تفضيلات ذات قمة واحدة

يقال إن المجموعة N لديها تفضيلات أحادية الذروة على X ، إذا كان هناك ترتيب > للنتائج بحيث يكون لكل وكيل i في N :

${\displaystyle x_{k}<x_{j}\leq x_{i}^{*}\Rightarrow x_{j}\succ _{i}x_{k}}$${\displaystyle x_{k}>x_{j}\geq x_{i}^{*}\Rightarrow x_{j}\succ _{i}x_{k}}$

بالكلمات،${\displaystyle x_{i}^{*}}$تمثل النقطة المثالية للعامل i . عندما يقارن العامل بين نتيجتين تقعان إما على يمين أو يسار نقطته المثالية، فإنه يفضل بشكل قاطع الخيار الأقرب إليها. ${\displaystyle x_{i}^{*}}$.

لاحظ أن علاقات التفضيل${\displaystyle \succ _{i}}$تختلف النتائج، ولكن يجب أن يكون ترتيبها هو نفسه بالنسبة لجميع العوامل.

أثبت باليستر وهايرينجر ^{[ 3 ]} أن الشرطين التاليين ضروريان وكافيان لكي يكون ملف تعريف التفضيلات عبارة عن تفضيلات ذات قمة واحدة.

• أسوأ القيود : لكل ثلاثية من النتائج في X ، توجد نتيجة لا يصنفها أي وكيل في N في المرتبة الأخيرة .
• ${\displaystyle \alpha }$-مُقيد : لا توجد أربع نتائج في X ، ولتكن a وb وc وd، وعاملان${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$بحيث${\displaystyle a\succ _{i}c\succ _{i}\succ _{i}d}$،${\displaystyle b\succ _{i}c}$، و${\displaystyle d\succ _{j}c\succ _{j}a}$،${\displaystyle b\succ _{j}c}$.

كان معروفًا بالفعل منذ Inada ^{[ 4 ]} أن تقييد أسوأ حالة كان ضروريًا ولكنه غير كافٍ لكي يكون الملف الشخصي أحادي الذروة.

يُظهر الرسم البياني التالي مجموعة من ثلاث تفضيلات ذات قمة واحدة على النتائج {أ، ب، ج، د، هـ}. على المحور الرأسي، يُمثل الرقم ترتيب تفضيل النتيجة، حيث يُمثل الرقم 1 النتيجة الأكثر تفضيلاً. أما النتيجتان اللتان تتساويان في التفضيل فلهما نفس الترتيب.

الترتيب على النتائج هو أ < ب < ج < د < هـ. النتيجة المثالية للعامل الأخضر هي أ، وللعامل الأحمر هي ب، وللعامل الأزرق هي ج. بالنسبة لكل عامل، عندما نبتعد عن نتيجته المثالية، ينخفض ​​الترتيب.

يمكن أيضاً التحقق من أنه في كل ثلاثية من النتائج، لا تُصنّف إحداها أبداً في المرتبة الأخيرة - أي النتيجة الوسطى. على سبيل المثال، في المجموعة {أ، ب، ج}، لا تُصنّف ب أبداً في المرتبة الأخيرة؛ وفي المجموعة {ج، د، هـ}، لا تُصنّف د أبداً في المرتبة الأخيرة؛ وهكذا.

إذا تمت إضافة كل من التفضيلين الممثلين بالرسمين البيانيين التاليين إلى التفضيلات الثلاثة المذكورة أعلاه، فإن المجموعة الناتجة المكونة من أربعة تفضيلات لن تكون ذات قمة واحدة:

بالنسبة لتفضيلات اللون الأزرق، يُلاحظ انخفاض حاد في ترتيب التفضيلات عند اختيار "D"، ثم ارتفاع حاد عند اختيار "E". يُثبت هذا أن تفضيلات اللون الأزرق ليست أحادية الذروة بالنسبة للترتيب A<B<C<D<E، ولكنه لا يُثبت عدم وجود ترتيب آخر تكون فيه جميع التفضيلات الأربع أحادية الذروة. لإثبات ذلك رسميًا، لنفترض مجموعة النتائج الثلاث {A, D, E}. كل نتيجة من هذه النتائج هي أسوأ نتيجة ممكنة لأحد العوامل: A هي الأسوأ بالنسبة للعامل الأحمر، وD هي الأسوأ بالنسبة للعامل الأزرق، وE هي الأسوأ بالنسبة للعامل الأخضر المذكور أعلاه. بالتالي، لا يوجد ترتيب على X يُمكن أن يجعل مجموعة التفضيلات أحادية الذروة.

لا تُعتبر تفضيلات اللون الأخضر ذات قمة واحدة رسمياً، لأنها تتضمن نتيجتين مفضلتين للغاية: "ب" و"ج". وتُسمى هذه التفضيلات أحياناً بالتفضيلات ذات الهضبة الواحدة .