نظرية سيلفرمان-توبليتز

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية سيلفرمان-توبليتز ، التي أثبتها أوتو توبليتز لأول مرة ، نتيجةً في نظرية جمع المتسلسلات تُحدد طرق جمع المصفوفات المنتظمة. طريقة جمع المصفوفات المنتظمة هي تحويل خطي للمتتابعات يحافظ على نهايات المتتابعات المتقاربة . [ 1 ] يمكن تطبيق هذا التحويل الخطي على المتتابعات المتباعدة للمجاميع الجزئية للمتسلسلات المتباعدة، مما يُعطي تلك المتسلسلات مجاميع معممة.

مصفوفة لانهائية(أأنا،ج)أنا،ج∈شمال{\displaystyle (a_{i,j})_{i,j\in \mathbb {N} }}تُعرّف طريقة جمع المصفوفات المنتظمة ذات القيم المركبة إذا وفقط إذا استوفت جميع الخصائص التالية:

ليمأنا→∞أأنا،ج=0ج∈شمال(كل سلسلة أعمدة تتقارب إلى 0.)ليمأنا→∞∑ج=0∞أأنا،ج=1(تتقارب مجاميع الصفوف إلى 1.)رشفةأنا∑ج=0∞|أأنا،ج|<∞(مجموع الصفوف المطلق محدود.){\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0\quad j\in \mathbb {N} &&{\text{(كل متتالية عمودية تتقارب إلى 0.)}}\\[3pt]&\lim _{i\to \infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i,j}=1&&{\text{(مجموعات الصفوف تتقارب إلى 1.)}}\\[3pt]&\sup _{i}\sum _{j=0}^{\infty }\vert a_{i,j}\vert <\infty &&{\text{(مجموعات الصفوف المطلقة محدودة.)}}\end{aligned}}}

ومن الأمثلة على ذلك جمع سيزارو ، وهو أسلوب لجمع المصفوفات مع

أمن={1من≤م0ن>م=(10000⋯1212000⋯13131300⋯141414140⋯1515151515⋯⋮⋮⋮⋮⋮⋱).{\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}{\frac {1}{m}}&n\leq m\\0&n>m\end{cases}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&0&0&\cdots \\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&0&\cdots \\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}.}

بيان رسمي

لنفترض أن المصفوفة اللانهائية المذكورة أعلاه(أأنا،ج)أنا،ج∈شمال{\displaystyle (a_{i,j})_{i,j\in \mathbb {N} }}من العناصر المعقدة التي تستوفي الشروط التالية:

  1. ليمأنا→∞أأنا،ج=0{\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0}لكل ثابتج∈شمال{\displaystyle j\in \mathbb {N} }.
  2. رشفةأنا∈شمال∑ج=1أنا|أأنا،ج|<∞{\displaystyle \sup _{i\in \mathbb {N} }\sum _{j=1}^{i}\vert a_{i,j}\vert <\infty };

وzن{\displaystyle z_{n}}لتكن متتالية من الأعداد المركبة التي تتقارب إلىليمن→∞zن=z∞{\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }}نرمز إلىSن{\displaystyle S_{n}}كمتتالية مجموع مرجح:Sن=∑م=1نأن،مzم{\displaystyle S_{n}=\sum _{m=1}^{n}a_{n,m}z_{m}}.

وبناءً على ذلك، تتحقق النتائج التالية:

  1. لوليمن→∞zن=z∞=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty}z_{n}=z_{\infty }=0}، ثمليمن→∞Sن=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{S_{n}}=0}.
  2. لوليمن→∞zن=z∞≠0{\displaystyle \lim _{n\to \infty}z_{n}=z_{\infty }\neq 0}وليمأنا→∞∑ج=1أناأأنا،ج=1{\displaystyle \lim _{i\to \infty }\sum _{j=1}^{i}a_{i,j}=1}، ثمليمن→∞Sن=z∞{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{S_{n}}=z_{\infty }}[ 2 ]​

دليل

إثبات 1.

للثابتج∈شمال{\displaystyle j\in \mathbb {N} }التسلسلات المعقدةzن{\displaystyle z_{n}}،Sن{\displaystyle S_{n}}وأأنا،ج{\displaystyle a_{i,j}}تقترب من الصفر إذا وفقط إذا كانت متتابعات القيم الحقيقية|zن|{\displaystyle \left|z_{n}\right|}،|Sن|{\displaystyle \left|S_{n}\right|}و|أأنا،ج|{\displaystyle \left|a_{i,j}\right|}نقترب من الصفر على التوالي. كما نقدم أيضًام=1+رشفةأنا∈شمال∑ج=1أنا|أأنا،ج|>0{\displaystyle M=1+\sup _{i\in \mathbb {N} }\sum _{j=1}^{i}\vert a_{i,j}\vert >0}.

منذ|zن|→0{\displaystyle \left|z_{n}\right|\to 0}، لاختيار مبكرε>0{\displaystyle \varepsilon >0}يوجدشمالε∈شمال{\displaystyle N_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }لذلك لكلن>شمالε{\displaystyle n>N_{\varepsilon }}لدينا|zن|<ε2م{\displaystyle \left|z_{n}\right|<{\frac {\varepsilon }{2M}}}. بعد ذلك، بالنسبة للبعضشمالأ=شمالأ(ε)>شمالε{\displaystyle N_{a}=N_{a}\left(\varepsilon \right)>N_{\varepsilon }}صحيح، ذلك∑م=1ن|أن،م|<ε2(الأعلىم≤شمالε|zم|+1){\displaystyle \sum _{m=1}^{n}|a_{n,m}|<{\frac {\varepsilon }{2\left(\max _{m\leq N_{\varepsilon }}|z_{m}|+1\right)}}}لكلن>شمالأ(ε){\displaystyle n>N_{a}\left(\varepsilon \right)}لذلك، لكلن>شمالأ(ε){\displaystyle n>N_{a}\left(\varepsilon \right)}

|Sن|=|∑م=1ن(أن،مzم)|⩽∑م=1ن(|أن،م|⋅|zم|)=∑م=1شمالε(|أن،م|⋅|zم|)+∑م=شمالε+1ن(|أن،م|⋅|zم|)<<الأعلى1≤م≤شمالε(|zم|)⋅∑م=1شمالε|أن،م|+ε2م∑م=شمالε+1ن|أن،م|⩽ε2+ε2م∑م=1ن|أن،م|⩽ε2+ε2م⋅م=ε{\displaystyle {\begin{aligned}&\left|S_{n}\right|=\left|\sum _{m=1}^{n}\left(a_{n,m}z_{m}\right)\right|\leqslant \sum _{m=1}^{n}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{m}\right|\right)=\sum _{m=1}^{N_{\varepsilon }}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{m}\right|\right)+\sum _{m=N_{\varepsilon }+1}^{n}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{m}\right|\right)<\\&<\max _{1\leq m\leq N_{\varepsilon }}(|z_{m}|)\cdot \sum _{m=1}^{N_{\varepsilon }}|a_{n,m}|+{\frac {\varepsilon }{2M}}\sum _{m=N_{\varepsilon }+1}^{n}\left|a_{n,m}\right|\leqslant {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2M}}\sum _{m=1}^{n}\left|a_{n,m}\right|\leqslant {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2M}}\cdot M=\varepsilon \end{aligned}}}

وهذا يعني أن كلا التسلسلين|Sن|{\displaystyle \left|S_{n}\right|}وSن{\displaystyle S_{n}}تتقارب إلى الصفر. [ 3 ]

إثبات 2.

ليمن→∞(zم-z∞)=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(z_{m}-z_{\infty }\right)=0}بتطبيق العبارة المثبتة مسبقًا، نحصل على... وأخيرًا،ليمن→∞∑م=1ن(أن،م(zم-z∞))=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}\left(z_{m}-z_{\infty }\right){\big )}=0}

ليمن→∞Sن=ليمن→∞∑م=1ن(أن،مzم)=ليمن→∞∑م=1ن(أن،م(zم-z∞))+z∞ليمن→∞∑م=1ن(أن،م)=0+z∞⋅1=z∞{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}z_{m}{\big )}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}\left(z_{m}-z_{\infty }\right){\big )}+z_{\infty }\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}{\big )}=0+z_{\infty }\cdot 1=z_{\infty }}وهذا يكمل البرهان.

مراجع

الاقتباسات

  1. ↑ نظرية سيلفرمان-توبليتز ، بقلم برايان رودر، نُشرت عام 1966، رقم التصنيف LD2668 .R4 1966 R915، الناشر: جامعة ولاية كانساس، أرشيف الإنترنت
  2. ↑ لينيرو، أنطونيو؛ روزالسكي، أندرو (2013-07-01). "حول مبرهنة توبليتز، والتقارب في الاحتمال، والتقارب المتوسط" (ملف PDF) . التحليل العشوائي وتطبيقاته . 31 (4): 684-694 . doi : 10.1080/07362994.2013.799406 . ISSN 0736-2994 . تاريخ الاسترجاع: 2024-11-17 . 
  3. ^ لياشكو، إيفان إيفانوفيتش؛ بوجارشوك، أليكسي كليميتجيفيتش؛ جاج، ياكوف جافريلوفيتش؛ جولوفاتش، غريغوري بتروفيتش (2001). التحليل الرياضي: المعرفة في التحليل، منتج، متكامل. справочное пособие по высчей matematicе [ التحليل الرياضي: مقدمة في التحليل والمشتقات والتكاملات. دليل التحليل الرياضي. ] (بالروسية). المجلد. 1 ( الطبعة الأولى). موسكو: افتتاحية URSS. ص. 58. ردمك    978-5-354-00018-0.

للمزيد من القراءة