مصفوفة دالة التحويل

في نظرية أنظمة التحكم ، وفروع هندسية متنوعة، تُعدّ مصفوفة دالة التحويل ، أو ببساطة مصفوفة التحويل، تعميمًا لدوال التحويل لأنظمة المدخل الواحد والمخرج الواحد (SISO) لتشمل أنظمة المدخلات والمخرجات المتعددة (MIMO) . ^{[ 1 ]} تربط هذه المصفوفة مخرجات النظام بمدخلاته. وهي بنية مفيدة بشكل خاص للأنظمة الخطية الثابتة زمنيًا (LTI) نظرًا لإمكانية التعبير عنها بدلالة مستوى s .

في بعض الأنظمة، وخاصة تلك التي تتكون بالكامل من مكونات سلبية ، قد يكون من غير الواضح أي المتغيرات تُعتبر مدخلات وأيها تُعتبر مخرجات. في الهندسة الكهربائية، يتمثل المخطط الشائع في تجميع جميع متغيرات الجهد في جانب واحد وجميع متغيرات التيار في الجانب الآخر، بغض النظر عن كونها مدخلات أو مخرجات. ينتج عن ذلك أن جميع عناصر مصفوفة النقل تكون بوحدات المعاوقة . وقد تم استعارة مفهوم المعاوقة (وبالتالي مصفوفات المعاوقة) إلى مجالات طاقة أخرى بالقياس، وخاصة الميكانيكا والصوتيات.

تتضمن العديد من أنظمة التحكم نطاقات طاقة متعددة. وهذا يتطلب مصفوفات نقل بعناصر ذات وحدات مختلطة. يُعدّ هذا ضروريًا لوصف المحولات التي تربط بين النطاقات، ولوصف النظام ككل. ولكي تتمكن المصفوفة من نمذجة تدفقات الطاقة في النظام بدقة، يجب اختيار متغيرات متوافقة لتحقيق ذلك.

يُمثَّل نظام MIMO ذو m مخرجات و n مدخلات بمصفوفة m × n . كل عنصر في المصفوفة هو دالة نقل تربط مخرجًا بمدخل. على سبيل المثال، بالنسبة لنظام ذي ثلاثة مداخل ومخرجين، يمكن كتابة: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}}$$ حيث تمثل u _{و n} المدخلات، و y و _m المخرجات، و g و _mn دوال التحويل. ويمكن كتابة ذلك بشكل أكثر إيجازًا باستخدام ترميز المصفوفة كما يلي: $${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {G} \mathbf {U} }$$ حيث Y هو متجه عمودي للمخرجات، و G هي مصفوفة دوال التحويل، و U هو متجه عمودي للمدخلات.

في كثير من الحالات، يكون النظام قيد الدراسة نظامًا خطيًا ثابتًا مع الزمن (LTI). في مثل هذه الحالات، من الملائم التعبير عن مصفوفة النقل بدلالة تحويل لابلاس (في حالة المتغيرات الزمنية المستمرة ) أو تحويل z (في حالة المتغيرات الزمنية المتقطعة ) للمتغيرات. ويمكن الإشارة إلى ذلك بكتابة، على سبيل المثال، $${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)}$$ يشير هذا إلى أن المتغيرات والمصفوفة مُعبر عنها بدلالة s ، وهو متغير التردد المركب في المستوى s الناتج عن تحويلات لابلاس، وليس بدلالة الزمن. جميع الأمثلة في هذه المقالة مُفترضة بهذا الشكل، مع أن ذلك لم يُذكر صراحةً للاختصار. بالنسبة لأنظمة الزمن المتقطع، يُستبدل s بـ z من تحويل z، لكن هذا لا يُؤثر على التحليل اللاحق. تكون المصفوفة مفيدة بشكل خاص عندما تكون مصفوفة كسرية صحيحة ، أي أن جميع عناصرها دوال كسرية صحيحة . في هذه الحالة، يُمكن تطبيق تمثيل فضاء الحالة . ^{[ 2 ]}

في هندسة النظم، تُقسّم مصفوفة نقل النظام الكلية G ( s ) إلى جزأين: H ( s ) الذي يُمثّل النظام الخاضع للتحكم، و C ( s ) الذي يُمثّل نظام التحكم. تأخذ C ( s ) كمدخلات لها مدخلات G ( s ) ومخرجات H ( s ) . وتُشكّل مخرجات C ( s ) مدخلات H ( s ) . ^{[ 3 ]}

في الأنظمة الكهربائية، غالبًا ما يكون التمييز بين متغيرات الإدخال والإخراج غير واضح. فقد تكون أيًا منهما، تبعًا للظروف ووجهة النظر. في مثل هذه الحالات، قد يكون مفهوم المنفذ (مكان انتقال الطاقة من نظام إلى آخر) أكثر فائدة من مفهومي الإدخال والإخراج. من المعتاد تعريف متغيرين لكل منفذ ( p ): الجهد الكهربائي عبره ( Vp ₎ والتيار الداخل إليه ( Ip ). على سبيل المثال ، يمكن تعريف مصفوفة النقل لشبكة ثنائية المنافذ كما _{يلي :}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$$ حيث تُسمى المعاملات z و _mn بمعاملات المعاوقة ، أو معاملات z . سُميت كذلك لأنها تُقاس بوحدات المعاوقة وتربط تيارات المنافذ بجهدها. معاملات z ليست الطريقة الوحيدة لتعريف مصفوفات النقل لشبكات ثنائية المنافذ. هناك ست مصفوفات أساسية تربط بين الجهود والتيارات، ولكل منها مزاياها في طوبولوجيات شبكات النظام المحددة. ^{[ 4 ]} مع ذلك، لا يمكن توسيع سوى اثنتين منها لتشمل عددًا غير محدود من المنافذ. هاتان المصفوفتان هما معاملات z ومعكوسها، معاملات السماحية أو معاملات y . ^{[ 5 ]}

لفهم العلاقة بين جهود وتيارات المنافذ والمدخلات والمخرجات، لنأخذ دائرة مقسم الجهد البسيطة كمثال . إذا أردنا فقط دراسة جهد الخرج ( V2 ) الناتج عن تطبيق جهد الدخل ( V1 _{) ،} فيمكن التعبير عن دالة التحويل كما يلي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\end{bmatrix}}}$$ وهذا ما يمكن اعتباره الحالة البسيطة لمصفوفة نقل 1×1. يتنبأ التعبير بشكل صحيح بجهد الخرج إذا لم يكن هناك تيار خارج من المنفذ 2، ولكنه يصبح أقل دقة مع زيادة الحمل. مع ذلك، إذا حاولنا استخدام الدائرة بشكل عكسي، بتطبيق جهد على المنفذ 2 وحساب الجهد الناتج على المنفذ 1، فإن التعبير يعطي نتيجة خاطئة تمامًا حتى مع عدم وجود حمل على المنفذ 1. فهو يتنبأ بجهد أكبر على المنفذ 1 مما تم تطبيقه على المنفذ 2، وهو أمر مستحيل مع دائرة مقاومة بحتة كهذه. للتنبؤ بسلوك الدائرة بشكل صحيح، يجب أيضًا مراعاة التيارات الداخلة إلى المنافذ أو الخارجة منها، وهذا ما تفعله مصفوفة النقل. ^{[ 6 ]} مصفوفة المعاوقة لدائرة مقسم الجهد هي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&R_{2}\\R_{2}&R_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$$ والذي يصف سلوكه بشكل كامل في ظل جميع ظروف الإدخال والإخراج. ^{[ 7 ]}

عند ترددات الميكروويف ، لا تُعدّ أيٌّ من مصفوفات النقل القائمة على جهد وتيار المنفذ عمليةً ملائمةً للاستخدام. فمن الصعب قياس الجهد مباشرةً، ويكاد يكون قياس التيار مستحيلاً، كما لا يمكن تحقيق حالات الدوائر المفتوحة والقصيرة المطلوبة لتقنية القياس بدقةٍ كافية. بالنسبة لتطبيقات الموجهات الموجية ، يصبح جهد وتيار الدائرة عديمَي الجدوى تمامًا. لذا، تُستخدم مصفوفات نقل تعتمد على أنواعٍ مختلفةٍ من المتغيرات. هذه المتغيرات هي القدرات المنقولة إلى المنفذ والمنعكسة منه، والتي يُمكن قياسها بسهولةٍ في تقنية خطوط النقل المستخدمة في دوائر العناصر الموزعة في نطاق الميكروويف. ومن أشهر هذه المعاملات وأكثرها استخدامًا معاملات التشتت ، أو معاملات S. ^{[ 8 ]}

يمكن توسيع مفهوم المعاوقة ليشمل المجالات الميكانيكية وغيرها من المجالات عبر التناظر الميكانيكي الكهربائي ، وبالتالي يمكن أيضًا توسيع معلمات المعاوقة وغيرها من أشكال معلمات الشبكة ثنائية المنافذ لتشمل المجال الميكانيكي. ولتحقيق ذلك، يُنظر إلى متغير الجهد ومتغير التدفق على أنهما نظيران للجهد والتيار، على التوالي. بالنسبة للأنظمة الميكانيكية الخاضعة للحركة الانتقالية، يمثل هذان المتغيران القوة والسرعة على التوالي. ^{[ 9 ]}

يُعدّ التعبير عن سلوك مُكوّن ميكانيكي كمُكوّن ثنائي أو مُتعدد المنافذ باستخدام مصفوفة نقل أمرًا مفيدًا، لأنه، كما هو الحال في الدوائر الكهربائية، يُمكن تشغيل المُكوّن غالبًا بشكل عكسي، ويعتمد سلوكه على الأحمال عند المدخلات والمخرجات. على سبيل المثال، غالبًا ما يتم وصف مجموعة التروس ببساطة بنسبة تروسها، وهي دالة نقل أحادية المدخل والمخرج. مع ذلك، يُمكن تدوير عمود خرج علبة التروس لتدوير عمود الإدخال، مما يتطلب تحليلًا متعدد المدخلات والمخرجات. في هذا المثال، متغيرات الجهد والتدفق هي عزم الدوران T والسرعة الزاوية ω ، على التوالي. ستكون مصفوفة النقل بدلالة مُعاملات z على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}}$$

مع ذلك، لا تُعدّ معاملات z بالضرورة الأنسب لوصف سلاسل التروس. فسلسلة التروس تُشابه المحول الكهربائي ، وتُعدّ معاملات h ( المعاملات الهجينة ) وصفًا أفضل للمحولات لأنها تتضمن نسب عدد اللفات (المُشابهة لنسب التروس). ^{[ 10 ]} مصفوفة نقل علبة التروس بصيغة معاملات h هي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}}$$ حيث h ₂₁ هي نسبة سرعة مجموعة التروس بدون حمل على الخرج، و h ₁₂ هي نسبة عزم الدوران في الاتجاه العكسي لمجموعة التروس مع تثبيت عمود الإدخال، وهي تساوي نسبة السرعة الأمامية لعلبة تروس مثالية، و h ₁₁ هي المعاوقة الميكانيكية الدورانية للإدخال بدون حمل على عمود الإخراج، وهي صفر لعلبة تروس مثالية، و h ₂₂ هي السماحية الميكانيكية الدورانية للإخراج مع تثبيت عمود الإدخال.

بالنسبة لسلسلة تروس مثالية بدون أي خسائر (احتكاك، تشوه، إلخ)، فإن هذا يتبسط إلى، $${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&N\\N&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}}$$ حيث N هي نسبة التروس. ^{[ 11 ]}

في الأنظمة التي تتكون من مجالات طاقة متعددة، يلزم وجود مصفوفات نقل قادرة على التعامل مع المكونات ذات المنافذ في مجالات مختلفة. في مجالي الروبوتات والميكاترونيات ، تُعدّ المشغلات ضرورية. تتكون هذه المشغلات عادةً من محوّل طاقة يحوّل ، على سبيل المثال، الإشارات من نظام التحكم في المجال الكهربائي إلى حركة في المجال الميكانيكي. كما يتطلب نظام التحكم مستشعرات ترصد الحركة وتحوّلها مرة أخرى إلى المجال الكهربائي عبر محوّل طاقة آخر، ما يسمح بالتحكم الدقيق في الحركة من خلال حلقة تغذية راجعة. قد تكون المستشعرات الأخرى في النظام عبارة عن محوّلات طاقة تحوّل مجالات طاقة أخرى إلى إشارات كهربائية، مثل الإشارات الضوئية والصوتية والحرارية وإشارات تدفق السوائل والإشارات الكيميائية. ومن التطبيقات الأخرى مجال المرشحات الميكانيكية التي تتطلب محوّلات طاقة بين المجالين الكهربائي والميكانيكي في كلا الاتجاهين.

من الأمثلة البسيطة على ذلك المشغل الكهروميكانيكي الكهرومغناطيسي الذي يُشغَّل بواسطة وحدة تحكم إلكترونية. يتطلب هذا محول طاقة بمنفذ إدخال في المجال الكهربائي ومنفذ إخراج في المجال الميكانيكي. يمكن تمثيل ذلك بشكل مبسط باستخدام دالة نقل أحادية المدخل والمخرج (SISO)، ولكن لأسباب مشابهة لتلك المذكورة سابقًا، يُمكن الحصول على تمثيل أكثر دقة باستخدام مصفوفة نقل متعددة المدخلات والمخرجات (MIMO). في معاملات z، يأخذ هذا الشكل التالي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}V\\F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I\\v\end{bmatrix}}}$$ حيث F هي القوة المؤثرة على المشغل، و _v هي السرعة الناتجة للمشغل. معاملات المعاوقة هنا هي مزيج من الوحدات؛ z11 هي معاوقة كهربائية، _و z22 هي معاوقة ميكانيكية، أما المعاملان الآخران فهما معاوقات تحويلية ضمن مزيج هجين من الوحدات. ^{[ 12 ]}

تُعدّ الأنظمة الصوتية فرعًا من ديناميكا الموائع ، وفي كلا المجالين، تُعتبر متغيرات الضغط ( P ) ومعدل التدفق الحجمي ( Q ) هي المتغيرات الأساسية للإدخال والإخراج ، باستثناء حالة انتقال الصوت عبر المكونات الصلبة. في هذه الحالة، تكون متغيرات الميكانيكا الأساسية، القوة والسرعة، أكثر ملاءمة. ومن الأمثلة على المكونات الصوتية ثنائية المنافذ، المرشح مثل كاتم الصوت في نظام العادم . وقد يبدو تمثيل مصفوفة النقل له كما يلي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}P_{2}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\Q_{1}\end{bmatrix}}}$$ هنا، تُمثل T_{_mn} معاملات النقل، والمعروفة أيضًا بمعاملات ABCD . يمكن وصف المكون بسهولة باستخدام معاملات z، لكن معاملات النقل تتميز بميزة رياضية عند التعامل مع نظام ثنائي المنافذ متصل على التوالي، حيث يُدخل خرج أحدهما إلى منفذ إدخال الآخر. في مثل هذه الحالات، تُحسب معاملات النقل الإجمالية ببساطة عن طريق ضرب مصفوفات معاملات النقل للمكونات المكونة. ^{[ 13 ]}

عند التعامل مع متغيرات مختلطة من مجالات طاقة مختلفة، يجب مراعاة المتغيرات التي ينبغي اعتبارها متناظرة. يعتمد هذا الاختيار على الهدف من التحليل. فإذا كان المطلوب نمذجة تدفقات الطاقة بدقة في جميع أنحاء النظام، فيجب ربط أي زوج من المتغيرات التي يكون حاصل ضربها طاقة (متغيرات الطاقة المترافقة) في مجال طاقة ما بمتغيرات الطاقة المترافقة في المجالات الأخرى. ولأن متغيرات الطاقة المترافقة ليست فريدة، يجب الحرص على استخدام نفس ربط المتغيرات في جميع أنحاء النظام. ^{[ 14 ]}

يُستخدم في بعض الأمثلة الواردة في هذه المقالة نموذجٌ شائعٌ يربط متغيرات الجهد (المُحفِّزة للفعل) من كل مجالٍ معًا، ويربط أيضًا متغيرات التدفق (التي تُمثِّل خاصيةً للفعل) من كل مجالٍ معًا. كل زوجٍ من متغيرات الجهد والتدفق مُترافقٌ أُسِّيًّا. يُعرف هذا النظام بتشبيه المعاوقة ، لأن نسبة متغير الجهد إلى متغير التدفق في كل مجالٍ تُشابه المعاوقة الكهربائية. ^{[ 15 ]}

يوجد نظامان آخران لربط القدرة بالمتغيرات نفسها قيد الاستخدام. يربط تشبيه الحركة القوة الميكانيكية بالتيار الكهربائي بدلاً من الجهد. يُستخدم هذا التشبيه على نطاق واسع من قِبل مصممي المرشحات الميكانيكية، وكثيراً ما يُستخدم أيضاً في الإلكترونيات الصوتية. يتميز هذا الربط بالحفاظ على بنية الشبكة عبر المجالات، ولكنه لا يحافظ على ربط المعاوقات. يصنف تشبيه ترينت متغيرات ربط القدرة إما كمتغيرات عابرة أو متغيرات من خلال ، وذلك بناءً على ما إذا كانت تؤثر عبر عنصر من عناصر النظام أو من خلاله. وينتهي هذا إلى حد كبير بنفس نتيجة تشبيه الحركة، باستثناء حالة مجال تدفق الموائع (بما في ذلك مجال الصوتيات). هنا، يُربط الضغط بالجهد (كما في تشبيه المعاوقة) بدلاً من التيار (كما في تشبيه الحركة). ومع ذلك، فإن القوة في المجال الميكانيكي تُشابه التيار لأن القوة تؤثر عبر الجسم. ^{[ 9 ]}

توجد بعض التشبيهات الشائعة الاستخدام التي لا تعتمد على أزواج القدرة المترافقة. بالنسبة لأجهزة الاستشعار، قد لا يكون نمذجة تدفقات الطاقة بدقة أمرًا بالغ الأهمية، إذ غالبًا ما تستخلص هذه الأجهزة كميات ضئيلة من الطاقة إلى النظام. لذا، قد يكون اختيار المتغيرات سهلة القياس، لا سيما تلك التي يستشعرها جهاز الاستشعار، أكثر فائدة. على سبيل المثال، في تشبيه المقاومة الحرارية ، تُعتبر المقاومة الحرارية مماثلة للمقاومة الكهربائية، مما يؤدي إلى ربط فرق درجة الحرارة والطاقة الحرارية بالجهد والتيار على التوالي. إن القدرة المترافقة لفرق درجة الحرارة ليست الطاقة الحرارية، بل معدل تدفق الإنتروبيا ، وهو أمر لا يمكن قياسه مباشرة. يوجد تشبيه آخر من النوع نفسه في المجال المغناطيسي ، حيث يُربط الممانعة المغناطيسية بالمقاومة الكهربائية، مما يؤدي إلى ربط التدفق المغناطيسي بالتيار بدلًا من معدل تغير التدفق المغناطيسي كما هو مطلوب للمتغيرات المتوافقة. ^{[ 16 ]}

إن تمثيل المعادلات الجبرية الخطية بالمصفوفات معروف منذ فترة. كان هنري بوانكاريه أول من وصف المحول في عام 1907 بأنه زوج من هذه المعادلات التي تربط المتغيرات الكهربائية (الجهد والتيار) بالمتغيرات الميكانيكية (القوة والسرعة). ^{[ 17 ]} وكان ويجل في عام 1921 أول من عبّر عن هذه المعادلات بدلالة المعاوقة الميكانيكية بالإضافة إلى المعاوقة الكهربائية. ^{[ 18 ]}

كان أول استخدام لمصفوفات النقل لتمثيل نظام تحكم متعدد المدخلات والمخرجات (MIMO) من قِبل بوكسنبوم وهود (1950) ، ولكن فقط في حالة محركات التوربينات الغازية التي كانا يدرسانها لصالح اللجنة الاستشارية الوطنية للملاحة الجوية . ^{[ 19 ]} وقدّم كروكشانك أساسًا أكثر متانة في عام 1955، ولكن دون تعميم كامل. ^{[ 20 ]} وفي عام 1956، قدّم كافاناغ أول معالجة عامة تمامًا، حيث أرسى العلاقة المصفوفية بين النظام والتحكم، وقدّم معايير لإمكانية تحقيق نظام تحكم قادر على توفير سلوك محدد للنظام الخاضع للتحكم. ^{[ 21 ]}

• طريقة مصفوفة النقل (البصريات)

• بيساي، هورست (2006). إشارات وأنظمة MIMO . سبرينغر. ISBN 038727457X.
• باكشي، أ. ف.؛ باكشي، يو. أ. (2008). نظرية الشبكات . منشورات تقنية. رقم ISBN 8184314027.
• بوكسنبوم، آرون س.؛ هود، ريتشارد (1950). طريقة جبرية عامة مطبقة على تحليل التحكم لأنواع المحركات المعقدة (تقرير). تقرير NACA رقم 980.
• بوش-فيشنياك، إيلين جيه. (1999). أجهزة الاستشعار والمحركات الكهروميكانيكية . سبرينغر. ISBN 038798495X.
• تشين، واي كاي (2004). دليل الهندسة الكهربائية . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 0080477488.
• تشوما، جون (1985). الشبكات الكهربائية: النظرية والتحليل . وايلي. ISBN 0471085286.
• كروكشانك، أ. ج. أو. (1955). "صياغة معادلات نظام التحكم باستخدام المصفوفات". مجلة المصفوفات والموترات الفصلية . 5 (3): 76.
• آير، تي إس كيه في (1985). نظرية الدوائر الكهربائية . دار تاتا ماكجرو هيل للتعليم. رقم ISBN 0074516817.
• كافانا، آر جيه (نوفمبر 1956). "تطبيق أساليب المصفوفات على أنظمة التحكم متعددة المتغيرات" . مجلة معهد فرانكلين . 262 (5): 349-367 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 26-12-2016.
• كونيغ، هيرمان إدوارد؛ بلاكويل، ويليام أ. (1961). نظرية الأنظمة الكهروميكانيكية . ماكجرو هيل. OCLC 564134 . 
• ليفين، ويليام س. (1996). دليل التحكم . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 0849385709.
• مونجال، إم إل (1987). صوتيات القنوات والمخمدات مع تطبيق على العادم والتهوية . وايلي.
• نغوين، كام (2015). هندسة الدوائر المتكاملة للترددات الراديوية . وايلي. ISBN 1118936485.
• أولسن، أ. (يونيو 1966). "توصيف المحولات بواسطة معاملات h" . معاملات IEEE في نظرية الدوائر . 13 (2): 239-240 .
• بيرس، آلان د. (1989). "علم الصوتيات: مقدمة لمبادئه الفيزيائية وتطبيقاته". الجمعية الصوتية الأمريكية . ISBN 0883186128.
• بوانكاريه، هنري (1907). "دراسة المستقبل الهاتفي" . اكليراج اليكتريك . 50 : 221 - 372.
• ويجل، آر إل (1921). "نظرية الأنظمة المغناطيسية الميكانيكية وتطبيقاتها على سماعات الهاتف والهياكل المماثلة" . مجلة المعهد الأمريكي للمهندسين الكهربائيين . 40 : 791-802 .
• يانغ، وون واي؛ لي، سيونغ سي. (2008). أنظمة الدوائر باستخدام MATLAB وPSpice . وايلي. ISBN 0470822406.