مجموعة (لعبة ورق)

لعبة " سيت " ( SET ) هي لعبة ورق فورية صممتها مارشا فالكو عام 1974 ونشرتها شركة "سيت إنتربرايزز" عام 1991. تتكون مجموعة الأوراق من 81 ورقة فريدة تختلف في أربع خصائص ضمن ثلاثة احتمالات لكل خاصية: عدد الأشكال (واحد، اثنان، أو ثلاثة )، والشكل (معين، أو خط متعرج، أو بيضاوي)، والتظليل (لون موحد، أو مخطط، أو مفتوح)، واللون (أحمر، أو أخضر، أو بنفسجي). ^{[ 2 ]} كل تركيبة ممكنة من الخصائص (مثل ورقة بثلاثة معينات خضراء مخططة) تظهر كورقة واحدة فقط في المجموعة.

في اللعبة، تُشكّل مجموعات مُحدّدة من ثلاث بطاقات "مجموعة". لكل فئة من فئات الميزات الأربع - اللون، والرقم، والشكل، والتظليل - يجب أن تُظهر البطاقات الثلاث تلك الميزة إما أ) جميعها متطابقة، أو ب) جميعها مختلفة. بعبارة أخرى: بالنسبة لكل ميزة، يجب ألا تحتوي البطاقات الثلاث على بطاقتين تُظهران نسخة واحدة من الميزة، والبطاقة المتبقية تُظهر نسخة مختلفة.

على سبيل المثال، تشكل 3 ماسات حمراء صلبة، و2 خطوط خضراء متعرجة صلبة، وشكل بيضاوي أرجواني صلب واحد مجموعة، لأن تظليل البطاقات الثلاث متشابه، بينما تختلف الأرقام والألوان والأشكال بين البطاقات الثلاث.

بالنسبة لأي مجموعة، يمكن تقسيم عدد السمات الثابتة (المتشابهة في جميع البطاقات الثلاث) وعدد السمات المختلفة (المختلفة في جميع البطاقات الثلاث) إلى: سمات مختلفة جميعها الأربع؛ أو سمة واحدة ثابتة وثلاث سمات مختلفة؛ أو سمتان ثابتتان وسمتان مختلفتان؛ أو ثلاث سمات ثابتة وسمة واحدة مختلفة. (كون جميع السمات الأربع ثابتة يعني أن البطاقات الثلاث في المجموعة متطابقة، وهو أمر مستحيل لأن جميع بطاقات المجموعة غير متطابقة).

إذا تم اختيار أي ورقتين من مجموعة الأوراق، فهناك ورقة واحدة فقط تشكل مجموعة معهما.

في لعبة "سيت" القياسية ، يقوم الموزع بتوزيع الأوراق على الطاولة حتى يتم وضع اثنتي عشرة ورقة أو حتى يرى أحدهم مجموعة وينادي "سيت!". يأخذ اللاعب الذي نادى "سيت!" الأوراق المكونة للمجموعة، ويستمر الموزع في توزيع الأوراق حتى يتم وضع اثنتي عشرة ورقة على الطاولة. إذا رأى لاعب مجموعة بين الاثنتي عشرة ورقة، ينادي "سيت!" ويأخذ ثلاث أوراق، فيضع الموزع ثلاث أوراق أخرى على الطاولة. (يُعاقب اللاعب الذي ينادي "سيت!" ولا يأخذ ورقة واحدة بسرعة كافية). قد لا توجد مجموعة بين الاثنتي عشرة ورقة؛ في هذه الحالة، يوزع الموزع ثلاث أوراق أخرى ليصبح عدد الأوراق الموزعة خمس عشرة ورقة، أو ثماني عشرة ورقة أو أكثر، حسب الحاجة. تستمر هذه العملية من التوزيع ثلاث أوراق في كل مرة والبحث عن مجموعات حتى ينفد رزمة الأوراق ولا تبقى أي مجموعات على الطاولة. عند هذه النقطة، يفوز اللاعب الذي جمع أكبر عدد من المجموعات.

تضمنت لعبة "Set" نسخًا مختلفة تتضمن آليات مختلفة للعثور على المجموعات، بالإضافة إلى تفاعلات مختلفة بين اللاعبين. ولا يزال اللاعبون المتحمسون للعبة يبتكرون نسخًا إضافية. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

تطورت اللعبة من نظام ترميز استخدمته المصممة في عملها كعالمة وراثة . وتستند الأشكال إلى تلك الموجودة في معيار ISO 5807. ^{[ 5 ]} فازت لعبة Set بجائزة Mensa Select من جمعية Mensa الأمريكية عام 1991، وحصلت على المركز التاسع في جائزة Deutscher Spiele Preis عام 1995 .

أُقيمت بطولة "سيت" الافتتاحية في 8 يناير 2025 خلال الاجتماع المشترك للرياضيات في سياتل، واشنطن. تنافس فيها نحو 150 لاعبًا، وفاز تايكي أيبا بالجائزة الأولى: حزام ملاكمة مُصمّم خصيصًا. ^{[ 6 ]} وفي عام 2026، أُقيمت البطولة في واشنطن العاصمة، وفاز أندرس أولسن بالجائزة الأولى.

• إذا تم اختيار أي ورقتين، فهناك ورقة واحدة فقط تُشكّل مجموعة مع هاتين الورقتين. لذلك، فإن احتمال تكوين مجموعة من 3 أوراق مسحوبة عشوائيًا من مجموعة أوراق لعب كاملة هو 1/79.
• مجموعة الغطاء هي بنية رياضية تصف تخطيط لعبة Set حيث لا يمكن تكوين أي مجموعة. أكبر مجموعة من البطاقات التي يمكن تجميعها دون تكوين مجموعة هي 20، وقد ثبت ذلك عام 1971 (تمت دراسة مجموعات الغطاء قبل اللعبة). ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} تُسمى هذه المجموعة مجموعة غطاء قصوى (التسلسل A090245 في OEIS ) . وجد دونالد كنوث عام 2001 أن هناك 682344 مجموعة غطاء من هذا النوع بحجم 20 لنسخة Set المكونة من 81 بطاقة؛ وتحت التحويلات الأفينية على فضاء محدود رباعي الأبعاد، تُختزل جميعها إلى مجموعة غطاء واحدة أساسًا.
• هناك${\displaystyle \textstyle {\frac {81 \choose 2}{3}}={\frac {81\times 80}{2\times 3}}=1080}$مجموعات فريدة.
• احتمال أن تحتوي مجموعة ما على${\displaystyle d}$ميزات مختلفة و${\displaystyle 4-d}$الميزات نفسها${\displaystyle \textstyle {\frac {{4 \choose d}2^{d}}{80}}}$(ملاحظة: الحالة التي يكون فيها d  =  0 مستحيلة، لأنه لا توجد بطاقتان متطابقتان.) وبالتالي، فإن 10% من المجموعات الممكنة تختلف في ميزة واحدة، و30% في ميزتين، و40% في ثلاث ميزات، و20% في جميع الميزات الأربع.
• عدد توزيعات أوراق اللعب المختلفة المكونة من 12 ورقة هو${\displaystyle \textstyle {81 \choose 12}={\frac {81!}{12!69!}}=70\,724\,320\,184\,700\approx 7.07\times 10^{13}}$.
• تبدأ احتمالات عدم وجود مجموعة من 12 ورقة في لعبة "سيت" بنسبة 30:1 في الجولة الأولى. ثم تنخفض هذه الاحتمالات بسرعة، فبعد الجولة الرابعة تقريبًا تصبح 14:1، وخلال الجولات العشرين التالية، تنخفض تدريجيًا لتصل إلى 13:1. لذا، في معظم الجولات، تتراوح الاحتمالات بين 14:1 و13:1. ^{[ 10 ]}
• تبلغ احتمالية عدم وجود مجموعة من 15 بطاقة عند لعب لعبة ما 88:1. ^{[ 10 ]} (يختلف هذا عن احتمالية عدم وجود مجموعة من أي 15 بطاقة (وهي 2700:1) لأنه أثناء اللعب، لا يتم عرض 15 بطاقة إلا عندما لا تحتوي مجموعة من 12 بطاقة على مجموعة.)
• تحتوي حوالي 30% من جميع الألعاب دائمًا على مجموعة من بين 12 بطاقة، وبالتالي لا تحتاج أبدًا إلى استخدام 15 بطاقة. ^{[ 11 ]}
• الحد الأقصى لعدد المجموعات المكونة من 12 بطاقة هو 14. ^{[ 12 ]}
• متوسط ​​عدد المجموعات المتاحة بين 12 بطاقة هو${\displaystyle \textstyle {12 \choose 3}\cdot {\frac {1}{79}}\approx 2.78}$ومن بين 15 بطاقة${\displaystyle \textstyle {15 \choose 3}\cdot {\frac {1}{79}}\approx 5.76}$ومع ذلك، فإن الأرقام تكون أصغر أثناء اللعب.
• إذا تم اختيار 26 مجموعة من مجموعة الأوراق، فإن البطاقات الثلاث الأخيرة ستشكل بالضرورة مجموعة أخرى رقم 27.

باستخدام تعميم طبيعي لمجموعة ، حيث يختلف عدد الخصائص والقيم، تم إثبات أن تحديد ما إذا كانت مجموعة ما موجودة من مجموعة من البطاقات الموزعة هو مسألة NP-كاملة . ^{[ 13 ]}

ظهرت لعبة "Set" في عدد فبراير 1992 من مجلة "Games" ، حيث وصفها إريك برلين بأنها "لعبة إدمانية، مبتكرة للغاية، تعتمد على الإدراك والمنطق"، و"لعبة رائعة مليئة بالتحديات، سواء للعب الفردي أو التنافسي". ^{[ 14 ]} كما ظهرت أيضًا في قائمة "Games 100 " لعام 1992 ^{[ 15 ]} وقائمة "Family Games: The 100 Best" . ^{[ 16 ]}

• المجموعة الإسقاطية

• موقع شركة سيت إنتربرايزز