نظرية الخراب

في علم الإكتوارية والاحتمالات التطبيقية ، تستخدم نظرية الإفلاس (أو نظرية المخاطر ^{[ 1 ]} أو نظرية المخاطر الجماعية ) نماذج رياضية لوصف مدى تعرض شركة التأمين للإفلاس/الإعسار. في هذه النماذج، تتمثل الكميات الرئيسية ذات الأهمية في احتمالية الإفلاس، وتوزيع الفائض مباشرة قبل الإفلاس، والعجز عند حدوث الإفلاس.

تم تقديم الأساس النظري لنظرية الإفلاس، والمعروف بنموذج كرامر-لوندبيرغ (أو نموذج مخاطر بواسون المركب الكلاسيكي، أو عملية المخاطر الكلاسيكية ^{[ 2 ]} أو عملية مخاطر بواسون)، في عام 1903 من قبل الخبير الاكتواري السويدي فيليب لوندبيرغ . ^{[ 3 ]} أعيد نشر عمل لوندبيرغ في ثلاثينيات القرن العشرين بواسطة هارالد كرامر . ^{[ 4 ]}

يصف النموذج شركة تأمين تواجه تدفقين نقديين متعاكسين: أقساط التأمين الواردة والمطالبات الصادرة. تصل الأقساط بمعدل ثابت.${\textstyle c>0}$تصل المطالبات من العملاء وفقًا لعملية بواسون${\displaystyle N_{t}}$بكثافة${\textstyle \lambda }$وهي متغيرات عشوائية غير سالبة مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا${\displaystyle \xi _{i}}$مع التوزيع${\textstyle F}$ويعني${\textstyle \mu }$(إنها تشكل عملية بواسون مركبة ). لذا بالنسبة لشركة تأمين تبدأ بفائض أولي${\textstyle x}$إجمالي الأصول${\displaystyle X_{t}}$يتم تحديدها بواسطة: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ لـ t}}\geq 0.}$

الهدف الرئيسي للنموذج هو دراسة احتمالية انخفاض مستوى فائض شركة التأمين في نهاية المطاف إلى ما دون الصفر (مما يؤدي إلى إفلاس الشركة). تُعرَّف هذه الكمية، التي تُسمى احتمالية الإفلاس النهائي، على النحو التالي:

${\displaystyle \psi (x)=\mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}}$،

حيث يكون وقت الخراب${\displaystyle \tau =\inf\{t>0\,:\,X(t)<0\}}$مع الاتفاق على أن${\displaystyle \inf \varnothing =\infty }$ويمكن حساب ذلك بدقة باستخدام صيغة بولاتشيك-خينشين كما في ^{[ 6 ]} (دالة الإفلاس هنا تعادل دالة الذيل للتوزيع الثابت لوقت الانتظار في طابور M/G/1 ^{[ 7 ]} ) .

${\displaystyle \psi (x)=\left(1-{\frac {\lambda \mu }{c}}\right)\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\lambda \mu }{c}}\right)^{n}(1-F_{l}^{\ast n}(x))}$

أين${\displaystyle F_{l}}$هو تحويل توزيع الذيل لـ${\displaystyle F}$،

${\displaystyle F_{l}(x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{x}\left(1-F(u)\right){\text{d}}u}$

و${\displaystyle \cdot ^{\ast n}}$يشير إلى${\displaystyle n}$الالتفاف ذو الـ λ . في حالة توزيع أحجام المطالبات بشكل أسي، يتبسط هذا إلى ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \psi (x)={\frac {\lambda \mu }{c}}e^{-\left({\frac {1}{\mu }}-{\frac {\lambda }{c}}\right)x}.}$

بافتراض أن القسط يساوي الخسارة المتوقعة،${\displaystyle c=\lambda \mu }$، نرى أن الشركة ستواجه في نهاية المطاف الإفلاس باحتمالية 1.

قام إي. سبار أندرسن بتوسيع النموذج الكلاسيكي في عام 1957 ^{[ 8 ]} من خلال السماح لأوقات وصول المطالبات بأن يكون لها دوال توزيع عشوائية. ^{[ 9 ]}

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for }}t\geq 0,}$

عملية رقم المطالبة${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$هي عملية تجديد و${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$هي متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع. ويفترض النموذج كذلك أن${\displaystyle \xi _{i}>0}$من شبه المؤكد، وهذا${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$و ${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$مستقلة. يُعرف هذا النموذج أيضاً باسم نموذج مخاطر التجديد.

قام كلٌّ من مايكل آر. باورز ^{[ 10 ]} وجيربر وشيو ^{[ 11 ]} بتحليل سلوك فائض شركة التأمين من خلال دالة الجزاء المخصوم المتوقع ، والتي تُعرف عادةً باسم دالة جيربر-شيو في أدبيات الإفلاس، نسبةً إلى عالمي الإكتوارية إلياس إس. دبليو. شيو وهانز -أولريش جيربر . ويُثار جدلٌ حول ما إذا كان ينبغي تسمية هذه الدالة بدالة باورز-جيربر-شيو نظرًا لمساهمة باورز. ^{[ 10 ]}

في تدوين باورز ، يُعرَّف هذا على النحو التالي:

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }K_{\tau }]}$،

أين${\displaystyle \delta }$هي قوة الخصم للفائدة،${\displaystyle K_{\tau }}$هي دالة جزاء عامة تعكس التكاليف الاقتصادية التي يتكبدها المُؤمِّن وقت الإفلاس، والتوقعات.${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$يتوافق مع مقياس الاحتمالية${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$. تُسمى هذه الدالة التكلفة المتوقعة المخصومة للإعسار من قبل باورز. ^{[ 10 ]}

في تدوين جيربر وشيو، يُعطى على النحو التالي

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }w(X_{\tau -},X_{\tau })\mathbb {I} (\tau <\infty )]}$،

أين${\displaystyle \delta }$هي قوة الخصم للفائدة و${\displaystyle w(X_{\tau -},X_{\tau })}$هي دالة جزائية تُجسّد التكاليف الاقتصادية التي يتكبدها المُؤمِّن وقت الإفلاس (بافتراض أنها تعتمد على الفائض قبل الإفلاس).${\displaystyle X_{\tau -}}$والعجز في حالة خراب${\displaystyle X_{\tau }}$والتوقع${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$يتوافق مع مقياس الاحتمالية${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$هنا وظيفة المؤشر${\displaystyle \mathbb {I} (\tau <\infty )}$يؤكد على أن العقوبة لا تُطبق إلا عند حدوث الخراب.

من السهل جدًا تفسير دالة الجزاء المخصوم المتوقع. بما أن الدالة تقيس القيمة الحالية الاكتوارية للجزاء الذي يحدث عند${\displaystyle \tau }$، يتم ضرب دالة الجزاء بمعامل الخصم${\displaystyle e^{-\delta \tau }}$ثم تم حساب المتوسط ​​على التوزيع الاحتمالي لوقت الانتظار لـ${\displaystyle \tau }$. بينما قام جيربر وشيو ^{[ 11 ]} بتطبيق هذه الوظيفة على نموذج بواسون المركب الكلاسيكي، جادل باورز ^{[ 10 ]} بأن فائض شركة التأمين يتم نمذجته بشكل أفضل من خلال مجموعة من عمليات الانتشار.

هناك مجموعة كبيرة ومتنوعة من الكميات المتعلقة بالخراب والتي تندرج ضمن فئة دالة الجزاء المخصومة المتوقعة.

حالة خاصة	التمثيل الرياضي	اختيار دالة الجزاء
احتمالية الخراب النهائي	${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}}$	${\displaystyle \delta =0,w(x_{1},x_{2})=1}$
التوزيع المشترك (المعيب) للفائض والعجز	${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}\{X_{\tau -}<x,X_{\tau }<y\}}$	${\displaystyle \delta =0,w(x_{1},x_{2})=\mathbb {I} (x_{1}<x,x_{2}<y)}$
التوزيع المعيب للمطالبة يتسبب في الخراب	${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}\{X_{\tau -}-X_{\tau }<z\}}$	${\displaystyle \delta =0,w(x_{1},x_{2})=\mathbb {I} (x_{1}+x_{2}<z)}$
تحويل لابلاس ثلاثي المتغيرات للزمن والفائض والعجز	${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau -sX_{\tau -}-zX_{\tau }}]}$	${\displaystyle w(x_{1},x_{2})=e^{-sx_{1}-zx_{2}}}$
لحظات مشتركة للفائض والعجز	${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}[X_{\tau -}^{j}X_{\tau }^{k}]}$	${\displaystyle \delta =0,w(x_{1},x_{2})=x_{1}^{j}x_{2}^{k}}$

وتشمل الكميات الأخرى المتعلقة بالتمويل والتي تنتمي إلى فئة دالة الجزاء المخصومة المتوقعة خيار البيع الأمريكي الدائم، ^{[ 12 ]} والمطالبة المشروطة في وقت الممارسة الأمثل، والمزيد.

• نموذج مخاطر بواسون المركب مع فائدة ثابتة
• نموذج مخاطر بواسون المركب مع فائدة عشوائية
• نموذج مخاطر الحركة البراونية
• نموذج عملية الانتشار العام
• نموذج المخاطر المعدل ماركوف
• حاسبة عامل احتمالية وقوع الحوادث (APF) - نموذج تحليل المخاطر (@SBH)

• المخاطر المالية
• معادلة فولتيرا التكاملية §  التطبيق: نظرية الخراب
• اختيار المحفظة الاستثمارية المقيد بالصدفة

• جيربر، إتش يو (1979). مقدمة في نظرية المخاطر الرياضية . فيلادلفيا: سلسلة دراسات مؤسسة إس إس هوبنر 8.
• أسموسن إس، وألبريشر إتش (2010). احتمالات الخراب، الطبعة الثانية . سنغافورة: دار النشر العالمية العلمية.