المنحنى الإهليلجي

البنية الجبرية → نظرية المجموعة نظرية المجموعة
المفاهيم الأساسية المجموعة الفرعية المجموعة الفرعية الطبيعية العمل الجماعي مجموعة الحاصل منتج (شبه) مباشر المجموع المباشر منتج مجاني منتج إكليل الزهور تشابهات المجموعات نواة صورة بسيط محدود لانهائي مستمر مضاعف مادة مضافة دوري أبيليان ثنائي السطوح عديم القدرة solvable Glossary of group theory List of group theory topics
Finite groups Cyclic group Zn Symmetric group Sn Alternating group An Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

في الرياضيات ، المنحنى الإهليلجي هو منحنى جبري سلس إسقاطي من النوع الأول ، توجد عليه نقطة محددة O. يتم تعريف المنحنى الإهليلجي على حقل K ويصف نقاطًا في K ² ، وهو حاصل الضرب الديكارتي لـ K مع نفسه. إذا كانت سمة الحقل مختلفة عن 2 و3، فيمكن وصف المنحنى بأنه منحنى جبري مستوي يتكون من حلول ( x ، y ) لـ:

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

لبعض المعاملات a و b في K. يجب أن يكون المنحنى غير مفرد ، مما يعني أن المنحنى ليس له قمم أو تقاطعات ذاتية . (هذا يعادل الشرط 4 a ³ + 27 b ² ≠ 0 ، أي أن يكون خاليًا من المربعات في x .) من المفهوم دائمًا أن المنحنى يقع بالفعل في المستوى الإسقاطي ، مع كون النقطة O هي النقطة الوحيدة في اللانهاية . تُعرّف العديد من المصادر المنحنى الإهليلجي على أنه ببساطة منحنى معطى بواسطة معادلة من هذا النموذج. (عندما يكون لحقل المعامل الخاصية 2 أو 3، فإن المعادلة أعلاه ليست عامة بما يكفي لتشمل جميع المنحنيات المكعبة غير المفردة ؛ انظر § المنحنيات الإهليلجية على حقل عام أدناه.)

المنحنى الإهليلجي هو تنوع أبيلي - أي أنه يحتوي على قانون مجموعة محدد جبريًا، والذي يعتبر بالنسبة له مجموعة أبيلية - و O بمثابة عنصر الهوية.

إذا كان y ² = P ( x ) ، حيث P هو أي متعدد حدود من الدرجة الثالثة في x بدون جذور متكررة، فإن مجموعة الحل هي منحنى مستو غير مفرد من الجنس الأول، وهو منحنى إهليلجي. إذا كان P من الدرجة الرابعة وخالي من المربعات، فإن هذه المعادلة تصف مرة أخرى منحنى مستو من الجنس الأول؛ ومع ذلك، ليس لديها خيار طبيعي لعنصر الهوية. بشكل عام، أي منحنى جبري من الجنس الأول، على سبيل المثال تقاطع سطحين رباعيين مضمنين في فضاء إسقاطي ثلاثي الأبعاد، يسمى منحنى إهليلجي، بشرط أن يكون مزودًا بنقطة محددة لتكون بمثابة الهوية.

باستخدام نظرية الدوال الإهليلجية ، يمكن إثبات أن المنحنيات الإهليلجية المحددة على الأعداد المركبة تتوافق مع تضمينات الطارة في المستوى الإسقاطي المركب . الطارة هي أيضًا مجموعة أبيلية ، وهذا التطابق هو أيضًا تماثل المجموعة .

تعتبر المنحنيات الإهليلجية مهمة بشكل خاص في نظرية الأعداد ، وتشكل مجالًا رئيسيًا للبحث الحالي؛ على سبيل المثال، تم استخدامها في إثبات أندرو وايلز لنظرية فيرما الأخيرة . كما وجدت تطبيقات في تشفير المنحنيات الإهليلجية (ECC) وتقسيم الأعداد الصحيحة إلى عوامل .

المنحنى الإهليلجي ليس قطع ناقص بالمعنى المخروط الإسقاطي، الذي له جنس صفر: انظر التكامل الإهليلجي لأصل المصطلح. ومع ذلك، هناك تمثيل طبيعي للمنحنيات الإهليلجية الحقيقية ذات الشكل الثابت j ≥ 1 كقطع ناقص في المستوى الزائدي . على وجه التحديد، فإن تقاطعات القطع الزائد مينكوفسكي مع الأسطح التربيعية التي تتميز بخاصية زاوية ثابتة معينة تنتج قطع ناقص شتاينر في (يتم إنشاؤها بواسطة التوازيات المحافظة على الاتجاه). علاوة على ذلك، فإن المسارات المتعامدة لهذه القطع الناقصية تشمل المنحنيات الإهليلجية مع j ≤ 1 ، وأي قطع ناقص في موصوف كمكان نسبي لبؤرتين هو بشكل فريد مجموع المنحنى الإهليلجي لقطع ناقص شتاينر، والذي تم الحصول عليه عن طريق إضافة أزواج التقاطعات على كل مسار متعامد. هنا، تعمل قمة القطع الزائد كهوية لكل منحنى مسار. ^[1]${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$

من الناحية الطوبولوجية ، المنحنى الإهليلجي المعقد هو عبارة عن حلقة ، في حين أن القطع الناقص المعقد هو عبارة عن كرة .

على الرغم من أن التعريف الرسمي للمنحنى الإهليلجي يتطلب بعض الخلفية في الهندسة الجبرية ، فمن الممكن وصف بعض ميزات المنحنيات الإهليلجية على الأعداد الحقيقية باستخدام الجبر التمهيدي والهندسة فقط .

في هذا السياق، المنحنى الإهليلجي هو منحنى مستوي يتم تحديده بواسطة معادلة من النموذج

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

بعد تغيير خطي للمتغيرات ( a و b هما عددان حقيقيان). يُطلق على هذا النوع من المعادلات معادلة ويرستراس، ويقال إنها في صيغة ويرستراس، أو صيغة ويرستراس الطبيعية.

يتطلب تعريف المنحنى الإهليلجي أيضًا أن يكون المنحنى غير مفرد . من الناحية الهندسية، يعني هذا أن الرسم البياني ليس به قمم أو تقاطعات ذاتية أو نقاط معزولة . من الناحية الجبريّة، ينطبق هذا إذا وفقط إذا كان المميز ، ، لا يساوي الصفر. ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta =-16\left(4a^{3}+27b^{2}\right)\neq 0}$

المميز يساوي صفرًا عندما . ${\displaystyle a=-3k^{2},b=2k^{3}}$

(على الرغم من أن العامل -16 ليس له علاقة بكون المنحنى غير مفرد أم لا، فإن هذا التعريف للمميز مفيد في دراسة أكثر تقدمًا للمنحنيات الإهليلجية.) ^[2]

يحتوي الرسم البياني الحقيقي لمنحنى غير مفرد على مكونين إذا كان مميزه موجبًا، ومكون واحد إذا كان سالبًا. على سبيل المثال، في الرسوم البيانية الموضحة في الشكل الموجود على اليمين، يكون المميز في الحالة الأولى 64، وفي الحالة الثانية −368.

عند العمل في المستوى الإسقاطي ، تصبح المعادلة في الإحداثيات المتجانسة :

${\displaystyle {\frac {Y^{2}}{Z^{2}}}={\frac {X^{3}}{Z^{3}}}+a{\frac {X}{Z}}+b}$

هذه المعادلة ليست محددة على الخط عند اللانهاية ، ولكن يمكننا الضرب بها للحصول على معادلة: ${\displaystyle Z^{3}}$

${\displaystyle ZY^{2}=X^{3}+aZ^{2}X+bZ^{3}}$

يتم تعريف هذه المعادلة الناتجة على المستوى الإسقاطي بأكمله، والمنحنى الذي تحدده يمتد على المنحنى الإهليلجي محل الاهتمام. لإيجاد تقاطعه مع الخط عند اللانهاية، يمكننا فقط وضع . وهذا يعني أن ، والذي يعني في المجال . من ناحية أخرى يمكن أن يأخذ أي قيمة وبالتالي فإن جميع الثلاثيات تلبي المعادلة. في الهندسة الإسقاطية، هذه المجموعة هي ببساطة النقطة ، والتي هي بالتالي التقاطع الوحيد للمنحنى مع الخط عند اللانهاية. ${\displaystyle Z=0}$${\displaystyle X^{3}=0}$${\displaystyle X=0}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (0,Y,0)}$${\displaystyle O=[0:1:0]}$

نظرًا لأن المنحنى سلس، وبالتالي فهو مستمر ، فيمكن إظهار أن هذه النقطة في اللانهاية هي عنصر الهوية لبنية المجموعة التي يتم وصف عملها هندسيًا على النحو التالي:

نظرًا لأن المنحنى متماثل حول المحور السيني ، فبالنظر إلى أي نقطة P ، يمكننا أن نأخذ − P لتكون النقطة المقابلة لها. لدينا إذن ، كما تقع على المستوى XZ ، وبالتالي فهي أيضًا متماثلة حول الأصل، وبالتالي تمثل نفس نقطة الإسقاط. ${\displaystyle -O=O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle -O}$${\displaystyle O}$

إذا كانت P و Q نقطتين على المنحنى، فيمكننا وصف نقطة ثالثة P + Q بشكل فريد بالطريقة التالية. أولاً، ارسم الخط الذي يتقاطع مع P و Q. سيتقاطع هذا الخط بشكل عام مع المكعب عند نقطة ثالثة، R. ثم نأخذ P + Q ليكون − R ، النقطة المقابلة لـ R.

هذا التعريف للجمع يعمل إلا في بعض الحالات الخاصة المتعلقة بنقطة اللانهاية وتعدد التقاطع. الأول هو عندما تكون إحدى النقطتين O. هنا، نُعرّف P + O = P = O + P ، مما يجعل O هوية المجموعة. إذا كان P = Q لدينا نقطة واحدة فقط، وبالتالي لا يمكننا تحديد الخط الفاصل بينهما. في هذه الحالة، نستخدم خط المماس للمنحنى عند هذه النقطة كخطنا. في معظم الحالات، سيتقاطع المماس مع نقطة ثانية R ويمكننا أخذ عكسها. إذا كانت P و Q متعاكستين، نُعرّف P + Q = O. أخيرًا، إذا كانت P نقطة انعطاف (نقطة يتغير فيها تقعر المنحنى)، نأخذ R لتكون P نفسها و P + P هي ببساطة النقطة المقابلة لنفسها، أي نفسها.

ليكن K حقلًا يتم تعريف المنحنى عليه (أي أن معاملات المعادلة أو معادلات تعريف المنحنى موجودة في K ) ويرمز إلى المنحنى بـ E. عندئذٍ تكون النقاط النسبية K لـ E هي النقاط الموجودة على E والتي تقع جميع إحداثياتها في K ، بما في ذلك النقطة عند اللانهاية. يُرمز إلى مجموعة النقاط النسبية K بـ E ( K ) . E ( K ) هي مجموعة، لأن خصائص معادلات كثيرة الحدود تُظهر أنه إذا كان P موجودًا في E ( K ) ، فإن − P موجود أيضًا في E ( K ) ، وإذا كان اثنان من P و Q و R موجودين في E ( K ) ، فإن الثالث كذلك. بالإضافة إلى ذلك، إذا كان K حقلًا فرعيًا لـ L ، فإن E ( K ) هي مجموعة فرعية لـ E ( L ) .

يمكن وصف المجموعات أعلاه جبريًا وهندسيًا. بالنظر إلى المنحنى y ² = x ³ + bx + c على المجال K (الذي نفترض أن سمته ليست 2 ولا 3)، والنقطتين P = ( x _P , y _P ) و Q = ( x _Q , y _Q ) على المنحنى، افترض أولاً أن x _P ≠ x _Q (الحالة 1 ). دع y = sx + d تكون معادلة الخط الذي يتقاطع مع P و Q ، والذي له الميل التالي:

${\displaystyle s={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}}$

تتقاطع معادلة الخط ومعادلة المنحنى عند النقاط x _P و x _Q و x _R ، وبالتالي فإن المعادلات لها قيم y متطابقة عند هذه القيم.

${\displaystyle \left(sx+d\right)^{2}=x^{3}+bx+c}$

وهو ما يعادل

${\displaystyle x^{3}-s^{2}x^{2}-2sdx+bx+c-d^{2}=0}$

نظرًا لأن x _P و x _Q و x _R هي حلول، فإن هذه المعادلة لها جذورها عند نفس قيم x تمامًا مثل

${\displaystyle (x-x_{P})(x-x_{Q})(x-x_{R})=x^{3}+(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})x^{2}+(x_{P}x_{Q}+x_{P}x_{R}+x_{Q}x_{R})x-x_{P}x_{Q}x_{R}}$

ولأن المعادلتين معادلتان تكعيبيتان، فلا بد أن تكونا نفس الحدود حتى يصلا إلى عدد قياسي. ثم مساواة معاملات x ² في المعادلتين

${\displaystyle -s^{2}=(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})}$

وحل المجهول x _R .

${\displaystyle x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}}$

y _R يتبع من معادلة الخط

${\displaystyle y_{R}=y_{P}-s(x_{P}-x_{R})}$

وهذا عنصر من K ، لأن s هو.

إذا كان x _P = x _Q ، فهناك خياران: إذا كان y _P = − y _Q (الحالة 3 )، بما في ذلك الحالة التي يكون فيها y _P = y _Q = 0 (الحالة 4 )، فإن المجموع يُعرَّف بأنه 0؛ وبالتالي، يتم إيجاد معكوس كل نقطة على المنحنى عن طريق عكسها عبر المحور x .

إذا كان y _P = y _Q ≠ 0 ، فإن Q = P و R = ( x _R , y _R ) = −( P + P ) = −2 P = −2 Q (الحالة 2 باستخدام P كـ R ). يتم إعطاء الميل بواسطة المماس للمنحنى عند ( x _P , y _P ).

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {3{x_{P}}^{2}+b}{2y_{P}}}\\x_{R}&=s^{2}-2x_{P}\\y_{R}&=y_{P}-s(x_{P}-x_{R})\end{aligned}}}$

هناك تعبير أكثر عمومية لذلك ينطبق على الحالتين 1 و2 وهو ${\displaystyle s}$

${\displaystyle s={\frac {{x_{P}}^{2}+x_{P}x_{Q}+{x_{Q}}^{2}+b}{y_{P}+y_{Q}}}}$

حيث المساواةي _ص − ي _س/x _ص − x _سيعتمد على P و Q الخاضعين لـ y ² = x ³ + bx + c .

بالنسبة للمنحنى y ² = x ³ + ax ² + bx + c (الشكل العام للمنحنى الإهليلجي ذو الخاصية 3)، تكون الصيغ متشابهة، مع s = ⁠x _ص ² + x _ص x _س + x _س ² + ax _ص + ax _س + ب/ي _ص + ي _سو x _R = s ² − a − x _P − x _Q . ​

بالنسبة لمنحنى مكعب عام ليس في شكل ويرشتراس الطبيعي، لا يزال بإمكاننا تعريف بنية المجموعة من خلال تعيين إحدى نقاط انعطافها التسع على أنها الهوية O. في المستوى الإسقاطي، سيتقاطع كل خط مع مكعب في ثلاث نقاط عند مراعاة التعدد. بالنسبة للنقطة P ، − يتم تعريف P على أنها النقطة الثالثة الفريدة على الخط المار عبر O و P. ثم، بالنسبة لأي P و Q ، يتم تعريف P + Q على أنه − R حيث R هي النقطة الثالثة الفريدة على الخط الذي يحتوي على P و Q.

للحصول على مثال لقانون المجموعة على منحنى غير ويرشتراس، راجع منحنيات هيسيان .

المنحنى E المحدد على مجال الأعداد النسبية محدد أيضًا على مجال الأعداد الحقيقية. لذلك، يمكن تطبيق قانون الجمع (للنقاط ذات الإحداثيات الحقيقية) بطريقة المماس والقاطع على E. تُظهر الصيغ الصريحة أن مجموع نقطتين P و Q بإحداثيات نسبية له أيضًا إحداثيات نسبية، لأن الخط الواصل بين P و Q له معاملات نسبية. بهذه الطريقة، يُظهر المرء أن مجموعة النقاط النسبية لـ E تشكل مجموعة فرعية من مجموعة النقاط الحقيقية لـ E.

يتناول هذا القسم النقاط P = ( x , y ) من E بحيث يكون x عددًا صحيحًا.

على سبيل المثال، المعادلة y ² = x ³ + 17 لها ثمانية حلول متكاملة مع y  > 0: ^{[3] [4]}

( x , y ) = (−2, 3), (−1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5234 ،378 661 ).

كمثال آخر، معادلة Ljunggren ، المنحنى الذي يكون شكل Weierstrass الخاص به هو y ² = x ³ − 2 x ، لها أربعة حلول فقط مع y  ≥ 0: ^[5]

( س , ص ) = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338,6214 ).

يمكن إنشاء نقاط نسبية باستخدام طريقة المماسات والمقاطع المفصلة أعلاه، بدءًا بعدد محدود من النقاط النسبية. وبشكل أكثر دقة ^[6] تنص نظرية مورديل-ويل على أن المجموعة E ( Q ) هي مجموعة متولدة بشكل محدود (إبيلية). وفقًا للنظرية الأساسية للمجموعات الإبيلية المتولدة بشكل محدود، فهي بالتالي مجموع مباشر محدود لنسخ Z والمجموعات الدورية المحدودة.

يتضمن إثبات النظرية ^[7] جزأين. يوضح الجزء الأول أنه بالنسبة لأي عدد صحيح m  > 1، فإن مجموعة القسمة E ( Q )/ mE ( Q ) محدودة (هذه هي نظرية مورديل-ويل الضعيفة). ثانيًا، إدخال دالة ارتفاع h على النقاط النسبية E ( Q ) المحددة بواسطة h ( P ₀ ) = 0 و h ( P ) = log max(| p |, | q |) إذا كان P (غير مساوٍ للنقطة عند اللانهاية P ₀ ) له كإحداثي عدد نسبي x = p / q (مع عدد أولي مشترك p و q ). تتمتع دالة الارتفاع h هذه بالخاصية التي مفادها أن h ( mP ) ينمو تقريبًا مثل مربع m . علاوة على ذلك، لا يوجد سوى عدد محدود من النقاط النسبية ذات الارتفاع الأصغر من أي ثابت على E .

وبالتالي فإن إثبات النظرية هو أحد أشكال طريقة النزول اللانهائي ^[8] ويعتمد على التطبيق المتكرر للتقسيمات الإقليدية على E : دع P ∈ E ( Q ) تكون نقطة نسبية على المنحنى، واكتب P كمجموع 2 P ₁ + Q ₁ حيث Q ₁ هو ممثل ثابت لـ P في E ( Q )/2 E ( Q ) ، وارتفاع P ₁ حوالي1/4من واحد من P (بشكل عام، استبدال 2 بأي m > 1، و1/4بواسطة​​1/م ²⁠ ). إعادة نفس الشيء مع P ₁ ، أي P ₁ = 2 P ₂ + Q ₂ ، ثم P ₂ = 2 P ₃ + Q ₃ ، وهكذا يعبر أخيرًا عن P كتركيبة خطية متكاملة من النقاط Q _i ونقاط يكون ارتفاعها محددًا بثابت ثابت تم اختياره مسبقًا: من خلال نظرية مورديل-ويل الضعيفة والخاصية الثانية لدالة الارتفاع، يتم التعبير عن P كتركيبة خطية متكاملة لعدد محدود من النقاط الثابتة.

ومع ذلك، لا تقدم النظرية طريقة لتحديد أي ممثلين لـ E ( Q )/ mE ( Q ).

رتبة E ( Q )، أي عدد نسخ Z في E ( Q ) أو ، على نحو مكافئ ، عدد النقاط المستقلة ذات الترتيب اللانهائي، تسمى رتبة E. تهتم تخمينة بيرش وسوينرتون-داير بتحديد الرتبة . يمكن للمرء أن يخمن أنها يمكن أن تكون كبيرة بشكل تعسفي، حتى لو كانت الأمثلة ذات الرتبة الصغيرة نسبيًا معروفة فقط. المنحنى الإهليلجي ذو الرتبة الأكبر المعروفة حاليًا هو

y ² + xy + y = x ³ − x ² − 244 537 673 336 319 601 463 803 487 168 961 769 270 757 573 821 859 853 707 x + 961 710 182 053 183 034 546 222 979 258 806 817 743 270 682 028 964 434 238 957 830 989 898 438 151 121 499 931

إنها تحتل المرتبة 20، والتي اكتشفها نوام إلكيز وزيف كلاجسبورن في عام 2020. كانت المنحنيات ذات المرتبة الأعلى من 20 معروفة منذ عام 1994، مع حدود سفلية لرتبها تتراوح من 21 إلى 29، لكن رتبها الدقيقة غير معروفة وعلى وجه الخصوص لم يتم إثبات أي منها لديه مرتبة أعلى من الآخرين أو من هو "البطل الحالي" الحقيقي. ^[9]

أما بالنسبة للمجموعات التي تشكل مجموعة الالتواء الفرعية لـ E ( Q )، فإن ما يلي معروف: ^[10] مجموعة الالتواء الفرعية لـ E ( Q ) هي واحدة من المجموعات الخمس عشرة التالية ( نظرية ترجع إلى باري مازور ): Z / N Z لـ N = 1، 2، ...، 10، أو 12، أو Z / 2 Z × Z / 2 N Z مع N = 1، 2، 3، 4. الأمثلة لكل حالة معروفة. علاوة على ذلك، فإن المنحنيات الإهليلجية التي تحتوي مجموعات Mordell-Weil الخاصة بها على Q على نفس مجموعات الالتواء تنتمي إلى عائلة ذات معلمات. ^[11]

تخمين بيرش وسوينرتون-داير (BSD) هو أحد مسائل الألفية لمعهد كلاي للرياضيات . يعتمد التخمين على كائنات تحليلية وحسابية يتم تحديدها بواسطة المنحنى الإهليلجي المعني.

على الجانب التحليلي، أحد المكونات المهمة هو دالة المتغير المركب، L ، دالة زيتا هاس-ويل لـ E على Q. هذه الدالة هي أحد أشكال دالة زيتا لريمان ودالات L لديريتشليت . وهي تُعرَّف بأنها حاصل ضرب أويلر ، مع عامل واحد لكل عدد أولي p .

بالنسبة لمنحنى E على Q المعطى بواسطة معادلة دنيا

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

مع معاملات متكاملة ، فإن تقليل المعاملات modulo p يحدد منحنى إهليلجي على المجال المحدود F _p (باستثناء عدد محدود من الأعداد الأولية p ، حيث يكون للمنحنى المختزل تفرد وبالتالي يفشل في أن يكون إهليلجيًا، وفي هذه الحالة يقال إن E له اختزال سيئ عند p ). ${\displaystyle a_{i}}$

إن دالة زيتا لمنحنى إهليلجي فوق حقل محدود F _p هي، بمعنى ما، دالة توليد تجمع معلومات عدد نقاط E ذات القيم في امتدادات الحقل المحدودة F _{p ⁿ} لـ F _p . وهي تعطى بواسطة ^[12]

${\displaystyle Z(E(\mathbf {F} _{p}),T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\#\left[E({\mathbf {F} }_{p^{n}})\right]{\frac {T^{n}}{n}}\right)}$

يشبه المجموع الداخلي للأسي تطور اللوغاريتم ، وفي الواقع فإن دالة زيتا المحددة على هذا النحو هي دالة نسبية في T :

${\displaystyle Z(E(\mathbf {F} _{p}),T)={\frac {1-a_{p}T+pT^{2}}{(1-T)(1-pT)}},}$

حيث يتم تعريف مصطلح "أثر فروبينيوس" ^[13] على أنه الفرق بين العدد "المتوقع" وعدد النقاط على المنحنى الإهليلجي على ، أي. ${\displaystyle a_{p}}$${\displaystyle p+1}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle a_{p}=p+1-\#E(\mathbb {F} _{p})}$

أو ما يعادله،

${\displaystyle \#E(\mathbb {F} _{p})=p+1-a_{p}}$.

يمكننا تعريف نفس الكميات والوظائف على حقل محدود عشوائي من الخاصية ، مع الاستبدال في كل مكان. ${\displaystyle p}$${\displaystyle q=p^{n}}$${\displaystyle p}$

يتم بعد ذلك تعريف دالة L لـ E على Q من خلال جمع هذه المعلومات معًا، لجميع الأعداد الأولية p . يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle L(E(\mathbf {Q} ),s)=\prod _{p\not \mid N}\left(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}\right)^{-1}\cdot \prod _{p\mid N}\left(1-a_{p}p^{-s}\right)^{-1}}$

حيث N هو موصل E ، أي حاصل ضرب الأعداد الأولية ذات الاختزال السيئ )، ^[14] وفي هذه الحالة يتم تعريف p بشكل مختلف عن الطريقة المذكورة أعلاه: انظر سيلفرمان (1986) أدناه _.${\displaystyle (\Delta (E\mod p)=0}$

على سبيل المثال، يكون التخفيض سيئًا عند 17 ، لأنه يحتوي على . ${\displaystyle E:y^{2}=x^{3}+14x+19}$${\displaystyle E\mod 17:y^{2}=x^{3}-3x+2}$${\displaystyle \Delta =0}$

يتقارب هذا المنتج لـ Re( s ) > 3/2 فقط. يؤكد تخمين هاس أن الدالة L تسمح باستمرار تحليلي للمستوى المركب بأكمله وتلبي معادلة وظيفية تتعلق، لأي s ، L ( E ، s ) بـ L ( E ، 2 − s ). في عام 1999، تبين أن هذا نتيجة لإثبات تخمين شيمورا-تانياما-ويل، الذي يؤكد أن كل منحنى إهليلجي على Q هو منحنى معياري ، مما يعني أن دالة L الخاصة به هي دالة L لشكل معياري يُعرف استمراره التحليلي. وبالتالي، يمكن للمرء أن يتحدث عن قيم L ( E ، s ) عند أي عدد مركب s .

عند s=1 (يمكن تجاهل حاصل الموصل لأنه محدود)، تصبح دالة L

${\displaystyle L(E(\mathbf {Q} ),1)=\prod _{p\not \mid N}\left(1-a_{p}p^{-1}+p^{-1}\right)^{-1}=\prod _{p\not \mid N}{\frac {p}{p-a_{p}+1}}=\prod _{p\not \mid N}{\frac {p}{\#E(\mathbb {F} _{p})}}}$

يربط تخمين بيرش وسوينرتون-داير بين حساب المنحنى وسلوك دالة L هذه عند s  = 1. ويؤكد أن مرتبة التلاشي لدالة L عند s  = 1 تساوي رتبة E ويتنبأ بالمصطلح الرئيسي لسلسلة لوران لـ L ( E ، s ) عند تلك النقطة من حيث العديد من الكميات المرتبطة بالمنحنى الإهليلجي.

على غرار فرضية ريمان ، فإن حقيقة تخمين BSD سيكون لها عواقب متعددة، بما في ذلك النتيجتان التاليتان:

• يُعرَّف العدد المتطابق بأنه عدد صحيح فردي خالٍ من المربعات n وهو مساحة مثلث قائم الزاوية بطول ضلع نسبي. ومن المعروف أن n هو عدد متطابق إذا وفقط إذا كان للمنحنى الإهليلجي نقطة نسبية من رتبة لا نهائية؛ وبافتراض BSD، فإن هذا يعادل أن يكون لدالة L الخاصة به صفر عند s  = 1. وقد أظهر تونيل نتيجة ذات صلة: بافتراض BSD، يكون n عددًا متطابقًا إذا وفقط إذا كان عدد الثلاثيات من الأعداد الصحيحة ( x ، y ، z ) التي تحقق الشرط ضعف عدد الثلاثيات التي تحقق الشرط . والاهتمام في هذا البيان هو أن الشرط سهل التحقق منه. ^[15]${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$${\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n}$${\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n}$
• في اتجاه مختلف، تسمح بعض الطرق التحليلية بتقدير ترتيب الصفر في مركز الشريط الحرج لبعض وظائف L. وبقبول BSD، تتوافق هذه التقديرات مع المعلومات حول رتبة عائلات المنحنيات الإهليلجية المقابلة. على سبيل المثال: بافتراض فرضية ريمان المعممة وBSD، فإن متوسط ​​رتبة المنحنيات المعطاة بواسطة أصغر من 2. ^[16]${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

ليكن K = F _q هو الحقل المحدود الذي يحتوي على عناصر q و E هو منحنى إهليلجي محدد على K. وفي حين يصعب حساب العدد الدقيق للنقاط النسبية لمنحنى إهليلجي E على K بشكل عام، فإن نظرية هاس حول المنحنيات الإهليلجية تعطي المتباينة التالية:

${\displaystyle |\#E(K)-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}}$

بعبارة أخرى، يتزايد عدد النقاط على المنحنى بشكل متناسب مع عدد العناصر في الحقل. ويمكن فهم هذه الحقيقة وإثباتها بمساعدة بعض النظريات العامة؛ انظر على سبيل المثال دالة زيتا المحلية وتماثل إيتال .

مجموعة النقاط E ( F _q ) هي مجموعة أبيلية منتهية. وهي دائمًا دائرية أو حاصل ضرب مجموعتين دائريتين. على سبيل المثال، ^[17] المنحنى المحدد بواسطة

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$

يحتوي المجال فوق F ₇₁ على 72 نقطة (71 نقطة أفينية بما في ذلك (0,0) ونقطة واحدة عند اللانهاية ) فوق هذا المجال، والذي يتم تحديد بنية مجموعته بواسطة Z /2 Z × Z /36 Z. يمكن حساب عدد النقاط على منحنى معين باستخدام خوارزمية Schoof .

يتم تسهيل دراسة المنحنى على امتدادات المجال لـ F _q من خلال إدخال دالة زيتا المحلية لـ E على F _q ، والتي يتم تحديدها بواسطة سلسلة توليد (انظر أيضًا أعلاه)

${\displaystyle Z(E(K),T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\#\left[E(K_{n})\right]{T^{n} \over n}\right)}$

حيث أن المجال K _n هو الامتداد (الفريد حتى التماثل) لـ K = F _q من الدرجة n (أي، ). ${\displaystyle K_{n}=F_{q^{n}}}$

دالة زيتا هي دالة نسبية في T. ولرؤية ذلك، ضع في اعتبارك العدد الصحيح بحيث ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \#E(K)=1-a+q}$

هناك عدد مركب بحيث ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle 1-a+q=(1-\alpha )(1-{\bar {\alpha }})}$

أين هو المترافق المعقد ، وبالتالي لدينا ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$

${\displaystyle \alpha +{\bar {\alpha }}=a}$

${\displaystyle \alpha {\bar {\alpha }}=q}$

نختار بحيث تكون قيمتها المطلقة هي ، أي ، و أن . لاحظ أن . ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\sqrt {q}}}$${\displaystyle \alpha =q^{\frac {1}{2}}e^{i\theta },{\bar {\alpha }}=q^{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }}$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{2{\sqrt {q}}}}}$${\displaystyle |a|\leq 2{\sqrt {q}}}$

${\displaystyle \alpha }$يمكن بعد ذلك استخدامها في دالة زيتا المحلية حيث يمكن القول أن قيمها عند رفعها إلى قوى مختلفة لـ n تقترب بشكل معقول من سلوك ، في ذلك ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \#E(K_{n})=1-a_{n}+q^{n}}$

باستخدام متسلسلة تايلور للوغاريتم الطبيعي ،

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}Z(E(K),T)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\alpha ^{n}-{\bar {\alpha }}^{n}+q^{n}\right){T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty }\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}+\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}{T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(-\ln(1-T)+\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)-\ln(1-qT)\right)\\&=\exp \left(\ln {\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\right)\\&={\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\\\end{alignedat}}}$

ثم ، وأخيرا ${\displaystyle (1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)=1-aT+qT^{2}}$

${\displaystyle Z(E(K),T)={\frac {1-aT+qT^{2}}{(1-qT)(1-T)}}}$

على سبيل المثال، ^[18] يتم إعطاء دالة زيتا لـ E  : y ² + y = x ³ على الحقل F _{2 بواسطة}

${\displaystyle {\frac {1+2T^{2}}{(1-T)(1-2T)}}}$

والتي تتبع من:

${\displaystyle \left|E(\mathbf {F} _{2^{r}})\right|={\begin{cases}2^{r}+1&r{\text{ odd}}\\2^{r}+1-2(-2)^{\frac {r}{2}}&r{\text{ even}}\end{cases}}}$

كما ، إذن ، إذن . ${\displaystyle q=2}$${\displaystyle |E|=2^{1}+1=3=1-a+2}$${\displaystyle a=0}$

المعادلة الوظيفية هي

${\displaystyle Z\left(E(K),{\frac {1}{qT}}\right)={\frac {1-a{\frac {1}{qT}}+q\left({\frac {1}{qT}}\right)^{2}}{(1-q{\frac {1}{qT}})(1-{\frac {1}{qT}})}}={\frac {q^{2}T^{2}-aqT+q}{(qT-q)(qT-1)}}=Z(E(K),T)}$

نظرًا لأننا مهتمون فقط بسلوك ، فيمكننا استخدام دالة زيتا المخفضة ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle Z(a,T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }-a_{n}{T^{n} \over n}\right)}$

${\displaystyle Z(a,T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }-\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}\right)}$

وهكذا

${\displaystyle Z(a,T)=\exp \left(\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)\right)}$

وهو ما يؤدي مباشرة إلى وظائف L المحلية

${\displaystyle L(E(K),T)=1-aT+qT^{2}}$

تخمين ساتو -تيت هو بيان حول كيفية تغير مصطلح الخطأ في نظرية هاس مع الأعداد الأولية المختلفة q ، إذا تم تقليل المنحنى الإهليلجي E على Q modulo q. وقد تم إثباته (لكل هذه المنحنيات تقريبًا) في عام 2006 بسبب نتائج تايلور وهاريس وشيبرد-بارون، ^[19] ويقول إن مصطلحات الخطأ موزعة بالتساوي. ${\displaystyle 2{\sqrt {q}}}$

تُستخدم المنحنيات الإهليلجية على الحقول المحدودة بشكل ملحوظ في التشفير وفي تحليل الأعداد الصحيحة الكبيرة إلى عوامل . غالبًا ما تستخدم هذه الخوارزميات بنية المجموعة على نقاط E. وبالتالي، يمكن تطبيق الخوارزميات القابلة للتطبيق على المجموعات العامة، على سبيل المثال مجموعة العناصر القابلة للعكس في الحقول المحدودة، F * _q ، على مجموعة النقاط على منحنى إهليلجي. على سبيل المثال، اللوغاريتم المنفصل هو أحد هذه الخوارزميات. والاهتمام في هذا هو أن اختيار منحنى إهليلجي يسمح بمزيد من المرونة من اختيار q (وبالتالي مجموعة الوحدات في F _q ). كما أن بنية مجموعة المنحنيات الإهليلجية أكثر تعقيدًا بشكل عام.

يمكن تعريف المنحنيات الإهليلجية على أي مجال K ؛ التعريف الرسمي للمنحنى الإهليلجي هو منحنى جبري إسقاطي غير مفرد على K مع جنس 1 ومزود بنقطة مميزة محددة على K.

إذا كانت خاصية K ليست 2 ولا 3، فيمكن كتابة كل منحنى إهليلجي على K في النموذج

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q}$

بعد تغيير خطي للمتغيرات. هنا p و q هما عنصران من K بحيث لا يحتوي كثير الحدود على الجانب الأيمن x ³ − px − q على أي جذور مزدوجة. إذا كانت الخاصية 2 أو 3، فيجب الاحتفاظ بمزيد من الحدود: في الخاصية 3، تكون المعادلة الأكثر عمومية من الشكل

${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}}$

بالنسبة للثوابت التعسفية b ₂ و b _{4 و} b 6 بحيث يكون للحدودية الموجودة على الجانب الأيمن جذور مميزة (تم اختيار الترميز لأسباب تاريخية). في الخاصية 2، حتى هذا القدر غير ممكن، والمعادلة الأكثر عمومية هي

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

بشرط أن يكون التنوع الذي يحدده غير مفرد. إذا لم تكن الخاصية عائقًا، فإن كل معادلة سوف تتقلص إلى المعادلات السابقة من خلال تغيير خطي مناسب للمتغيرات.

عادةً ما نأخذ المنحنى على أنه مجموعة جميع النقاط ( x ، y ) التي تلبي المعادلة أعلاه بحيث يكون كل من x و y عناصر للإغلاق الجبري لـ K. تُسمى نقاط المنحنى التي تنتمي إحداثياتها إلى K نقاط K النسبية .

تظل العديد من النتائج السابقة صالحة عندما يكون مجال تعريف E هو حقل عدد K ، أي امتداد مجال محدود لـ Q. وعلى وجه الخصوص، فإن المجموعة E(K) من النقاط النسبية K لمنحنى إهليلجي E معرف على K يتم إنشاؤها بشكل محدود، مما يعمم نظرية مورديل-ويل أعلاه. تُظهر نظرية بسبب لويك ميريل أنه بالنسبة لعدد صحيح معين d ، يوجد ( حتى التماثل) عدد محدود فقط من المجموعات التي يمكن أن تحدث كمجموعات التواء لـ E ( K ) لمنحنى إهليلجي معرف على حقل عدد K من الدرجة d . وبشكل أكثر دقة، ^[20] يوجد عدد B ( d ) بحيث بالنسبة لأي منحنى إهليلجي E معرف على حقل عدد K من الدرجة d ، فإن أي نقطة التواء لـ E ( K ) تكون من رتبة أقل من B ( d ). تكون النظرية فعالة: بالنسبة إلى d > 1، إذا كانت نقطة الالتواء من رتبة p ، مع p أولي، إذن

${\displaystyle p<d^{3d^{2}}}$

أما بالنسبة للنقاط المتكاملة، فإن مبرهنة سيجل تعمم على النحو التالي: ليكن E منحنى إهليلجي محددًا على حقل عددي K و x و y إحداثيات فايرستراس. إذن ، هناك عدد محدود فقط من نقاط E(K) التي يكون إحداثي x فيها في حلقة الأعداد الصحيحة O _K.

يمكن أيضًا توسيع خصائص دالة زيتا هاس-ويل وتخمين بيرش وسوينيرتون-داير إلى هذا الوضع الأكثر عمومية.

إن صياغة المنحنيات الإهليلجية باعتبارها تضمينًا لطور في المستوى الإسقاطي المركب تتبع بشكل طبيعي خاصية غريبة لوظائف ويرشتراس الإهليلجية . ترتبط هذه الوظائف ومشتقها الأول بالصيغة

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$

هنا، g ₂ و g ₃ ثابتان؛ ℘( z ) هي دالة فايرستراس الإهليلجية و℘ ′ ( z ) مشتقتها. يجب أن يكون من الواضح أن هذه العلاقة في شكل منحنى إهليلجي (على الأعداد المركبة ). تكون دوال فايرستراس دورية مزدوجة؛ أي أنها دورية بالنسبة إلى الشبكة Λ ؛ في الأساس، يتم تعريف دوال فايرستراس بشكل طبيعي على حلقة T = C /Λ . يمكن تضمين هذه الحلقة في المستوى الإسقاطي المركب عن طريق الخريطة

${\displaystyle z\mapsto \left[1:\wp (z):{\tfrac {1}{2}}\wp '(z)\right]}$

هذه الخريطة عبارة عن تماثل مجموعة للطور (مع مراعاة بنية مجموعته الطبيعية) مع قانون مجموعة الوتر والظل على المنحنى المكعب الذي يمثل صورة هذه الخريطة. وهي أيضًا تماثل لأسطح ريمان من الطور إلى المنحنى المكعب، لذا من الناحية الطوبولوجية، فإن المنحنى الإهليلجي هو طور. إذا كانت الشبكة Λ مرتبطة عن طريق الضرب بعدد مركب غير صفري c بشبكة c Λ ، فإن المنحنيات المقابلة تكون متماثلة. يتم تحديد فئات التماثل للمنحنيات الإهليلجية بواسطة الثابت j .

يمكن فهم فئات التماثل بطريقة أبسط أيضًا. يتم تحديد الثوابت g ₂ و g ₃ ، والتي تسمى الثوابت المعيارية ، بشكل فريد بواسطة الشبكة، أي بواسطة بنية الطارة. ومع ذلك، فإن جميع الحدوديات الحقيقية تتحلل تمامًا إلى عوامل خطية على الأعداد المركبة، لأن مجال الأعداد المركبة هو الإغلاق الجبري للأعداد الحقيقية. لذا، يمكن كتابة المنحنى الإهليلجي على النحو التالي

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

نجد أن

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}'&={\frac {\sqrt[{3}]{4}}{3}}\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)\\[4pt]g_{3}'&={\frac {1}{27}}(\lambda +1)\left(2\lambda ^{2}-5\lambda +2\right)\end{aligned}}}$

و

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {{g_{2}'}^{3}}{{g_{2}'}^{3}-27{g_{3}'}^{2}}}=256{\frac {\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)^{3}}{\lambda ^{2}\left(\lambda -1\right)^{2}}}}$

مع j -invariant j ( τ ) و λ ( τ ) تسمى أحيانًا دالة لامدا المعيارية . على سبيل المثال، دع τ = 2 i ، ثم λ (2 i ) = (−1 + √ 2 ) ⁴ مما يعني g ′ ₂ و g ′ ₃ وبالتالي g ′ ₂³
- 27 جرام ′ ₃²
من الصيغة أعلاه هي جميع الأرقام الجبرية إذا كان τ يتضمن حقلًا تربيعيًا وهميًا . في الواقع، ينتج عنه عدد صحيح j (2 i ) = 66 ³ =287 496 .

على النقيض من ذلك، فإن المميز المعياري

${\displaystyle \Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}$

هو عمومًا عدد متسامي . وعلى وجه الخصوص، قيمة دالة إيتا لـ Dedekind η (2 i ) هي

${\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}}$

لاحظ أن نظرية التوحيد تعني أن كل سطح ريمان مضغوط من الجنس الأول يمكن تمثيله على هيئة حلقة. وهذا يسمح أيضًا بفهم سهل لنقاط الالتواء على منحنى إهليلجي: إذا كانت الشبكة Λ ممتدة بواسطة الفترتين الأساسيتين ω ₁ و ω ₂ ، فإن نقاط الالتواء n هي (فئات التكافؤ) للنقاط من النموذج

${\displaystyle {\frac {a}{n}}\omega _{1}+{\frac {b}{n}}\omega _{2}}$

للأعداد الصحيحة a و b في النطاق 0 ≤ ( a , b ) < n .

لو

${\displaystyle E:y^{2}=4(x-e_{1})(x-e_{2})(x-e_{3})}$

هو منحنى إهليلجي على الأعداد المركبة و

${\displaystyle a_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{3}}},\qquad b_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{2}}},\qquad c_{0}={\sqrt {e_{2}-e_{3}}},}$

ومن ثم يمكن حساب زوج من الفترات الأساسية لـ E بسرعة كبيرة عن طريق

${\displaystyle \omega _{1}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (a_{0},b_{0})}},\qquad \omega _{2}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (c_{0},ib_{0})}}}$

M( w , z ) هو المتوسط ​​الحسابي والهندسي لـ w و z . في كل خطوة من خطوات تكرار المتوسط ​​الحسابي والهندسي، يتم اختيار علامات z _n الناشئة عن غموض تكرارات المتوسط ​​الهندسي بحيث | w _n − z _n | ≤ | w _n + z _n | حيث تشير w _n و z _n إلى المتوسط ​​الحسابي الفردي والمتوسط ​​الهندسي لتكرارات w و z على التوالي. عندما | w _n − z _n | = | w _n + z _n | ، يوجد شرط إضافي وهو Im ( ⁠ز _ن/و _ن) > 0 . ^[21 ]

على الأعداد المركبة، كل منحنى إهليلجي له تسع نقاط انعطاف . كل خط يمر عبر نقطتين من هذه النقاط يمر أيضًا عبر نقطة انعطاف ثالثة؛ النقاط التسع والخطوط الـ 12 المتكونة بهذه الطريقة تشكل تحقيقًا لتكوين هيسه .

نظرا لتشابه الجينات

${\displaystyle f:E\rightarrow E'}$

من المنحنيات الإهليلجية من الدرجة ، فإن التماثل المزدوج هو تماثل ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\hat {f}}:E'\rightarrow E}$

من نفس الدرجة بحيث

${\displaystyle f\circ {\hat {f}}=[n].}$

يشير هنا إلى الضرب في التماثل الذي له درجة${\displaystyle [n]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle e\mapsto ne}$${\displaystyle n^{2}.}$

غالبًا ما يكون وجود تماثل مزدوج مطلوبًا فقط، ولكن يمكن تقديمه صراحةً باعتباره التركيب

${\displaystyle E'\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E')\to {\mbox{Div}}^{0}(E)\rightarrow E\,}$

أين هي مجموعة القواسم من الدرجة 0. للقيام بذلك، نحتاج إلى الخرائط المعطاة بواسطة أين هي النقطة المحايدة لـ و المعطاة بواسطة ${\displaystyle {\mathrm {Div} }^{0}}$${\displaystyle E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)}$${\displaystyle P\to P-O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mbox{Div}}^{0}(E)\rightarrow E\,}$${\displaystyle \sum n_{P}P\to \sum n_{P}P.}$

ولكي نرى ذلك ، لاحظ أنه يمكن كتابة التماثل الأصلي على هيئة مركب ${\displaystyle f\circ {\hat {f}}=[n]}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)\to {\mbox{Div}}^{0}(E')\to E'\,}$

وبما أن الدرجة محدودة ، فإن الضرب في ${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{*}f^{*}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mbox{Div}}^{0}(E').}$

بدلاً من ذلك، يمكننا استخدام مجموعة بيكارد الأصغر ، وهي حاصل قسمة الخريطة على التماثل ، والتماثل المزدوج هو ${\displaystyle {\mathrm {Pic} }^{0}}$${\displaystyle {\mbox{Div}}^{0}.}$${\displaystyle E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)}$${\displaystyle E\to {\mbox{Pic}}^{0}(E).}$

${\displaystyle E'\to {\mbox{Pic}}^{0}(E')\to {\mbox{Pic}}^{0}(E)\to E\,}$

لاحظ أن العلاقة تتضمن أيضًا علاقة الاقتران Indeed، دع Then But تكون صفة مطلقة ، لذا يجب أن يكون لدينا ${\displaystyle f\circ {\hat {f}}=[n]}$${\displaystyle {\hat {f}}\circ f=[n].}$${\displaystyle \phi ={\hat {f}}\circ f.}$${\displaystyle \phi \circ {\hat {f}}={\hat {f}}\circ [n]=[n]\circ {\hat {f}}.}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle \phi =[n].}$

تُستخدم المنحنيات الإهليلجية على الحقول المحدودة في بعض تطبيقات التشفير وكذلك في تحليل الأعداد الصحيحة . عادةً، الفكرة العامة في هذه التطبيقات هي إعادة كتابة خوارزمية معروفة تستخدم مجموعات محدودة معينة لاستخدام مجموعات النقاط النسبية للمنحنيات الإهليلجية. لمزيد من المعلومات، انظر أيضًا:

• تشفير المنحنى الإهليلجي
• تبادل مفتاح ديفي-هيلمان ذو المنحنى الإهليلجي
• تبادل مفتاح التماثل المتماثل الفائق
• خوارزمية التوقيع الرقمي للمنحنى الإهليلجي
• خوارزمية التوقيع الرقمي EdDSA
• مولد الأرقام العشوائية Dual EC DRBG
• تحليل المنحنى الإهليلجي لينسترا
• إثبات بدائية المنحنى الإهليلجي

• منحنى هيسيان
• منحنى إدواردز
• المنحنى الملتوي
• منحنى هيسيان الملتوي
• منحنى إدواردز الملتوي
• منحنى دوشي-إيكارت-كوهيل الموجه نحو التضاعف
• منحنى دوشي-إيكارت-كوهيل الموجه للثلاثية
• منحنى جاكوبي
• منحنى مونتجومري

• ديناميكيات الحساب
• الجبر الإهليلجي
• سطح بيضاوي
• مقارنة بين أنظمة الجبر الحاسوبية
• تماثل التكوين
• خط جيه
• البنية المستوية (الهندسة الجبرية)
• نظرية الوحدات النمطية
• مجموعة وحدات من المنحنيات الإهليلجية
• نظرية ناجيل-لوتز
• صيغة ريمان-هورويتز
• إثبات ويلز لنظرية فيرما الأخيرة

صرح سيرج لانج في مقدمة الكتاب المذكور أدناه بأنه "من الممكن الكتابة إلى ما لا نهاية على المنحنيات الإهليلجية. (وهذا ليس تهديدًا)." وبالتالي فإن القائمة القصيرة التالية هي في أفضل الأحوال دليل على الأدبيات التوضيحية الواسعة المتاحة حول الجوانب النظرية والخوارزمية والتشفيرية للمنحنيات الإهليلجية.

• إيان بليك؛ جاديل سيروسي؛ نايجل سمارت (2000). المنحنيات الإهليلجية في التشفير . ملاحظات محاضرات نظام إدارة التعلم. مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 0-521-65374-6.
• براون، عزرا (2000). "ثلاثة مسارات فيرما إلى المنحنيات الإهليلجية". مجلة الرياضيات الجامعية . 31 (3): 162-172. doi :10.1080/07468342.2000.11974137. S2CID  5591395.، الفائز بجائزة الكتابة MAA وجائزة جورج بوليا
• ريتشارد كراندال ؛ كارل بوميرانس (2001). "الفصل 7: حساب المنحنى الإهليلجي". الأعداد الأولية: منظور حسابي (الطبعة الأولى). دار سبرينغر للنشر. ص 285-352. رقم ISBN 0-387-94777-9.
• كريمونا، جون (1997). خوارزميات المنحنيات الإهليلجية المعيارية (الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 0-521-59820-6.
• داريل هانكرسون، ألفريد مينيزيس وسكوت فانستون (2004). دليل التشفير باستخدام المنحنيات الإهليلجية. سبرينغر . رقم ISBN 0-387-95273-X.
• هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم (2008) [1938]. مقدمة إلى نظرية الأعداد . مراجعة الدكتور هيث براون وجيه إتش سيلفرمان . مقدمة بقلم أندرو وايلز . (الطبعة السادسة). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد . رقم ISBN 978-0-19-921986-5. السيد  2445243. زبل  1159.11001. الفصل الخامس والعشرون
• هيليغوارتش، إيف (2001). دعوة للرياضيات من فيرما-ويلز . باريس: دونود. رقم ISBN 978-2-10-005508-1.
• هوزيمولر، ديل (2004). المنحنيات الإهليلجية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 111 (الطبعة الثانية). سبرينغر. رقم ISBN 0-387-95490-2.
• كينيث أيرلاند؛ مايكل آي روزن (1998). "الفصلان 18 و19". مقدمة كلاسيكية لنظرية الأعداد الحديثة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 84 (الطبعة الثانية المنقحة). سبرينغر. رقم ISBN 0-387-97329-X.
• ناب، أنتوني دبليو. (2018) [1992]. المنحنيات الإهليلجية. ملاحظات رياضية. المجلد 40. مطبعة جامعة برينستون. رقم ISBN 9780691186900.
• كوبليتز، نيل (1993). مقدمة إلى المنحنيات الإهليلجية والأشكال المعيارية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 97 (الطبعة الثانية). دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 0-387-97966-2.
• كوبليتز، نيل (1994). "الفصل 6". دورة في نظرية الأعداد والتشفير . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 114 (الطبعة الثانية). دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 0-387-94293-9.
• سيرج لانج (1978). المنحنيات الإهليلجية: تحليل الديوفانتين . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد. 231. سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-08489-4.
• هنري ماكين ؛ فيكتور مول (1999). المنحنيات الإهليلجية: نظرية الوظيفة والهندسة والحساب . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 0-521-65817-9.
• إيفان نيفين ؛ هربرت س. زوكرمان؛ هيو مونتجومري (1991). "القسم 5.7" . مقدمة إلى نظرية الأعداد (الطبعة الخامسة). جون وايلي. ISBN 0-471-54600-3.
• سيلفرمان، جوزيف هـ. (1986). حساب المنحنيات الإهليلجية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 106. دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 0-387-96203-4.
• جوزيف إتش سيلفرمان (1994). موضوعات متقدمة في حساب المنحنيات الإهليلجية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 151. دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 0-387-94328-5.
• جوزيف إتش سيلفرمان ؛ جون تيت (1992). النقاط المنطقية على المنحنيات الإهليلجية . دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 0-387-97825-9.
• جون تيت (1974). "حساب المنحنيات الإهليلجية". اختراعات الرياضيات . 23 (3-4): 179-206. رمز Bibcode :1974InMat..23..179T. doi :10.1007/BF01389745. S2CID  120008651.
• لورانس واشنطن (2003). المنحنيات الإهليلجية: نظرية الأعداد والتشفير . تشابمان وهول/سي آر سي. رقم ISBN 1-58488-365-0.

• LMFDB: قاعدة بيانات المنحنيات الإهليلجية على Q
• "المنحنى الإهليلجي"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "المنحنيات الإهليلجية". MathWorld .
• حساب المنحنيات الإهليلجية من PlanetMath
• منحنى إهليلجي تفاعلي على R وعلى Zp – تطبيق ويب يتطلب متصفحًا متوافقًا مع HTML5.

تتضمن هذه المقالة مواد من Isogeny على PlanetMath ، والتي تخضع لرخصة المشاع الإبداعي المنسوبة للمؤلف/المرخصة بالمثل .