تمثيلات الخطوط في الروبوتات

قدّم آرثر كايلي وجوليوس بلوكر تمثيلاً بديلاً باستخدام متجهين حرين. سُمّي هذا التمثيل لاحقاً باسم بلوكر. ويُرمز لتمثيل بلوكر بالرمز التالي:${\displaystyle L_{pl}(d,m)}$. كلاهما${\displaystyle d}$و${\displaystyle m}$هي متجهات حرة:${\displaystyle d}$يمثل اتجاه الخط و${\displaystyle m}$هي لحظة${\displaystyle d}$حول مصدر المرجع المختار.${\displaystyle m=p\times d}$(${\displaystyle m}$مستقل عن النقطة${\displaystyle p}$(يتم اختيار الخط!) ميزة إحداثيات بلوكر هي أنها متجانسة. مع ذلك، لا يزال للخط في إحداثيات بلوكر أربعة من أصل ستة معلمات مستقلة، لذا فهو ليس تمثيلاً أدنى. القيدان المفروضان على إحداثيات بلوكر الستة هما:

• قيد التجانس
• قيد التعامد

قدّم جاك دينافيت وريتشارد إس. هارتنبرغ أول تمثيل مبسط للخط، وهو تمثيل شائع الاستخدام حاليًا. كان العمودي المشترك بين خطين هو المفهوم الهندسي الأساسي الذي مكّن دينافيت وهارتنبرغ من إيجاد هذا التمثيل المبسط. يستخدم المهندسون اتفاقية دينافيت-هارتنبرغ (D-H) لوصف مواقع الوصلات والمفاصل بدقة. لكل وصلة نظام إحداثيات خاص بها . وهناك بعض القواعد التي يجب مراعاتها عند اختيار نظام الإحداثيات:

1. ال${\displaystyle z}$المحور - يكون في اتجاه محور المفصل
2. ال${\displaystyle x}$المحور - موازٍ للعمودي المشترك :${\displaystyle x_{n}=z_{n}\times z_{n-1}}$إذا لم يكن هناك توزيع طبيعي مشترك فريد (متوازي)${\displaystyle z}$ثم${\displaystyle d}$(أدناه) هو مُعامل حر.
3. ال${\displaystyle y}$يُستنتج المحور السيني من${\displaystyle x}$- و${\displaystyle z}$المحور - عن طريق اختياره ليكون نظام إحداثيات يميني .

بمجرد تحديد أنظمة الإحداثيات، يتم وصف التحويلات بين الروابط بشكل فريد من خلال المعلمات الأربع التالية:

• ${\displaystyle \theta \,}$: زاوية حول السابق${\displaystyle z}$، من قديم${\displaystyle x}$إلى جديد${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle d\,}$: إزاحة على طول السابق${\displaystyle z}$إلى الوضع الطبيعي الشائع
• ${\displaystyle r\,}$: طول العمودي المشترك (المعروف أيضًا باسم${\displaystyle a}$ولكن إذا كنت تستخدم هذه الصيغة، فلا تخلط بينها وبين${\displaystyle \alpha }$). بافتراض وجود مفصل دوراني، فهذا هو نصف القطر حول السابق${\displaystyle z}$.
• ${\displaystyle \alpha \,}$الزاوية حول العمودي المشترك، من القديم${\displaystyle z}$محور إلى جديد${\displaystyle z}$محور

تمثيل خط حياة-روبرتس، المشار إليه بـ${\displaystyle L_{hr}(e_{x},e_{y},l_{x},l_{y})}$، وهو تمثيل خطي بسيط آخر، مع معلمات:

• ${\displaystyle e_{x}}$و${\displaystyle e_{y}}$هل هم${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$مكونات متجه اتجاه الوحدة${\displaystyle e}$على الخط. هذا الشرط يلغي الحاجة إلى${\displaystyle Z}$مكون، منذ${\displaystyle e_{z}=(1-e_{x}^{2}-e_{y}^{2})^{\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle l_{x}}$و${\displaystyle l_{y}}$تمثل إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المستوى المار بنقطة الأصل في إطار الإسناد العالمي، والعمودي على الخط. يشترك إطار الإسناد على هذا المستوى العمودي في نفس نقطة الأصل مع إطار الإسناد العالمي، و${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$محاور الإطار هي صور لإطار العالم${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$المحاور من خلال الإسقاط المتوازي على طول الخط.

هذا التمثيل فريد من نوعه بالنسبة للخط الموجه. تختلف نقاط التفرد الإحداثية عن نقاط التفرد في نظرية ديناميكا المغناطيسية: إذ توجد نقاط تفرد إذا أصبح الخط موازيًا لأي من${\displaystyle X}$أو${\displaystyle Y}$محور الإطار العالمي.