق ستكون متاحة بحلول عام 2030 تقريبًا. إذا تم بناء حاسوب كمومي بحجم كافٍ، فستصبح جميع خوارزميات المفتاح العام القائمة على هذه المسائل الثلاث المعقدة غير آمنة. تُستخدم تقنية التشفير بالمفتاح العام اليوم لتأمين مواقع الإنترنت، وحماية معلومات تسجيل الدخول إلى الكمبيوتر، ومنع أجهزة الكمبيوتر الخاصة بنا من قبول البرامج الضارة.

يُشار إلى التشفير غير القابل للاختراق بواسطة الحواسيب الكمومية باسم التشفير الآمن كموميًا ، أو التشفير ما بعد الكمومي . يعتمد أحد أنواع خوارزميات التشفير المقاومة للكم على مفهوم " التعلم مع الأخطاء " الذي قدمه عوديد ريغيف عام ٢٠٠٥. ^{[ ١ ]} يعمل شكل متخصص من التعلم مع الأخطاء ضمن حلقة كثيرات الحدود على حقل منتهٍ . يُطلق على هذا الشكل المتخصص اسم التعلم الحلقي مع الأخطاء أو RLWE .

توجد مجموعة متنوعة من خوارزميات التشفير التي تعمل باستخدام نموذج RLWE. وتشمل هذه الخوارزميات خوارزميات التشفير بالمفتاح العام ، وخوارزميات التشفير المتماثل ، وخوارزميات التوقيع الرقمي RLWE ، بالإضافة إلى خوارزمية المفتاح العام وتبادل المفاتيح المذكورة في هذه المقالة.

خوارزمية تبادل المفاتيح هي نوع من خوارزميات المفتاح العام، تُستخدم لإنشاء مفتاح سري مشترك بين طرفين متصلين عبر رابط اتصال. يُعد تبادل مفاتيح ديفي-هيلمان مثالًا كلاسيكيًا على تبادل المفاتيح . يتكون هذا التبادل من إرسال واحد من أحد طرفي الخط وإرسال واحد من الطرف الآخر. تُعتبر خوارزميتا ديفي-هيلمان ودالة ديفي-هيلمان ذات المنحنى الإهليلجي من أشهر خوارزميات تبادل المفاتيح.

صُمم نظام تبادل المفاتيح RLWE ليكون بديلاً آمناً ضد الحوسبة الكمومية لأنظمة تبادل المفاتيح Diffie-Hellman و Elliptic Curve Diffie-Hellman الشائعة الاستخدام لتأمين إنشاء المفاتيح السرية عبر قنوات اتصال غير موثوقة. وكما هو الحال في Diffie-Hellman و Elliptic Curve Diffie-Hellman، يوفر نظام تبادل المفاتيح Ring-LWE خاصية تشفيرية تُسمى " السرية الأمامية "؛ وتهدف هذه الخاصية إلى الحد من فعالية برامج المراقبة الجماعية وضمان عدم وجود مفاتيح سرية طويلة الأمد قابلة للاختراق، مما قد يُتيح فك تشفير كميات هائلة من البيانات.

بدءًا من عدد صحيح أولي q، يعمل تبادل مفاتيح Ring-LWE في حلقة كثيرات الحدود modulo كثير الحدود${\displaystyle \Phi (x)}$بمعاملات في حقل الأعداد الصحيحة modulo q (أي الحلقة${\displaystyle R_{q}:=Z_{q[x]/\Phi (x)}$ستعمل عمليتا ضرب وجمع كثيرات الحدود بالطريقة المعتادة، وستكون النتيجة عبارة عن عملية ضرب مختزلة modulo${\displaystyle \Phi (x)}$.

طُرحت فكرة استخدام LWE وRing LWE لتبادل المفاتيح لأول مرة وسُجّلت في جامعة سينسيناتي عام 2011 من قِبل جينتاي دينغ. تستند الفكرة إلى خاصية التجميع في ضرب المصفوفات، وتُستخدم الأخطاء لتوفير الأمان. نُشرت الورقة البحثية ^{[ 2 ]} عام 2012 بعد تقديم طلب براءة اختراع مؤقتة في العام نفسه. وقد ثبت أمان البروتوكول بناءً على صعوبة حل مشكلة LWE.

في عام 2014، قدم بيكرت مخطط نقل المفاتيح ^{[ 3 ]} باتباع نفس الفكرة الأساسية لدينغ، حيث يتم أيضًا استخدام الفكرة الجديدة لإرسال إشارة إضافية مكونة من بت واحد للتقريب في بناء دينغ.

يستخدم تطبيق "الأمل الجديد" ^{[ 4 ]} الذي تم اختياره لتجربة جوجل ما بعد الكمومية، ^{[ 5 ]} مخطط بيكرت مع اختلاف في توزيع الخطأ.

للحصول على مستوى أمان يزيد قليلاً عن 128 بت ، يقدم سينغ مجموعة من المعاملات التي تحتوي على مفاتيح عامة بطول 6956 بت لخوارزمية بيكرت. ^{[ 6 ]} ويبلغ طول المفتاح الخاص المقابل حوالي 14000 بت. وفي وقت لاحق، نشر تشانغ وآخرون في عام 2014 نسخة RLWE من متغير MQV الكلاسيكي لتبادل مفاتيح ديفي-هيلمان. يرتبط أمان كلا تبادلي المفاتيح ارتباطًا مباشرًا بمشكلة إيجاد متجهات قصيرة تقريبية في شبكة مثالية. ستتبع هذه المقالة عن كثب عمل دينغ في مجال RLWE في "خوارزمية تبادل مفاتيح بسيطة وآمنة قابلة للإثبات تعتمد على مشكلة التعلم مع الأخطاء". ^{[ 2 ]} ولأغراض هذا العرض، يُعبَّر عن كثير الحدود النموذجي كما يلي:

${\displaystyle a(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n-3}x^{n-3}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-1}x^{n-1}}$

المعاملات${\displaystyle a_{i}}$كثير الحدود في هذه المعادلة هو عدد صحيح  بتردد q . ${\displaystyle \Phi (x)}$ستكون متعددة الحدود الدائرية . عندما يكون n قوة للعدد 2، فإن${\displaystyle \Phi (x)=x^{n}+1.}$^{[ 6 ] [ 7 ]}

تستخدم بورصة RLWE-KEX كثيرات حدود تُعتبر "صغيرة" وفقًا لمقياس يُسمى " معيار اللانهاية ". معيار اللانهاية لكثيرة الحدود هو ببساطة قيمة أكبر معامل في كثيرة الحدود عندما تُعتبر المعاملات أعدادًا صحيحة في Z بدلاً من${\displaystyle Zq}$(أي من المجموعة {−( q  −  1)/2,..., 0, ...( q  −  1)/2}). يعتمد أمان الخوارزمية على القدرة على توليد كثيرات حدود عشوائية صغيرة بالنسبة لمعيار اللانهاية. ويتم ذلك ببساطة عن طريق توليد معاملات عشوائية لكثيرة حدود (s _n-1 , ..., s ₀ ) مضمونة أو يُرجح بشدة أن تكون صغيرة. هناك طريقتان شائعتان للقيام بذلك:

1. باستخدام أسلوب المعاينة المنتظمة - تُختار معاملات كثيرة الحدود الصغيرة عشوائيًا من مجموعة من المعاملات الصغيرة. ليكن b عددًا صحيحًا أصغر بكثير من q . إذا اخترنا عشوائيًا معاملات من المجموعة: {−b , −b  +  1, −b  +  2, ... −2, −1, 0, 1, 2, ..., b  −  2, b  −  1, b }، فستكون كثيرة الحدود صغيرة بالنسبة للحد (b). يقترح سينغ استخدام b = 5. ^{[ 6 ]} وبالتالي، تُختار المعاملات من المجموعة { q  −  5, q  −  4, q  −  3, q  ​​−  2, q  −  1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.
2. باستخدام أسلوب أخذ العينات الغاوسي المنفصل - بالنسبة لقيمة فردية لـ q، تُختار المعاملات عشوائيًا عن طريق أخذ عينات من المجموعة { −(q  −  1)/2 إلى ( q  −  1)/2 } وفقًا لتوزيع غاوسي منفصل بمتوسط ​​0 ومعامل توزيع σ . تشرح المراجع بالتفصيل كيفية تحقيق ذلك. يُعد هذا الأسلوب أكثر تعقيدًا من أخذ العينات المنتظم، ولكنه يسمح بإثبات أمان الخوارزمية. يمكن الاطلاع على نظرة عامة حول أخذ العينات الغاوسي في عرض تقديمي لبيكرت. ^{[ 8 ]} 

في بقية هذا المقال، سيتم اختيار كثيرات الحدود الصغيرة العشوائية وفقًا لتوزيع يُشار إليه ببساطة بالرمز D. سيكون q عددًا أوليًا فرديًا بحيث يكون q متطابقًا مع 1 mod 4 و1 mod 2n. تُناقش حالات أخرى لـ q وn بالتفصيل في "مجموعة أدوات لتشفير Ring-LWE" وفي بحث سينغ "تبادل مفاتيح أكثر عملية للإنترنت باستخدام تشفير الشبكة" ^{[ 9 ] [ 10 ]} ، بالإضافة إلى بحث آخر لسينغ. كثير حدود عام ثابت، a(x)، مشترك بين جميع مستخدمي الشبكة. يتم توليده بشكل حتمي من مصدر آمن تشفيريًا.

بفرض أن لدينا a ( x ) كما هو مذكور، يمكننا اختيار كثيرتي حدود صغيرتين عشوائياً s ( x ) و e ( x ) لتكونا "المفتاح الخاص" في عملية تبادل المفاتيح العامة. سيكون المفتاح العام المقابل هو كثيرة الحدود p ( x ) = a ( x ) s ( x ) + 2e ( x ) .

سيتم تبادل المفاتيح بين جهازين. سيكون هناك مُبادر لتبادل المفاتيح يُرمز له بـ (I) ومُستقبِل يُرمز له بـ (R). يعرف كل من I وR قيم q و n و a ( x )، ولديهما القدرة على توليد كثيرات حدود صغيرة وفقًا للتوزيع.${\displaystyle \chi _{\alpha }}$مع المعلمة${\displaystyle \alpha }$التوزيع${\displaystyle \chi _{\alpha }}$عادةً ما يكون التوزيع الغاوسي المنفصل على الحلقة${\displaystyle R_{q}=Z_{q[x]/\Phi (x)}$لا يتضمن الوصف التالي أي تفسير لسبب تطابق المفتاح عند طرفي الرابط بعد تبادل المفاتيح، بل يحدد بإيجاز الخطوات الواجب اتباعها. لفهمٍ شاملٍ لسبب تطابق المفتاح بين المُرسِل والمُستقبِل بعد تبادل المفاتيح، يُرجى الرجوع إلى العمل المرجعي لدينغ وآخرون ^{[ 2 ] .}

تبدأ عملية تبادل المفاتيح بقيام المُبادر (أنا) بما يلي:

البدء:

1. قم بتوليد كثيرتي حدود${\displaystyle s_{I}}$و${\displaystyle e_{I}}$بمعاملات صغيرة عن طريق أخذ عينات من التوزيع${\displaystyle \chi _{\alpha }}$.
2. الحوسبة${\displaystyle p_{I}=as_{I}+2e_{I}.}$
3. يرسل المُبادر متعدد الحدود${\displaystyle p_{I}}$إلى المجيب.

إجابة:

1. قم بتوليد كثيرتي حدود${\displaystyle s_{R}}$و${\displaystyle e_{R}}$بمعاملات صغيرة عن طريق أخذ عينات من التوزيع${\displaystyle \chi _{\alpha }}$.
2. الحوسبة${\displaystyle p_{R}=as_{R}+2e_{R}}$.
3. قم بإنشاء صغير${\displaystyle e'_{R}}$من${\displaystyle \chi _{\alpha }}$حساب${\displaystyle k_{R}=p_{I}s_{R}+2e'_{R}}$. ثم${\displaystyle k_{R}=as_{I}s_{R}+2e_{I}s_{R}+2e'_{R}}$.
4. استخدم وظيفة الإشارة${\displaystyle \operatorname {Sig} }$للعثور ${\displaystyle w=\operatorname {Sig} (k_{R})}$يتم حساب ذلك عن طريق تطبيق${\displaystyle Sig}$دالة على كل معامل من معاملات${\displaystyle k_{R}}$
5. التيار الرئيسي للطرف المدعى عليه${\displaystyle sk_{R}=\operatorname {Mod} _{2}(k_{R},w)}$يتم حسابها بناءً على معلومات المطابقة${\displaystyle w}$ومتعددة الحدود${\displaystyle k_{R}}$.
6. يرسل المدعى عليه${\displaystyle p_{R}}$و${\displaystyle w}$إلى المُبادر.

ينهي:

1. يستلم${\displaystyle p_{R}}$و${\displaystyle w}$من المستجيب.
2. عينة${\displaystyle e'_{I}}$من${\displaystyle \chi _{\alpha }}$والحساب${\displaystyle k_{I}=p_{R}s_{I}+2e'_{I}=as_{I}s_{R}+2e_{R}s_{I}+2e'_{I}}$.
3. يتم إنتاج تدفق المفاتيح الخاص بجانب المُبادر على النحو التالي:${\displaystyle sk_{I}=\operatorname {Mod} _{2}(k_{I},w)}$من معلومات المطابقة${\displaystyle w}$ومتعددة الحدود${\displaystyle k_{I}}$.

في عملية تبادل المفاتيح المذكورة أعلاه،${\displaystyle \operatorname {Sig} }$هل دالة الإشارة معرفة كما يلي:

تعريف المجموعة الفرعية${\displaystyle \mathbf {E}$ :=\{-\lfloor {\frac {q}{4}}\rfloor ,\ldots ,\lfloor {\frac {q}{4}}\rceil \}} of${\displaystyle Zq=\{-{\frac {q-1}{2}},\ldots ,{\frac {q-1}{2}}\}}$. هنا،${\displaystyle \lfloor .\rfloor }$و${\displaystyle \lfloor .\rceil }$يشير الرمز إلى الجزء الصحيح والتقريب إلى أقرب عدد صحيح على التوالي.

وظيفة${\displaystyle \operatorname {Sig} }$هي الدالة المميزة لمكمل E.

${\displaystyle \operatorname {Sig} :Zq\rightarrow \{0,1\}}$:${\displaystyle \operatorname {Sig} (v)={\begin{cases}0,&{\text{if }}v\in E\\1,&{\text{if }}v\notin E.\end{cases}}}$

${\displaystyle \operatorname {Mod} _{2}}$تُعرَّف عملية باقي القسمة على 2 لإزالة حدود الخطأ على النحو التالي:${\displaystyle \operatorname {Mod} _{2}(v,w)={\biggl (}v+w.{\frac {q-1}{2}}{\Biggr )}{\bmod {q}}{\bmod {2}}}$

لاحظ أن قيم${\displaystyle k_{I}}$و${\displaystyle k_{R}}$ تكون هذه القيم متساوية تقريبًا فقط. لاستخراج مفتاح مشترك باستخدام هذه القيم المتساوية تقريبًا، تُستخدم دالة التوفيق، والمعروفة أيضًا بدالة الإشارة. تُشير هذه الدالة إلى المنطقة التي يكون فيها كل معامل من معاملات متعددة الحدود متساويًا تقريبًا.${\displaystyle v}$في${\displaystyle R_{q}}$الأكاذيب وتساعد على التأكد من أن شروط الخطأ في${\displaystyle k_{R}}$و ${\displaystyle k_{I}}$لا ينتج عنها عمليات mod q مختلفة.

تعتمد أساليب التوفيق وتوليد سلاسل المفاتيح على مخطط RLWE-KEX المحدد المستخدم. بعض الأساليب مبنية على الحساب النمطي، بينما قد تعتمد أساليب أخرى على الهندسة عالية الأبعاد. ^{[ 6 ] [ 11 ]}

إذا تم تبادل المفاتيح بشكل صحيح، فسيكون كل من سلسلة المُبادر وسلسلة المُستجيب متطابقين.

بحسب تفاصيل المعايير المختارة، فإن احتمال فشل عملية تبادل المفاتيح هذه في إنتاج نفس المفتاح ضئيل للغاية. يمكن اختيار معايير تبادل المفاتيح بحيث يكون احتمال الفشل ضئيلاً جدًا، أقل بكثير من احتمال حدوث تشويش غير قابل للكشف أو أعطال في الجهاز.

كانت عملية التبادل RLWE-KEX المذكورة أعلاه تعمل في حلقة كثيرات الحدود من الدرجة n  −  1 أو أقل modulo a كثيرة الحدود${\displaystyle \Phi (x)}$افترض العرض التقديمي أن n قوة للعدد 2 وأن q عدد أولي يطابق 1 (mod 2n). وبناءً على التوجيهات الواردة في ورقة بيكرت، اقترح سينغ مجموعتين من المعاملات لـ RLWE-KEX.

للحصول على مستوى أمان يبلغ 128 بت، n = 512، q = 25601، و${\displaystyle \Phi (x)=x^{512}+1}$

للحصول على مستوى أمان 256 بت، n = 1024، q = 40961، و${\displaystyle \Phi (x)=x^{1024}+1}$

نظرًا لأن عملية تبادل المفاتيح تستخدم أخذ عينات عشوائية وحدودًا ثابتة، فهناك احتمال ضئيل بأن تفشل عملية تبادل المفاتيح في إنتاج نفس المفتاح للمُرسِل والمُستقبِل. إذا افترضنا أن المعامل الغاوسي σ هو${\textstyle {\frac {8}{\sqrt {2\pi }}}}$وحدود أخذ العينات المنتظمة ( ب ) = 5 (انظر سينغ)، ^{[ 6 ]} ثم يكون احتمال فشل اتفاق المفتاح أقل من 2 ^-71 للمعلمات الآمنة 128 بت وأقل من 2 ^-91 للمعلمات الآمنة 256 بت.

في ورقتهم البحثية المنشورة في نوفمبر 2015، أوصى كل من ألكيم، ودوكاس، وبوبلمان، وشواب بالمعايير التالية: n = 1024، q = 12289، و${\displaystyle \Phi (x)}$= x ¹⁰²⁴ + 1. ^{[ 11 ]} يمثل هذا انخفاضًا بنسبة 70٪ في حجم المفتاح العام على معلمات n = 1024 الخاصة بسينغ، وتم تقديمه إلى مشروع توحيد التشفير ما بعد الكم التابع للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا تحت اسم NewHope .

في ورقتهم البحثية المنشورة في نوفمبر 2015، أوصى ألكيم، ودوكاس، وبوبلمان، وشواب بأن يتم اختيار متعددة الحدود الأساسية لتبادل المفاتيح (a(x) أعلاه) إما عشوائيًا باستخدام مولد أرقام عشوائية آمن لكل عملية تبادل، أو بطريقة قابلة للتحقق باستخدام تقنية "لا شيء مخفي" أو تقنية NUMS. ^{[ 11 ]} ومن أمثلة المعاملات التي يتم توليدها بهذه الطريقة الأعداد الأولية لتبادل مفاتيح الإنترنت ( RFC 2409 )، والتي تتضمن أرقام الثابت الرياضي باي في التمثيل الرقمي للعدد الأولي. ^{[ 12 ]} تمنع طريقتهم الأولى توزيع تكاليف الهجوم على العديد من عمليات تبادل المفاتيح، مع خطر ترك إمكانية وقوع هجوم خفي، مثل ذلك الذي وصفه دان بيرنشتاين ضد منحنيات NIST الإهليلجية. ^{[ 13 ]} أما نهج NUMS فهو عرضة للتوزيع، ولكنه يتجنب عمومًا هجوم بيرنشتاين إذا تم استخدام ثوابت رياضية شائعة فقط، مثل باي وe.

يعتمد أمان عملية تبادل المفاتيح هذه على صعوبة مشكلة تعلم الحلقة مع الأخطاء ، والتي ثبت أنها تُضاهي صعوبة أسوأ حل لمشكلة أقصر متجه (SVP) في شبكة مثالية . ^{[ 1 ] [ 2 ]} أفضل طريقة لتقييم الأمان العملي لمجموعة معينة من معلمات الشبكة هي خوارزمية اختزال الشبكة BKZ 2.0. ^{[ 14 ]} وفقًا لخوارزمية BKZ 2.0، ستوفر معلمات تبادل المفاتيح المذكورة أعلاه مستوى أمان يزيد عن 128 أو 256 بت، على التوالي.

في عام 2014، قام دوغلاس ستيبلا بإعداد رقعة برمجية لـ OpenSSL 1.0.1f، استنادًا إلى عمله وأعمال أخرى نُشرت في "تبادل المفاتيح ما بعد الكموم لبروتوكول TLS من مشكلة تعلم الحلقة مع الأخطاء". ^{[ 15 ]} يتوفر برنامج يُنفذ عمل سينغ على GitHub على الرابط التالي: https://github.com/vscrypto/ringlwe. ^{[ 6 ]}

يُعدّ أحد أشكال النهج الموصوف أعلاه نسخةً موثقةً في عمل تشانغ، وتشانغ، ودينغ، وسنوك، وداغديلين في ورقتهم البحثية بعنوان "تبادل المفاتيح الموثق ما بعد الكم من الشبكات المثالية". ^{[ 16 ]} ويبدو أن مفهوم إنشاء ما يُسمى بتبادل مفاتيح شبيه بـ Diffie-Hellman باستخدام الشبكات مع دالة التوفيق قد عُرض لأول مرة من قِبل الباحثين الفرنسيين أغيلار، وغابوريت، ولاشارم، وشريك، وزيمور في مؤتمر PQCrypto 2010 في محاضرتهم بعنوان "بروتوكولات Diffie-Hellman المشوشة". ^{[ 17 ]}

في نوفمبر 2015، استند كلٌ من ألكيم، ودوكاس، وبوبلمان، وشواب إلى العمل السابق لبيكرت، واستخدموا ما يعتقدون أنه تقدير أكثر تحفظًا لتكلفة هجمات الشبكة للتوصية بالمعايير. ^{[ 11 ]} يتوفر برنامج مبني على عمل ألكيم، ودوكاس، وبوبلمان، وشواب على منصة GitHub على الرابط التالي: https://github.com/tpoeppelmann/newhope ^{[ 11 ]}

• التشفير ما بعد الكمي
• التشفير القائم على الشبكة
• التشفير الشبكي المثالي
• توقيع التعلم الحلقي مع الأخطاء
• التعلم الحلقي مع الأخطاء