مصفوفة نظام روزنبروك

في الرياضيات التطبيقية، تُعدّ مصفوفة نظام روزنبروك ، أو مصفوفة نظام روزنبروك لنظام خطي ثابت مع الزمن، تمثيلاً مفيداً يربط بين تمثيل فضاء الحالة وشكل مصفوفة دالة النقل . وقد اقترحها هوارد هـ . روزنبروك عام 1967. ^{[ 1 ]}

ضع في اعتبارك النظام الديناميكي

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$

${\displaystyle y=Cx+Du.}$

تُعطى مصفوفة نظام روزنبروك بواسطة

${\displaystyle P(s)={\begin{pmatrix}sI-A&-B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

في العمل الأصلي لروزنبروك، المصفوفة الثابتة${\displaystyle D}$يُسمح بأن تكون كثيرة حدود في${\displaystyle s}$.

دالة التحويل بين المدخلات${\displaystyle i}$ والإخراج${\displaystyle j}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle g_{ij}={\frac {\begin{vmatrix}sI-A&-b_{i}\\c_{j}&d_{ij}\end{vmatrix}}{|sI-A|}}}$

أين${\displaystyle b_{i}}$هو العمود${\displaystyle i}$ل${\displaystyle B}$و${\displaystyle c_{j}}$هو الصف${\displaystyle j}$ل${\displaystyle C}$.

انطلاقاً من هذا التمثيل، طور روزنبروك نسخته من اختبار PBH .

لأغراض الحساب، يُعد الشكل المختصر لمصفوفة نظام روزنبروك أكثر ملاءمة ^{[ 2 ]} ، ويُعطى بواسطة

${\displaystyle P\sim {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

استُخدم الشكل المختصر لمصفوفة نظام روزنبروك على نطاق واسع في طرق H-infinity في نظرية التحكم ، حيث يُشار إليه أيضًا بالشكل المُعبأ؛ انظر الأمر pck في MATLAB. ^{[ 3 ]} يمكن الاطلاع على تفسير لمصفوفة نظام روزنبروك كتحويل كسري خطي في ^{[ 4 ] .}

كان من أوائل تطبيقات صيغة روزنبروك تطوير طريقة حسابية فعّالة لتحليل كالمان ، والتي تعتمد على طريقة العنصر المحوري. وقد تم تطبيق نسخة معدّلة من طريقة روزنبروك في أمر minreal في برنامج Matlab ^{[ 5 ]} وبرنامج GNU Octave .