الطرق العددية

في التحليل العددي والرياضيات التطبيقية ، تُعدّ طرق sinc العددية تقنيات عددية ^{[ 1 ]} لإيجاد حلول تقريبية للمعادلات التفاضلية الجزئية والمعادلات التكاملية، وذلك بالاعتماد على تحويلات دالة sinc والدالة الأساسية C(f,h) التي تُمثّل توسيعًا للدالة f المعرّفة بـ

${\displaystyle C(f,h)(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(kh)\,{\textrm {sinc}}\left({\dfrac {x}{h}}-k\right)}$

حيث حجم الخطوة h>0 وحيث يتم تعريف دالة sinc بواسطة

${\displaystyle {\textrm {sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

تتفوق طرق التقريب باستخدام دالة sinc في حل المشكلات التي قد تحتوي حلولها على نقاط تفرد، أو مجالات لا نهائية، أو طبقات حدودية.

يتم تعريف توسيع دالة sinc المقتطعة للدالة f بواسطة السلسلة التالية:

${\displaystyle C_{M,N}(f,h)(x)=\displaystyle \sum _{k=-M}^{N}f(kh)\,{\textrm {sinc}}\left({\dfrac {x}{h}}-k\right)}$.

• تقريب الدوال،
• تقريب المشتقات ،
• التكامل التقريبي المحدد وغير المحدد ،
• الحل التقريبي لمسائل المعادلات التفاضلية العادية ذات القيم الابتدائية والحدية ،
• تقريب وعكس تحويلات فورييه ولابلاس ،
• تقريب تحويلات هيلبرت ،
• تقريب الالتفاف المحدد وغير المحدد ،
• الحل التقريبي للمعادلات التفاضلية الجزئية،
• الحل التقريبي للمعادلات التكاملية ،
• بناء الخرائط المطابقة.

في الواقع، تُستخدم دوال الجيب (Sinc) على نطاق واسع لتقريب كل عملية من عمليات حساب التفاضل والتكامل.

في الإعداد القياسي للطرق العددية sinc، تُعرف الأخطاء (في تدوين Big O ) بأنها${\displaystyle O\left(e^{-c{\sqrt {n}}}\right)}$مع وجود قيمة c>0، حيث n هو عدد العقد أو القواعد المستخدمة في الطرق. ومع ذلك، فقد وجد سوجيهارا ^{[ 2 ]} مؤخرًا أن الأخطاء في الطرق العددية لـ Sinc القائمة على التحويل الأسي المزدوج هي${\displaystyle O\left(e^{-{\frac {kn}{\ln n}}}\right)}$مع بعض k>0، في إعداد ذي معنى من الناحية النظرية والعملية، ووجد أنها الأفضل الممكنة بمعنى رياضي معين.

• ستينجر، فرانك (2011). دليل الطرق العددية لـ Sinc . بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة CRC. ISBN 9781439821596.
• لوند، جون؛ باورز، كينيث (1992). طرق دالة الجيب للتكامل العددي والمعادلات التفاضلية . فيلادلفيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية (SIAM). ISBN 9780898712988.